1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 62及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B,C 是相互独立的随机事件,且 0P(C)1,则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )(分数:2.00)A.B.C.D.3.设随机变量 X,Y 相互独立,且 XN(0,1),YN(1,1),则( )(分数:2.00)A.P(XY0)B.P(XY1)C.P(XY0)D.P(XY1)4.设 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立,则 X 1 ,X 2 ,X n ,满
2、足辛钦大数定律的条件是( )(分数:2.00)A.X 1 ,X 2 ,X n ,同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ,X 2 ,X n ,同分布且有相同的数学期望C.X 1 ,X 2 ,X n ,为同分布的离散型随机变量D.X 1 ,X 2 ,X n ,为同分布的连续型随机变量5.若事件 A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立,则下列结论成立的是( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立6.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布,则下列随机变量中服从参数为
3、2 的指数分布的是( )(分数:2.00)A.XYB.XYC.maxX,YD.minX,Y7.从正态总体 XN(0, 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n ,则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:8,分数:16.00)8.有 16件产品,12 个一等品,4 个二等品从中任取 3个,至少有 1个是一等品的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_9.一工人同时独立制造 3个零件,第 k个零件不合格的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_10.设随机变量 XB(n,p),且 E(X)5,E(X 2 ) (分数:2.00)填
4、空项 1:_填空项 1:_11.设 X,Y 为两个随机变量,且 D(X)9,Y2X3,则 X,Y 的相关系数为 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设随机变量 XN(1,2),YN(1,2),ZN(0,9)且随机变量 X,Y,Z 相互独立,已知 a(XY) 2 bZ 2 2 (n),则 a 1,b 2,n 3(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_13.设 P(A)06,P(A )02,P( B)03,则 P(A (分数:2.00)填空项 1:_14.设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y) (分数:2.00)填空项 1:_15.将一均匀的骰子连续扔六次,所出现的点数
5、之和为 X,用切比雪夫不等式估计 P(14X28) 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 X的密度函数为 f(x) 若 P(Xk) (分数:2.00)_18.设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) (分数:2.00)_19.设随机变量 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,令 UX 2 Y 2 求: (1)f U (u); (2)PUD(U)UE(U)(分数:2.00)_20.一民航班车上有 20名旅客,自机场开出,旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车
6、就不停车,以 X表示停车次数,求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)(分数:2.00)_21.设总体 XN(0,2 2 ),X 1 ,X 2 ,X 30 为总体 X的简单随机样本,求统计量 (分数:2.00)_22.袋中有 a个黑球和 b个白球,一个一个地取球,求第忌次取到黑球的概率(1kab)(分数:2.00)_23.设 X的密度函数为 f X (x) (x),求 Y1 (分数:2.00)_24.设随机变量 XU(0,1),在 Xx(0x1)下,YU(0,x)(1)求 X,Y 的联合密度函数;(2)求 Y的边缘密度函数(分数:2.00)_25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布,令 U
7、 (分数:2.00)_26.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X的简单随机样本,已知 E(X k )a k (k1,2,3,4) 证明:当 n充分大时,随机变量 Z n (分数:2.00)_27.设总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n1 为总体 X的简单随机样本,记 (分数:2.00)_28.设总体 XU( 1 , 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X的样本,求 1 , 2 的矩估计和最大似然估计(分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 62答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选
8、择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B,C 是相互独立的随机事件,且 0P(C)1,则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:因为 A,B,C 相互独立,所以它们的对立事件也相互独立,故 与 C相互独立,也相互独立,由 1P(ABC) 1P(AB)P(C)P(ABC)1P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C), 1P(AB)1P(C)1P(AB)P(C)P(ABC),得3.设随机变量 X,Y 相互独立,且 XN(0,1),YN(1,1),则( )(分数:2.00)A.P(XY0)B
9、.P(XY1) C.P(XY0)D.P(XY1)解析:解析:X,Y 独立,XN(0,1),YN(1,1),XYN(1,2) P(XY1)4.设 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立,则 X 1 ,X 2 ,X n ,满足辛钦大数定律的条件是( )(分数:2.00)A.X 1 ,X 2 ,X n ,同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ,X 2 ,X n ,同分布且有相同的数学期望 C.X 1 ,X 2 ,X n ,为同分布的离散型随机变量D.X 1 ,X 2 ,X n ,为同分布的连续型随机变量解析:解析:根据辛钦大数定律的条件,选(B)5.若事件 A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立,
10、则下列结论成立的是( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析:解析:由于 A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立,所以 6.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布,则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )(分数:2.00)A.XYB.XYC.maxX,YD.minX,Y 解析:解析:由于 XE(),所以密度函数为 f(x) 分布函数为 ,E(XY)0, 而max(X,Y)的分布函数是 F 2 (x) 所以(A),(B),(C)项都不对,选(D)
11、事实上,min(X,Y)的分布函数为 Pmin(X,Y)x1Pmin(X,Y)x1P(Xx,Yx)1P(Xx)P(Yx)11F(x) 2 7.从正态总体 XN(0, 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n ,则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:二、填空题(总题数:8,分数:16.00)8.有 16件产品,12 个一等品,4 个二等品从中任取 3个,至少有 1个是一等品的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 A抽取 3个产品,其中至少有 1个是一等品, 则 P(A)19.一工人同时
12、独立制造 3个零件,第 k个零件不合格的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 A k 第 k个零件不合格(k1,2,3) 10.设随机变量 XB(n,p),且 E(X)5,E(X 2 ) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:15)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析:因为 E(X)np,D(X)np(1p),E(X 2 )D(X)E(X) 2 np(1p) n 2 p 2 ,所以np5,np(1p)n 2 p 2 ,解得 n15,p 11.设 X,Y 为两个随机变量,且 D(X)9,Y2X3,则 X,Y 的相关系数为 1(
13、分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:D(Y)4D(X)36, Cov(X,Y)Cov(X,2X3)2Cov(X,X)Cov(X,3)2D(X)Cov(X,3) 因为 Cov(X,3)E(3X)E(3)E(X)3E(X)3E(X)0,所以 Cov(X,Y)2D(X)18,12.设随机变量 XN(1,2),YN(1,2),ZN(0,9)且随机变量 X,Y,Z 相互独立,已知 a(XY) 2 bZ 2 2 (n),则 a 1,b 2,n 3(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)填空项 1:_ (正确答案:*)填空项 1:_ (正确答案:2)解析
14、:解析:由 XN(1,2),YN(1,2),ZN(0,9),得 XYN(0,4) 且 N(0,1),N(0,1),故 a13.设 P(A)06,P(A )02,P( B)03,则 P(A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 P(A )P(AB)P(A)P(AB)02 及 P(A)06 得 P(AB)04, 再由 P(B)P(BA)P(B)P(AB)03 得 P(B)07,14.设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 2 e 3 e 5 )解析:解析:由 F X (x)F(x,) 15.将一均
15、匀的骰子连续扔六次,所出现的点数之和为 X,用切比雪夫不等式估计 P(14X28) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 X i 为第 i次的点数(i1,2,3,4,5,6),则 X ,其中 D(X i ) ,i1,2,3,4,5,6 则 E(X)6 21,D(X)6 ,由切比雪夫不等式,有 P(14X28)PXE(X)71 三、解答题(总题数:13,分数:26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.设 X的密度函数为 f(x) 若 P(Xk) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 k6,当
16、3k6 时,P(Xk) k 6 当 1k3 时,P(Xk) 3 6 当 0k1 时,P(Xk) k 1 )解析:18.设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)当 0x1 时,f X (x) f(x,y)dy 0 2x dy2x, 当 x0或 x1 时 f X (x)0,所以 f X (x) 同理 f Y (y) (2)当 z0 时,F(z)0;当 z2 时,F(z)1;当 0z2 时, )解析:19.设随机变量 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,令 UX 2 Y 2 求: (1)f U (u); (2)PUD(U)UE(U)(分数:2.0
17、0)_正确答案:(正确答案:(1)因为 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,所以(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y) (x,y) F U (u)P(Uu)当 u0 时,F U (u)0; 当 u0 时,F U (u)P(Uu)P(X 2 Y 2 u) dxdy 所以 f U (u) 即 U服从参数 的指数分布 (2)E(U)2,D(U)4, PUD(U)UE(U)P(U4U2) )解析:20.一民航班车上有 20名旅客,自机场开出,旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以 X表示停车次数,求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)(分数:2.00)_正确答案:(正
18、确答案:令 X i (i1,2,10),显然 XX 1 X 2 X 10 因为 任一旅客在第 i个站不下车的概率为 09,所以 20位旅客都不在第 i个站下车的概率为 09 20 ,从而第i个站有人下车的概率为 109 20 ,即 X i 的分布律为 X i (i1,2,10) 于是 E(X i )109 20 (i1,2,10),从而有 E(X) )解析:21.设总体 XN(0,2 2 ),X 1 ,X 2 ,X 30 为总体 X的简单随机样本,求统计量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X 1 ,X 2 ,X 20 相互独立且与总体 XN(0,2 2 )服从同样的分布, 所以
19、 (X 1 2 X 2 2 X 20 2 ) 2 (20),同理 (X 21 2 X 22 2 X 30 2 ) 2 (10), 且 (X 1 2 X 2 2 X 20 2 ) 2 (20)与 (X 21 2 X 22 2 X 30 ) 2 (10)相互独立, 于是 F(20,10),即 U )解析:22.袋中有 a个黑球和 b个白球,一个一个地取球,求第忌次取到黑球的概率(1kab)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:基本事件数 n(ab)!,设 A k 第 k次取到黑球,则有利样本点数为a(ab1)!, 所以 P(A k ) )解析:23.设 X的密度函数为 f X (x) (x),
20、求 Y1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F Y (y)P(Yy)P(1 y)PX(1y) 3 1PX(1y) 3 1 f Y (y)F Y (y) )解析:24.设随机变量 XU(0,1),在 Xx(0x1)下,YU(0,x)(1)求 X,Y 的联合密度函数;(2)求 Y的边缘密度函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 XU(0,1),所以 f X (x) 又在 Xx(0x1)下,YU(0,x),所以 f YX (yx) f(x,y)f X (x)f YX (yx) (2)f Y (y) f(x,y)dx,当 y0 或 y1 时,f Y (y)0; 当 0Y1 时
21、,f Y (y) y 1 )解析:25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布,令 U (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 X服从参数为 2的指数分布,所以 X的分布函数为 (U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) P(U0,V0)P(X1,X2)P(X1)F(1)1e 2 ; P(U0,V1)P(X1,X2)0; P(U1,V1)P(X1,X2)P(X2)1F(2)e 4 : P(U1,V0)P(X1,X2)e 2 e 4 (U,V)的联合分布律为 E(U)e 2 ,E(V)e 4 ,E(UV)e 4 ,E(U 2 )e 2 ,E(V 2 )e
22、4 ,则 D(U)E(U 2 )E(U) 2 e 2 e 4 ,D(V)E(V 2 )E(V) 2 e 4 e 8 , Cov(U,V)E(UV)E(U)E(V)e 4 e 6 , 于是 )解析:26.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X的简单随机样本,已知 E(X k )a k (k1,2,3,4) 证明:当 n充分大时,随机变量 Z n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X 1 ,X 2 ,X n 独立同分布,所以 X 1 2 ,X 2 2 ,X n 2 也独立同分布且 E(X i 2 ) 2 ,D(XX i 2 ) 4 2 2 ,当 n充分大时,由中心极限定理得 近似服从标准正态分布,故 Z n 近似服从正态分布,两个参数为 2 , 2 )解析:27.设总体 XN(, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n1 为总体 X的简单随机样本,记 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设总体 XU( 1 , 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X的样本,求 1 , 2 的矩估计和最大似然估计(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 lnL( 1 , 2 )是 1 的单调增函数,是 2 的单调减函数, 所以 )解析: