1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 62及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( )（分数：2.00）A.P(XY0)B.P(XY1)C.P(XY0)D.P(XY1)4.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满
2、足辛钦大数定律的条件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的连续型随机变量5.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立6.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为
3、2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.XYB.XYC.maxX，YD.minX，Y7.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.有 16件产品，12 个一等品，4 个二等品从中任取 3个，至少有 1个是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.一工人同时独立制造 3个零件，第 k个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)5，E(X 2 ) （分数：2.00）填
4、空项 1:_填空项 1:_11.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)9，Y2X3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 XN(1，2)，YN(1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(XY) 2 bZ 2 2 (n)，则 a 1，b 2，n 3（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_13.设 P(A)06，P(A )02，P( B)03，则 P(A （分数：2.00）填空项 1:_14.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_15.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数
5、之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 X的密度函数为 f(x) 若 P(Xk) （分数：2.00）_18.设(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y) （分数：2.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 UX 2 Y 2 求： (1)f U (u)； (2)PUD(U)UE(U)（分数：2.00）_20.一民航班车上有 20名旅客，自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车
6、就不停车，以 X表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_21.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_22.袋中有 a个黑球和 b个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1kab)（分数：2.00）_23.设 X的密度函数为 f X (x) (x)，求 Y1 （分数：2.00）_24.设随机变量 XU(0，1)，在 Xx(0x1)下，YU(0，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y的边缘密度函数（分数：2.00）_25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，令 U
7、 （分数：2.00）_26.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )a k (k1，2，3，4) 证明：当 n充分大时，随机变量 Z n （分数：2.00）_27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n1 为总体 X的简单随机样本，记 （分数：2.00）_28.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 62答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选
8、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B，C 相互独立，所以它们的对立事件也相互独立，故 与 C相互独立，也相互独立，由 1P(ABC) 1P(AB)P(C)P(ABC)1P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)， 1P(AB)1P(C)1P(AB)P(C)P(ABC)，得3.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( )（分数：2.00）A.P(XY0)B
9、.P(XY1) C.P(XY0)D.P(XY1)解析：解析：X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1，1)，XYN(1，2) P(XY1)4.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望 C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的连续型随机变量解析：解析：根据辛钦大数定律的条件，选(B)5.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，
10、则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析：解析：由于 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，所以 6.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.XYB.XYC.maxX，YD.minX，Y 解析：解析：由于 XE()，所以密度函数为 f(x) 分布函数为 ，E(XY)0， 而max(X，Y)的分布函数是 F 2 (x) 所以(A)，(B)，(C)项都不对，选(D)
11、事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin(X，Y)x1Pmin(X，Y)x1P(Xx，Yx)1P(Xx)P(Yx)11F(x) 2 7.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.有 16件产品，12 个一等品，4 个二等品从中任取 3个，至少有 1个是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A抽取 3个产品，其中至少有 1个是一等品， 则 P(A)19.一工人同时
12、独立制造 3个零件，第 k个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A k 第 k个零件不合格(k1，2，3) 10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)5，E(X 2 ) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)np，D(X)np(1p)，E(X 2 )D(X)E(X) 2 np(1p) n 2 p 2 ，所以np5，np(1p)n 2 p 2 ，解得 n15，p 11.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)9，Y2X3，则 X，Y 的相关系数为 1（
13、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(Y)4D(X)36， Cov(X，Y)Cov(X，2X3)2Cov(X，X)Cov(X，3)2D(X)Cov(X，3) 因为 Cov(X，3)E(3X)E(3)E(X)3E(X)3E(X)0，所以 Cov(X，Y)2D(X)18，12.设随机变量 XN(1，2)，YN(1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(XY) 2 bZ 2 2 (n)，则 a 1，b 2，n 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：2）解析
14、：解析：由 XN(1，2)，YN(1，2)，ZN(0，9)，得 XYN(0，4) 且 N(0，1)，N(0，1)，故 a13.设 P(A)06，P(A )02，P( B)03，则 P(A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(A )P(AB)P(A)P(AB)02 及 P(A)06 得 P(AB)04， 再由 P(B)P(BA)P(B)P(AB)03 得 P(B)07，14.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 e 3 e 5 ）解析：解析：由 F X (x)F(x，) 15.将一均
15、匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X i 为第 i次的点数(i1，2，3，4，5，6)，则 X ，其中 D(X i ) ，i1,2,3,4,5,6 则 E(X)6 21，D(X)6 ，由切比雪夫不等式，有 P(14X28)PXE(X)71 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 X的密度函数为 f(x) 若 P(Xk) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 k6，当
16、3k6 时，P(Xk) k 6 当 1k3 时，P(Xk) 3 6 当 0k1 时，P(Xk) k 1 )解析：18.设(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 0x1 时，f X (x) f(x，y)dy 0 2x dy2x， 当 x0或 x1 时 f X (x)0，所以 f X (x) 同理 f Y (y) (2)当 z0 时，F(z)0；当 z2 时，F(z)1；当 0z2 时， )解析：19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 UX 2 Y 2 求： (1)f U (u)； (2)PUD(U)UE(U)（分数：2.0
17、0）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x,y) (x,y) F U (u)P(Uu)当 u0 时，F U (u)0； 当 u0 时，F U (u)P(Uu)P(X 2 Y 2 u) dxdy 所以 f U (u) 即 U服从参数 的指数分布 (2)E(U)2，D(U)4， PUD(U)UE(U)P(U4U2) )解析：20.一民航班车上有 20名旅客，自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_正确答案：(正
18、确答案：令 X i (i1，2，10)，显然 XX 1 X 2 X 10 因为 任一旅客在第 i个站不下车的概率为 09，所以 20位旅客都不在第 i个站下车的概率为 09 20 ，从而第i个站有人下车的概率为 109 20 ，即 X i 的分布律为 X i (i1，2，10) 于是 E(X i )109 20 (i1，2，10)，从而有 E(X) )解析：21.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2 )服从同样的分布， 所以
19、 (X 1 2 X 2 2 X 20 2 ) 2 (20)，同理 (X 21 2 X 22 2 X 30 2 ) 2 (10)， 且 (X 1 2 X 2 2 X 20 2 ) 2 (20)与 (X 21 2 X 22 2 X 30 ) 2 (10)相互独立， 于是 F(20，10)，即 U )解析：22.袋中有 a个黑球和 b个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1kab)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：基本事件数 n(ab)!，设 A k 第 k次取到黑球，则有利样本点数为a(ab1)!， 所以 P(A k ) )解析：23.设 X的密度函数为 f X (x) (x)，
20、求 Y1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)P(Yy)P(1 y)PX(1y) 3 1PX(1y) 3 1 f Y (y)F Y (y) )解析：24.设随机变量 XU(0，1)，在 Xx(0x1)下，YU(0，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 XU(0，1)，所以 f X (x) 又在 Xx(0x1)下，YU(0，x)，所以 f YX (yx) f(x，y)f X (x)f YX (yx) (2)f Y (y) f(x,y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y (y)0； 当 0Y1 时
21、，f Y (y) y 1 )解析：25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，令 U （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X服从参数为 2的指数分布，所以 X的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U0，V0)P(X1，X2)P(X1)F(1)1e 2 ； P(U0，V1)P(X1，X2)0； P(U1，V1)P(X1，X2)P(X2)1F(2)e 4 ： P(U1，V0)P(X1，X2)e 2 e 4 (U，V)的联合分布律为 E(U)e 2 ，E(V)e 4 ，E(UV)e 4 ，E(U 2 )e 2 ，E(V 2 )e
22、4 ，则 D(U)E(U 2 )E(U) 2 e 2 e 4 ，D(V)E(V 2 )E(V) 2 e 4 e 8 ， Cov(U,V)E(UV)E(U)E(V)e 4 e 6 ， 于是 )解析：26.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )a k (k1，2，3，4) 证明：当 n充分大时，随机变量 Z n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 也独立同分布且 E(X i 2 ) 2 ，D(XX i 2 ) 4 2 2 ，当 n充分大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布，两个参数为 2 ， 2 )解析：27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n1 为总体 X的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 lnL( 1 ， 2 )是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数， 所以 )解析：
