1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 59及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)P(A)3.设随机变量 X i (i1，2)，且满足 P(X 1 X 2 0)1，则 P(X 1 X 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y)，则(
2、)（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关5.设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(ACBC)P(AC)P(BC)C.P(AB)P(AC)P(BC)D.P(C)P(A)P(CA)P(B)P(CA)6.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Ymin(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数7.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY 05，且
3、 P(aXbY1)05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 A，B 为两个随机事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 P(X0) （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，y2) （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，XU1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 X为总体，E(X)，D(X) 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 （分数：2.
4、00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设每次试验成功的概率为 p （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X的分布（分数：2.00）_18.设起点
5、站上车人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0P1)，且中途下车与否相互独立，以 Y表示中途下车人数(1)求在发车时有 n个乘客的情况下，中途有 m个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_19.设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_20.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X分到达底层，且 X在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_21.一批种子良种占 ，从中任取 6 000粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2
6、.00）_22.设总体 X的密度函数为 f(x) (X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X的简单随机样本(1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( （分数：2.00）_23.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3个白球 2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设 4个球中的黑球数用 X表示，求 X的分布律（分数：2.00）_24.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_25.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售
7、利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 UmaxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_27.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本， 令 Y （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 59答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解
8、析：2.设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)P(A) 解析：解析：因为 A，B 不相容，所以 P(AB)0，又 P(AB)P(A)P(AB)， 所以 P(AB)P(A)，选(D)3.设随机变量 X i (i1，2)，且满足 P(X 1 X 2 0)1，则 P(X 1 X 2 )等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题意得 P(X 1 1，X 2 1)P(X 1 1，X 2 1) P(X 1 1，X 2 1)P(X 1 1，X 2 1)0 P(X 1 1
9、，X 2 0)P(X 1 1) ，P(X 1 1，X 2 0)P(X 1 1) ， P(X 1 0，X 2 1)P(X 2 1) ，P(X 1 0，X 2 1)P(X 2 1) 4.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y)，所以若 E(XY)E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y) 0，于是X，Y 不相关，选(D)5.设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(A
10、CBC)P(AC)P(BC) C.P(AB)P(AC)P(BC)D.P(C)P(A)P(CA)P(B)P(CA)解析：解析：由 P(ABC)P(AC)P(BC)，因为 P(ABC)P(AC)P(BC) P(ABC)，所以 P(ABC)0，从而 P(ABC)0， 故 P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(AC)P(BC)，选(B)6.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Ymin(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)P(Yy)Pmin(X，2)y1Pmin(X，2)y 1
11、P(Xy，2y)1P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)1；当 y2 时，F Y (y)1P(Xy)P(Xy)F X (y)， 而 F X (x) 所以当 0y2 时，F Y (y)1e y ； 当 y0 时，F Y (y)0，即 7.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY 05，且 P(aXbY1)05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aXbY 服从正态分布， E(aXbY)a2b， D(aXbY)a 2 4b 2 2abCov(X，Y)a 2 4b 2
12、 2ab， 即 aXbYN(a2b，a 2 4b 2 2ab)，由 P(aXbY1)05 得 a2b1，所以选(D)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 A，B 为两个随机事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：9.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 P(X0) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1e 2 ）解析：解析：X 的分布律为 P(Xk) 由 P(X0) 10.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，y2) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
13、：令X1A，Y2B，P(A) ， 且 P(AB) ，则 P(X1，Y2)P1P(AB) 1P(A)P(B)P(AB)111.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，XU1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XU1，3，YB(10， )，ZN(1，3 2 )得 D(X) ，D(Y)10 ，D(Z)9， 于是 D(U)D(X)4D(Y)9D(Z) 1081 12.设 X为总体，E(X)，D(X) 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2）解析：解析：13.设
14、 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：因为 P(AB)P(A)P(B)P(AB)，且 P(A)P(B)08，P(AB)06， 所以 P(AB)02又因为 P( B)P(B)P(AB)，P(A )P(A)P(AB)， 所以 P( B)P(A14.设每次试验成功的概率为 p （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 PXk(1p) k1 p(k1，2，)(其中 p )，得 15.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
15、案：正确答案：E(X)1）填空项 1:_ （正确答案：D(X)*）解析：解析：因为 f(x) ，于是 E(X)1，D(X)三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 1 (i1，2，3)，则 X的可能取值为 0，1，2，3 P(X0)P(X 1 1) ， P(X1)P(X 1 0，X 2 1) ， P(X2)P
16、(X 1 0，X 2 0，X 3 1) ， P(X3)P(X 1 0，X 2 0，X 3 0) 所以 X的分布律为 X )解析：18.设起点站上车人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0P1)，且中途下车与否相互独立，以 Y表示中途下车人数(1)求在发车时有 n个乘客的情况下，中途有 m个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A(发车时有 n个乘客)，B(中途有 m个人下车)，则 P(BA)P(YmXn)C n m p m (1p) nm (0mn) (2)P(Xn，Ym)P(AB)P(BA)P(A) C
17、n m p m (1p) nm )解析：19.设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 dx f(x,y)dya 0 xdx x e y dya 0 xe x dx1，得 a1 (2)当 x0 时，f X (x)0； 当 x0 时，f X (x) f(x,y)dy x xe y dyxe x 于是 f X (x) 当 y0 时，f Y (y)0；当 y0 时，f Y (y) f(x，y)dx o y xe y dx y 2 e y 于是 f Y (y) 因为 f(x，y)f X (X)f Y (y)，所以 X，Y 不独立 (3)f XY (
18、xy) )解析：20.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X分到达底层，且 X在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X0，60，所以 X的密度函数为 f(x) 游客等电梯时间设为 T，则T E(T) T(x)f(x)dx )解析：21.一批种子良种占 ，从中任取 6 000粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 6 000粒种子中良种个数为 X，则 XB(6000， )， E(X)1 000，D(X)6 000 ， P 001P(
19、60X1 00060) )解析：22.设总体 X的密度函数为 f(x) (X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X的简单随机样本(1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X) xf(x)dx 0 (x)dx ，令 E(X) ， 则 的矩估计量为 (2)D D(X)， 因为 E(X 2 ) x 2 f(x)dx 0 (x)dx ，D(X)E(X 2 )E(X) 2 ， )解析：23.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3个白球 2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设 4个球中的黑球数用 X表示，求 X的分布律（分数：2.0
20、0）_正确答案：(正确答案：设 A从甲袋中取出黑球，X 的可能取值为 0，1，2，3，令XiB i (i0，1，2，3)，则 P(X0)P(B 0 )P(A)P(B 0 A) P(X1)P(B 1 )P(A)P(B 1 A) P(X2)P(B 2 )P(A)P(B 2 A) P(X3)P(B 3 )P(A)P(B 3 A) 所以X的分布律为 X )解析：24.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f X (x) f(x,y)dy 当 x0 时，f X (x)0； 当 x0 时，f X (x) f(x，y)dy 0 2e (x2y
21、) dye x 0 e 2y d(2y)e x ， 则 f X (x) f Y (y) f(x,y)dx， 当 y0 时，f Y (y)0； 当 y0 时，f Y (y) 0 2e (x2y) dx2e 2y 0 e x dx2e 2y ， 则 f Y (y) (2)N为 f(x，y)f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立 (3)F Z (z)P(Zz)P(X2Yz) f(x，y)dxdy， 当 z0 时，F Z (z)0； 当 z0 时， )解析：25.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12为不合格品，其余为合
22、格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)1P(X10)20P(10X12)5P(X12) (10)20(12)(10)51(12) 25(12)21(10)5 令21(10)25(12)0，即 0， 解得 11 )解析：26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 UmaxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)P(Uu)Pmax(X 1 ，X 2 ，X n )u PX 1 u，X 2 u，X n u E(U) uf U (u)du 0 a u ， E(U 2 ) u 2 f U (u)du 0 a u 2 ， 于是 D(U) )解析：27.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本， 令 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
