1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 54及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）A.与 b无关，且随 a的增加而增加B.与 b无关，且随 a的增加而减少C.与 a无关，且随 b的增加而增加D.与 a无关，且随 b的增加而减少3.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，pP(X 2 9Y 2 9a 2 )，则( )（分数：2.00）A.p的值与 a无关，
2、且 pB.p的值与 a无关，且 pC.p的值随 a值的增大而增大D.p的值随 a值的增大而减少4.设 Xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1)D. 2 (4)5.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC相互独立B.AB与 AC 相互独立C.AB与 AC相互独立D.AB 与 AC 相互独立6.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.XY 服从一维正态分布二、填空
3、题(总题数：9，分数：18.00)7.设 P(B)05，P(AB)03，则 P(AB) 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设一次试验中，出现事件 A的概率为 p，则 n次试验中 A至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X的概率密度函数为 f X (x) （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 Px （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXY 1，DXY 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设(X 1 ，X 2 ，X n ，
4、X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量U （分数：2.00）填空项 1:_13.随机向区域 D：0y (a0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。（分数：2.00）_17.10件产品中 4件为次品，6 件为正品，现抽取 2件产品(1)求第一件为正品，第二件为次品的概率；(2)在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；(3)逐个抽取，求第二件为正品的概率（分数：2.00）_18.设随机变量 X的密度函数为 f(x) (1)求常数 A； (2)求 X在(0， （分数：2.00）_19.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z2XY3 的密度（分数：2.00）_20.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部
6、件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_21.设 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z （分数：2.00）_22.设总体 X的分布律为 P(Xk)(1p) k1 p(k1，2，)，其中 P是未知参数，X 1 ，X 2 ， ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_23.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)服从二维
7、正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相 关系数为 （分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 54答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）A.与 b无关，且随 a的增加而增加B.与 b无关，且随 a的增加而减少C.与 a无关，且随 b的增加而增加
8、D.与 a无关，且随 b的增加而减少解析：解析：因为 f(x)dx1，所以 a Ae x dx1，解得 Ae a 由 P(aXab) a ab f(x)dx a ab e a e x dxe a e x a ab 1e b ， 得 P(aXab)与 a无关，且随 b的增加而增加，选(C)3.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，pP(X 2 9Y 2 9a 2 )，则( )（分数：2.00）A.p的值与 a无关，且 pB.p的值与 a无关，且 p C.p的值随 a值的增大而增大D.p的值随 a值的增大而减少解析：解析：因为(X，Y)在区域 D：x
9、 2 y 2 9a 2 上服从均匀分布， 所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y) pP(X 2 9Y 2 9a 2 f(x，y)dxdy 4.设 Xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1) D. 2 (4)解析：解析：因为 Xt(2)，所以存在 UN(0，1)，V 2 (2)，且 U，V 相互独立，使得 X 则 ，因为 V 2 (2)，U 2 2 (1)且 V，U 2 相互独立，所以 5.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC相互独立 B.AB与 AC 相互独立C.AB与 AC相互
10、独立D.AB 与 AC 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)P(A)P(B)P(C)6.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.XY 服从一维正态分布解析：解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是 正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独 立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不
11、对；当 X，Y 相互独立时 才能推出 XY 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设 P(B)05，P(AB)03，则 P(AB) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08）解析：解析：因为 P(AB)P(A)P(AB)，所以 P(AB)P(AB)P(B)088.设一次试验中，出现事件 A的概率为 p，则 n次试验中 A至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1(1p) n ，(1p) n1 1(n1)p）解析：解析：令 BA 至少发生一次，则 P(B)1
12、C n 0 p 0 (1p) n 1(1p) n ， 令 CA 至多发生一次， 则 P(C)C n 0 p 0 (1p) n C n 1 p(1p) n1 (1p) n1 1(n1)p9.设随机变量 X的概率密度函数为 f X (x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 F Y (y)P(Yy)P 所以 f Y (y) 10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 Px （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析：因为 XE()，所以 F X (x) 且 D(X) 则 11.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，
13、则 EXY 1，DXY 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：令 ZXY，则 ZN(0，2)，f Z (z) (z) EXYEZ zf Z dz dz 因为 EZ 2 E(Z 2 )D(Z)E(Z) 2 2， 所以DZEZ 2 (EZ) 2 2 12.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量U （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(n，m)）解析：解析：因为 X i 2 2 (n)， X i 2 2 (m)，且 X i 2 2 (n)与
14、X i 2 2 (m)， 相互独立，所以 U 13.随机向区域 D：0y (a0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：半圆的面积为 S a 2 ，落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 的区域记为 D 1 ， 所求概率为 14.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5Y3)15.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总
15、体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(1,2)）解析：解析： X 1 2 2 (1)， (Y 1 2 Y 2 2 ) 2 (2)， 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.10件产品中 4件为次品，6 件为正品，现抽取 2件产品(1)求第一件为正品，第二件为次品的概率；(2)在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；(3)逐个抽取，求第二件为正品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 A i 第 i次取到正品(i1，2)，则 )解析：18.设随机变量
16、 X的密度函数为 f(x) (1)求常数 A； (2)求 X在(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 f(x)dx1，所以 1A cosxdx2A，解得 A (3)F(x)PXx x f(t)dt， )解析：19.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z2XY3 的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z2XY3 服从正态分布，由 E(Z)2E(X)E(Y)35，D(Z)4D(X)D(y)9， 则 Z的密度函数为 )解析：20.一台设备由三大部件构成，在设备
17、运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i 第 i个部件需要调整(i1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X0)P 0908070504， P(X1)P 0398， P(X3)P(A 1 A 2 A 3 )0006， P(X2)10504039800060092 所以 X的分布律为 X )解析：21.设 X与 Y相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X与 Y相互独
18、立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )， 所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) 故 E f(x,y)dxdy 0 2 d 0 D E(X 2 Y 2 ) )解析：22.设总体 X的分布律为 P(Xk)(1p) k1 p(k1，2，)，其中 P是未知参数，X 1 ，X 2 ， ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X) k(1p) k1 p ，得参数 p的据估计量为 L(p)P(Xx 1 )P(Xx n )(1p) p n ， lnL(p)( x i n)ln(1p)nlnp， 令 0，得参数 p的极
19、大似然估计量为 )解析：23.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 甲数为 5，A 2 甲数为 10，A 3 甲数为 15，B甲数大于乙数， P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) ，P(BA 1 ) ，P(BA 2 ) ，P(BA 3 )1， 则 P(B)P(A 1 )P(BA 1 )P(A 2 )P(BA 2 )P(A 3 )P(BA 3 ) )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1)(2)(Y)0 得矩阵 A的特征值为 1 1， 2 2， 3 Y 若
20、 Y1，2 时，矩阵 A一定可以对角化； 当 Y1 时，A ，1 为二重特征值， 因为 r(EA)2，所以 A不可对角化； 当 Y2 时，A 2 为二重特征值， 因为 r(2EA)1，所以 A可对角化，故 A可对角化的概率为 P(Y1，2)P(Y2)P(Y0)P(Y2)P(Y3) )解析：25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)P(Uu)P(X2Yu) P(X1)P(X2YuX1)P(X2)P(X2YuX2) 当 u1 时，F U (u)0； 当 1u2 时，F U (u)05 4e 4x dx (1e 22u ) 当 u2 时，F U (u)05 4e 4x dx05 4e 4x dx (1e 22u ) (1e 42u )； 故 f U (u) )解析：26.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相 关系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
