1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 60及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)P(B （分数：2.00）A.P(AB)P(B.P(AB)P(C.P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(XY1)等于( )（分数：2.00）A.1B.1一 eC.eD.2e4.若 E(XY)E(X)E(Y)，则(
2、)（分数：2.00）A.X和 Y相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)D(X)D(Y)D.D(XY)D(X)D(Y)5.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)06.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF
3、 X (z)，F Y (z)B.F Z (z)minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)11F X (z)1F Y (z)D.F Z (z)F Y (z)7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，且 E(X1)(X2)8，则 1（分数：2.00）填空项 1:_10.随机变量 X
4、的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_11.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，YXa，则 E(XY) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的概率密度为 f X (x) （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)1，则 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(
5、总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_18.袋中有 10个大小相等的球，其中 6个红球 4个白球，随机抽取 2个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： （分数：2.00）_19.设一设备开机后无故障工作时间 X服从指数分布，平均无故障工作时间为 5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时问 Y的分布（分数：2.00）_20.
6、设 Xf(x) 对 X进行独立重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_21.某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X表示抽取的 100个索赔户中被盗索赔户的户数(1)求 X的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14户且不多于 30户的概率的近似值（分数：2.00）_22.设某元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；) （分数：2.00）_23.设一设备在时间长度为 t的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.00）_24.设随机
7、变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_25.某商店经销某种商品，每周进货数量 X与顾客对该种商品的需求量 Y之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_26.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_27.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽
8、取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 ，求统计量 （分数：2.00）_28.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 60答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)P(B （分数：2.00）A.P(AB)P(B.P(AB)P(C.P(AB)P(A)P(B) D.P(AB)
9、P(A)P(B)解析：解析：3.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(XY1)等于( )（分数：2.00）A.1 B.1一 eC.eD.2e解析：解析：由 XU(0，2)，YE(1)得 再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为 则P(XY1)1P(XY1)1 dxdy4.若 E(XY)E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X和 Y相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)D(X)D(Y)D.D(XY)D(X)D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y)0， 而 D(XY)D(
10、X)D(Y)2Cov(X，Y)，所以 D(XY)D(X)D(Y)，选(D)5.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)0P(A)P(B)， 即 A，B 不独
11、立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)11F X (z)1F Y (z) D.F Z (z)F Y (z)解析：解析：F Z (z)P(Zz)Pmin(X，Y)z1Pmin(X，Yz 1P(Xz，Yz)1P(Xz)P(Yz) 11P(Xz)1P(Yz)11F X (z)1F Y (z)，选(C)7.设 X 1 ，X 2 ，
12、X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A，B，C 都不发生的概率为 1P(ABC)， 而 ABC AB且 P(AB)0，所以P(ABC)0，于是 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) ， 故A，B，C 都不发生的概率为9.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，
13、且 E(X1)(X2)8，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由随机变量 X服从参数为 的指数分布，得 E(X) 于是 E(X 2 )D(X)E(x) 2 ， 而 E(X1)(X2)E(X 2 )E(X)2 10.随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X) xf(x)dx 1 0 x(1x)dx 0 1 x(1x)dx0， E(X 2 ) 1 1 x 2 (1x)dx2 0 1 x 2 (1x)dx ， 则 D(X)E(X 2 )E(X) 2 11.设常数 a0，1，随机变量 X
14、U0，1，YXa，则 E(XY) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(XY)EXXa 0 1 xxaf(x)dx 12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为 P(AB)04，P(BA)04，所以 P(A)P(B)且 P(AB)04P(A)，解得 P(A)P(B
15、) ， 于是 P(AB)P(A)P(B)P(AB)14.设随机变量 X的概率密度为 f X (x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)P(Yy)P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)0； 当 y0 时，F Y (y)P(X 2 y)P 15.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)1，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)，D(X)，故 E(X 2 )D(X)E(X) 2 2 由 E(X1)(X2)E(X 2 3X2)E(X 2 )3E(X)2 2 221 得
16、1三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X的分布律为 X )解析：18.袋中有 10个大小相等的球，其中 6个红球 4个白球，随机抽取 2个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) )解析：19
17、.设一设备开机后无故障工作时间 X服从指数分布，平均无故障工作时间为 5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时问 Y的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XE()，所以 E(X) 5，从而 ，根据题意有Ymin(X，2) 当 y0 时，F(y)0；当 y2 时，F(y)1； 当 0y2 时，F(y)P(Yy)Pmin(X，2)yP(Xy)1 ， 故 Y服从的分布为 F(y) )解析：20.设 Xf(x) 对 X进行独立重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：YB(4，p)，其
18、中 pP(X )解析：21.某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X表示抽取的 100个索赔户中被盗索赔户的户数(1)求 X的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14户且不多于 30户的概率的近似值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)XB(100，02)，即 X的分布律为 P(Xk)C 100 k 02 k 08 100k (k0，1，2，100) (2)E(X)20，D(X)16， P(14X30) )解析：22.设某元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数 的似然函数为 L() ，当 x i (i
19、1， 2，n)时，1nL()nln22 (x i )，因为 lnL()2n0，所以 lnL()随 的增加而 增加，因为 X i (i1，2，n)，所以参数 的最大似然估计值为 )解析：23.设一设备在时间长度为 t的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)T 的概率分布函数为 F(t)P(Tt)， 当 t0 时，F(t)0； 当 t0 时，F(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N0)1e t ， 所以 F(t) 即 TE() (2)所求概率为
20、pP(T16T8) )解析：24.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PX2Y f(x，y)dxdy dy 2y 1 (2xy)dx (2)F Z (z)P(Zz)P(Xyz) f(x，y)dxdy 当 z0 时，F Z (z)0；当 0z1 时，F Z (z) 0 z dy 0 zy (2xy)dxz 2 ； 当 1z2 时，F Z (z)1 z1 1 dy zy 1 (2xy)dx1 ； 当 z2 时，F Z (z)1 )解析：25.某商店经销某种商品，每周进货数量 X与顾客对该种商品的需求量 Y之间是相互独立的，且都服从10
21、，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R为商店每周的利润，则有 R 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：26.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i 第 i个人收到自己的电话资费单，i1，2，n
22、，X i ，i 1,2，n，则 XX 1 X 2 X n P(X i 0) ，P(X i 1) E(X i )E(X i 2 ) (i1，2，n) E(X) E(X i )1； 当 ij 时，P(X i 1，X j 1)P(A i A j )P(A i )P(A j A i ) ， Cov(X i ，X j )E(X i X j )E(X i )E(X j ) (ij) )解析：27.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 ，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Y i X i X ni (i1，2，n
23、)，则 Y 1 ，Y 2 ，Y n 为正态总体N(2， 2 2 )的简单随机样本， (n1)S 2 ，其中 S 2 为样本 Y 1 ，Y 2 ，Y n 的方差，而 E(S 2 )2 2 ，所以统计量 U )解析：28.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的密度函数和分布函数分别为 设 x 1 ，x 2 ，x n 为总体 X的样本观察值，似然函数为 L() 当 0x i (i1，2，n)时，L() 0 且当 越小时 L()越大， 所以 的最大似然估计值为 maxx 1 ，x 2 ，x n ， 的最大似然估计量为 maxX 1 ，X 2 ，X n 因为 max(X 1 ，X 2 ，X n )的分布函数为 (x)Pmax(X 1 ，X n )xP(X 1 x)P(X n x)F n (x) 则 的概率密度为 )解析：
