1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 57及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对任意两个事件 A和 B，若 P(AB)0，则( )（分数：2.00）A.ABB.C.P(A)P(B)0D.P(AB)P(A)3.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)F(a)1B.F(a)F(a)1C.F(a)F(a)1D.F(a)F(a)14.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y
2、)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)D(X)D(Y)B.D(XY)D(X)D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立5.设随机变量 XF(m，m)，令 PP(X1)，qP(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.pqD.p，q 的大小与自由度 m有关6.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)aF 1 (x)bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XU1，1，则随机变量 UarcsinX，VarccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.D.1
3、二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)07，P(AB)03，则 P （分数：2.00）填空项 1:_9.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1) （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)0 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，令 Y4X3，则 E(Y) 1 ，D(Y) 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等
4、式得 P （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X的分布规律为 P(Xi) （分数：2.00）填空项 1:_14.设 10件产品中有 4件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_18.设 XU(0，
5、2)，YX 2 ，求 Y的概率密度函数（分数：2.00）_19.设二维随机变量(X，Y)的联合密度为发 f(x,y) （分数：2.00）_20.某流水线上产品不合格的概率为 p （分数：2.00）_21.设随机变量 X的数学期望和方差分别为 E(X)，D(X) 2 ，用切比雪夫不等式估计 PX3（分数：2.00）_22.设总体 X的概率密度为 f(x) （分数：2.00）_23.设 A，B 同时发生，则 C发生证明：P(C)P(A)P(B)1（分数：2.00）_24.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(Xi) （分数：2.00）_25.n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直
6、到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_26.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i X i （分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i X i （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 57答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.
7、对任意两个事件 A和 B，若 P(AB)0，则( )（分数：2.00）A.ABB.C.P(A)P(B)0D.P(AB)P(A) 解析：解析：因为 P(AB)P(A)P(AB)，选(D)3.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)F(a)1B.F(a)F(a)1 C.F(a)F(a)1D.F(a)F(a)1解析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 F(a)F(a) 4.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)D(X)D(Y)B.D(XY)D(X)D(Y) C.X，Y
8、独立D.X，Y 不独立解析：解析：因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)0， 又 D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X，Y)，所以 D(XY)D(X)D(Y)，选(B)5.设随机变量 XF(m，m)，令 PP(X1)，qP(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.pq D.p，q 的大小与自由度 m有关解析：解析：因为 xF(m，m)，所以 F(m，m)，于是 qP(X1)P(6.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)aF 1 (x)bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.
9、C.D. 解析：解析：根据性质 F()1，得正确答案为(D)7.设随机变量 XU1，1，则随机变量 UarcsinX，VarccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C.D.1解析：解析：当 PYaXb1(a0)时， XY 1；当 PYaXb1(a0)时， XY 1 因为 arcsinxarccosx (1x1)，即 UV 或 UV 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)07，P(AB)03，则 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：由 P(AB)P(A)P(AB)03 及 P(A)07
10、，得 P(AB)04， 则 P9.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(X1) 1P(X0)1(1p) 2 得 p ， P(Y1)1(1p) 3 1 10.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1p) 2 (1p) 2n）解析：解析：令 A(X0)，B(Y0)，则 Pmin(X，Y)0P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(X0)P(Y0)P(X0,Y0)2(1p) 2 (1p) 2n11.
11、设随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，令 Y4X3，则 E(Y) 1 ，D(Y) 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）填空项 1:_ （正确答案：32）解析：解析：因为 XP(2)，所以 E(X)D(X)2， 于是 E(Y)4E(X)35，D(Y)16D(X)3212.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，所以 ， 从而 13.设总体 X的分布规律为 P(Xi)
12、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：解析：E(X) ， 令 E(X) ，则 的矩估计量为14.设 10件产品中有 4件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A第一件产品合格，B第二件产品合格，则所求概率为15.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X) 0 1 xf(x)dx 0 1 6x 2 (1x)dx E(X 2 ) 0 1 x 2 f(x)dx 0 1 6 3 (
13、1x)dx 则 D(X) ，于是 PXE(X)2D(X) 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 抽取到甲厂产品，A 2 抽取到乙厂产品，A 3 抽取到丙厂产品，B 抽取到次品，P(A 1 )06，P(A 2 )025，P(A 3 )015， P(BA 1 )003，P(BA 2 )005，P(BA 3 )008， 由全概率公式得 P(B) )解析：
14、18.设 XU(0，2)，YX 2 ，求 Y的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： F Y (y)P(Yy)P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)0； 当 y0 时，F Y (y) )解析：19.设二维随机变量(X，Y)的联合密度为发 f(x,y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)1c 0 dx 0 xe x(y1) dyc c1 (2)当 x0 时，f X (x)0；当 x0 时，f X (x) 0 xe x(y1) dye x 当 y0 时，f Y (y)0；当 y0 时，f Y (y) 0 xe x(y1) dx 显然当 x0，y0 时，f(x，
15、y)f X (x)f Y (y)，所以 X，Y不相互独立 (3)当 z0 时，F Z (z)0； 当 z0 时，F Z (z)P(Zz)Pmax(X，Y)zP(Xz，Yz) 0 z dx 0 z xe x(y1) dy1e z )解析：20.某流水线上产品不合格的概率为 p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布率为 P(Xk)(1p) k1 p(k1，2，) E(X)p k(1p) k1 pS(1p) 10 故 E(X 2 )p k 2 (1p) k1 pS(1p) )解析：21.设随机变量 X的数学期望和方差分别为 E(X)，D(X) 2 ，用切比雪夫不等式估计 PX3（分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：PX31 )解析：22.设总体 X的概率密度为 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于总体的均值为 E(X) xf(x)dx 0 1 (1)x 1 dx ，令 E(X) ， 则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ，x 2 ，x n )为来自总体(X 1 ，X 2 ，X n )的观察值，则关于参数 的似然函数为 ，lnL()nln(1) lnx i ， 令 lnx i 0，得参数 的最大似然估计值为 ， 参数 的最大似然估计量为 )解析：23.设 A，B 同时发生，则 C发生证明：P(C)P(A)P(B)1（分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C发生，所以 AB )解析：24.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(Xi) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 X，Y 相互独立，所以 P(UVi)P(Xi，Yi)P(Xi)P(Yi)，i1,2,3； P(U2，V1)P(X2，Y1)P(X1，Y2) ； P(U3，V1)P(X3，Y1)P(X1，Y3) ； P(U3，V2)P(X3，Y2)P(X2，Y3) ； P(U1，V2)P(U1，V3)P(U2，V3)0 所以(U，V)的联合分布律为 (2)P(Z1)P(UV1)P(U1，V1) ； P(Z2)P(UV2)P(U1，V
18、2)P(U2，V1)； P(Z3)P(UV3)P(U1，V3)P(U3，V1) ； P(Z4)P(UV4)P(U2，V2) ； P(Z6)P(UV6)P(U2，V3)P(U3，V2) P(Z9)P(UV9)P(U3，V3) 所以 X的分布律为 (3)由于 P(U1)P(X1，Y1)， P(V1)P(X1，Y1)P(X2，Y1)P(X3，Y1)P(X1，Y2) P(X1，Y3) 而 P(U1)P(V1) P(U1，V1) ，所以 U，V 不相互独立 (4)P(UV)P(U1，V1)P(U2，V2)P(U3，V3) )解析：25.n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，
19、下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 X为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n 且 P(Xk)，k1,2,n 注意：设第 3次才能打开门，则 (2)设 Y为开门次数，y 的可能取值为1，2，n， )解析：26.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)D(Y i )Cov(Y i ，Y i )D(X i )D (2)Cov(Y 1 ，Y n )Cov (3)Y 1 Y n X 1 X n ， 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 Y n 服从正态分布， E(Y 1 Y n ) )解析：27.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)因为 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， 所以 Cov(Y 1 ，Y n )Cov(X 1 ) Cov(X 1 ，X n )Cov(X 1 ， ， )解析：
