1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 61及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0P(A)1，0P(B)1，且 P(AB) （分数：2.00）A.事件 A，B 互斥B.事件 A，B 独立C.事件 A，B 不独立D.事件 A，B 对立3.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1F(a，y)B.1F(a，y0)C.F(，y0)F(a，y0)D.F(，y)F(a，y)
2、4.设随机变量 XU0，2，YX 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立5.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.AB 与B.AB 与 C不相容C.AB 与D.AB 与6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F y (y)，则 ZmaxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)F X (z)F Y (z)C.F Z (z)maxF X (z)，F Y (z)D.F
3、Z (z)F Y (z)7.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n)B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n1)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC ，P(A)P(B)P(C)，且 P(ABC) （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X的密度函数 f(x) 若 PX1 （分数：2.00）填空项 1:_10.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y 相互独立
4、，D(X)4D(Y)，令 U3X2Y，V3X2Y，则 UV 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)04，P(B)05，P(AB)P(A （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_15.(1)设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y) 根 据切比雪夫不等式，有PXY3) 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10
5、相互独立，且 X i (i)(i1，2，10)， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 Xf(x) (1)求 F(x)；(2)求 P(2X （分数：2.00）_18.设(X，Y)在区域 D：0x1，Yx 内服从均匀分布(1)求随机变量 X的边缘密度函数； (2)设Z2X1，求 D(Z)（分数：2.00）_19.设(X,Y)f(x,y) （分数：2.00）_20.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数
6、 X的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_21.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X的简单样本，求统计量 U （分数：2.00）_22.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_23.设随机变量 X满足X1，且 P(X1) ，P(X1) （分数：2.00）_24.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且 X，Y 相互独立，令 ZXY，求 f Z (z)（分数：2.00）_25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，YN(0， （分数：2.00）_26.设 X，Y 为随
7、机变量，且 E(X)1，E(Y)2，D(X)4，D(Y)9， XY （分数：2.00）_27.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ， 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 ，求统计量 （分数：2.00）_28.设总体 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 61答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0P(A)1，0P(B)1，且
8、 P(AB) （分数：2.00）A.事件 A，B 互斥B.事件 A，B 独立 C.事件 A，B 不独立D.事件 A，B 对立解析：解析：由 P(AB)P 1，得 P 1P(AB)P(3.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1F(a，y)B.1F(a，y0)C.F(，y0)F(a，y0) D.F(，y)F(a，y)解析：解析：P(Xa，Yy)P(Xa，Yy) N 为 P(Yy)P(Xa，Yy)P(Xa，Yy)， 所以 P(Xa，Yy)P(Yy)P(Xa，Yy) F(，y0)F(a，y0)，选(C)4.设随机
9、变量 XU0，2，YX 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：由 XU0，2得 F Z (z) E(X)1，E(Y)E(X 2 ) 0 2 x 2 dx ，E(XY)E(X 3 ) 5.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.AB 与 B.AB 与 C不相容C.AB 与D.AB 与解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容， 所以 P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)，且 AB 而 P(AB)P(A)P(B
10、)P(AB)P(A)P(B)， 所以 P(AB) P(A)P(B)P( )P(AB)P( )，即 AB 与6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F y (y)，则 ZmaxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)F X (z)F Y (z) C.F Z (z)maxF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)F Y (z)解析：解析：F Z (z)P(Zz)Pmax(X，Y)zP(Xz，Yz) P(Xz)P(Yz)F X (z)F Y (z)，选(B)7.设 Xt(n)，则下列结论正确的
11、是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n) B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n1)解析：解析：由 Xt(n)，得 X ，其中 UN(0，1),V 2 (n)，且 U，V 相互独立，于是 X 2 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC ，P(A)P(B)P(C)，且 P(ABC) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 且 ABC ，P(A)P(B)P(C)，得 3P(A)3P 2 (A) ，解得 P
12、(A) 或者 p(A) ， 因为 A ABC，所以 P(A)P(ABC) 9.设随机变量 X的密度函数 f(x) 若 PX1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：PX1 1 a f(x)dx 1 a 10.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 XB ，则 E(X)311.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)4D(Y)，令 U3X2Y，V3X2Y，则 UV 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
13、）解析：解析：Cov(U，V)Cov(3X2Y，3X2Y) 9Cov(X，X)4Cov(Y，Y)9D(X)4D(Y)32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)D(3X2Y)9D(X)4D(Y)40D(Y)， D(V)D(3X2Y)9D(X)4D(Y)40D(Y)，所以 UV 12.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 (1)）解析：解析：因为 N(2，1)，所以 2N(0，1)，于是( 13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)04，P(B)05，P(AB)P(A （分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：因为 P(AB)P(A )，所以 A，B 相互独立，从而 A， 相互独立，故14.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046587）解析：解析：P(X2Y4) P(Y1)P(X42YY1)P(Y2)P(X42YY2) P(Y3)P(X42YY3) P(X2) 15.(1)设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y) 根 据切比雪夫不等式，有PXY3) 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立，且 X i (i)(i
15、1，2，10)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：(1)E(X)0，D(X)3，E(Y)0，D(Y) ，则 E(XY)0，D(XY)D(X) D(Y)2Cov(X，Y) ，所以 PXY3P(XY)E(XY)31 (2)由 X i (i)得 E(X i )i，E(D i )i(i1，2，10)， 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 Xf(x) (1)求 F(x)；(2)求 P(2X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)F(x)PXx) x f(t)d
16、t 当 x1 时，F(x)0； 当1x0 时，F(x) 1 x (1t)dt ； 当 0x1 时，F(x) 1 0 (1t)dt 0 x (1t)dt ； 当 x1 时，F(x)1 )解析：18.设(X，Y)在区域 D：0x1，Yx 内服从均匀分布(1)求随机变量 X的边缘密度函数； (2)设Z2X1，求 D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) 则 f X (x) f(x,y)dy (2)因为 E(X) 0 1 x2xdx ，E(X 2 ) 0 1 x 2 2xdx 所以 D(X)E(X 2 )E(X) 2 ，D(Z)D(2X1)4D(
17、X) )解析：19.设(X,Y)f(x,y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)0x1 时，f X (X) f(x，y)dy 0 x 12y 2 dy4x 3 ，则 因为当 0yx1 时，f(x，y)f X (x)f Y (y)，所以 X，Y 不独立 (2)E(X) xf X (x)dx 0 1 4x 4 dx ， E(Y) yf Y (y)dy 0 1 12y 3 (1y)dy E(XY) dx xyf(x,y)dy 0 1 dx 0 x 12xy 3 dy ， 因为 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y) ，所以 X，Y 相关 (3)f Z (z) f(x，zx)dx，
18、当 z0 或 z2 时，f Z (z)0； 当 0z1 时，f Z (z) 12(zx) 2 dx ； 当 1z2 时，f Z (z) 12(zx) 2 dx 4(z1) 3 所以有 f Z (z) )解析：20.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 XB(10，p)，其中 pP(16L22)因为 LN(18，4)，所以 N(0，1)， 所以 pP(16L22)P(1 )解析：21.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20
19、是总体 X的简单样本，求统计量 U （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 (1) i X i N(0， 10 2 )，于是 N(0，1)，又因为 X 11 ，X 12 ，X 20 相互独立且与总体服从同样 的分布，所以 N(0，1)(i11，12，20)，于是 X i 2 2 (10)，又 与 )解析：22.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i 第 i本书正好在第 i个位置， B至少有一本书从左到右排列
20、的序号与它的编号相同，则 BA 1 A 2 A 3 ，且 P(A i ) (i1，2，3)，P(A i A j ) (i，j1,2,3,ij)，P(A 1 A 2 A 3 ) ， 故 P(B)P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )P(A 1 A 2 )P(A 1 A 3 )P(A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 ) )解析：23.设随机变量 X满足X1，且 P(X1) ，P(X1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 x1 时，F(x)0； 当 x1 时，F(1) ； 因为 P(1x1)1 ，所以在1x1(1x1)发生下， P(1Xx1X1) ，于是 当1x1 时
21、，P(1Xx)P(1Xx，1x1) P(1x1)P(1xx1x1) ， F(x)P(Xx)P(X1)P(1Xx) ， 当 x1 时，F(x)1， 故 F(x)(2)P(X0)F(0) )解析：24.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且 X，Y 相互独立，令 ZXY，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU，所以 X，Y 的密度函数为 又X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 f(x，y)f X (x)f Y (y) F Z (z)P(Zz)P(XYz) f(x,y)dxdy )解析：25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，
22、)，YN(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 UXY，因为 X，Y 相互独立，且 XN E(Z 2 )E(U 2 )D(U)E(U) 2 D(Z)E(Z 2 )E(Z) 2 1 )解析：26.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)1，E(Y)2，D(X)4，D(Y)9， XY （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 UXY，则 E(U)E(X)E(Y)3 D(U)D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X，Y)492( )237， 于是 PXY31 0PUE(U)10)解析：27.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ， 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 ，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，S 1 2 ，S 2 2 相互独立，可知 a，b 与 相互独立，显然ab1 E )解析：28.设总体 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L()f(x 1 )f(x 2 )f(x n ) lnL()nlnnlna(a1) 得参数 的极大似然估计量为 )解析：
