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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷53及答案解析.doc

    • 资源ID:1395283       资源大小:187KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷53及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 53及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A、B 为两个随机事件,且 B (分数:2.00)A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(a)3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0,则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )(分数:2.00)A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)

    2、D.P(B|AC)=P(B|C)4.连续抛掷一枚硬币,第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( )(分数:2.00)A.C n k ( B.C n k ( C.C n1 k1 ( D.C n1 k1 ( 5.设随机变量 X在0,1上服从均匀分布,记事件 (分数:2.00)A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立6.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,f X (x),f Y (y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在 Y=y条件下,X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )(分数:2.00)A.f X (x)B.f Y (y

    3、)C.f X (x)f X (y)D.7.设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 X与 Y不相关,则 X与 Y 2 不相关B.若 X与 Y 2 不相关,则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价8.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX,1,则 E(Y)=( )(分数:2.00)A.1B.1+e 1C.1一 e 1D.e 19.设随机变量 X和 Y独立同分布,记 U=XY,V=X+Y,则随机变量 U与 V必然( )(分数:

    4、2.00)A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零10.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是取自总体 N(0,1)的简单随机样本,已知 (分数:2.00)A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数:12,分数:24.00)11.10个同规格的零件中混入 3个次品,现在进行逐个检查,则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_12.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2,现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 A厂生产的概率是 1。(分数:2.00)填空项 1:_13.设随机

    5、变量 X的概率分布 P(X=k)= ,k=1,2,其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x),已知F(b)= (分数:2.00)填空项 1:_14.设 X服从参数为 的泊松分布,PX=1=PX=2,则概率 P0X 2 3= 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.设随机变量 X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量 Y=X 2 在(0,4)内的概率密度 f Y (Y)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设二维随机变量(X,Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布,则P0x (分数:2.00)填空项 1:_17.相互独立的随机变量 X 1 与

    6、X 2 均服从正态分布 N(0, (分数:2.00)填空项 1:_18.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 04,则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09,若 Z=2X一 1,则 Y与 Z的相关系数为 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设随机变量 X与 Y相互独立,且 XB(5,08),YN(1,1),则根据切比雪夫不等式有P0x+y10 1。(分数:2.00)填空项 1:_21.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是取自正态总体 N(0,2 2 )的简单随机样本,Y

    7、=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ,则当 a= 1,b= 2 时,统计量服从 2 分布,自由度为 3。(分数:2.00)填空项 1:_22.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本,则 的极大似然估计量为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_24.设有两箱同类零件,第一箱内装 5件,其中 1件是一等品,第二箱内装 5件,其中 2件是一等品,现在从两箱中随机挑一箱,然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求:(

    8、)先取出的零件是一等品的概率;()在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍为一等品的概率。(分数:2.00)_25.()设随机变量 X服从参数为 的指数分布,证明:对任意非负实数 s及 t,有 PXs+t|Xs=PXt()设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布,某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率。(分数:2.00)_26.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 (分数:2.00)_27.将三封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目,Y 为有信的邮筒数目。求:()( X,Y)的联合概率分布;() Y 的边缘分布;()

    9、在 X =0的条件下,关于 Y的条件分布。(分数:2.00)_28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_29.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布,记 (分数:2.00)_30.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x;)= (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 53答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A、B 为两个随机事件,且 B (分数:2.00

    10、)A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(a)解析:解析:如图 311所示,可见 A+B=AB=A, AB=AB=B, B 一 A= 于是 P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),P(BA)= =0, 故选项 A正确。C 选项只有当 P(A)=1时才成立。3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0,则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )(分数:2.00)A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C) 解析:解析:因为 P(AB

    11、|C)=P(A|C)P(B|C),所以4.连续抛掷一枚硬币,第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( )(分数:2.00)A.C n k ( B.C n k ( C.C n1 k1 ( D.C n1 k1 ( 解析:解析:依据题意,总共抛掷 n次,其中有 k次出现正面,余下的为 n一 k次反面。 第 n次必是正面向上,前 n一 1次中有 nk次反面,k 一 1次正面(如上图所示)。根据伯努利公式,所以概率为5.设随机变量 X在0,1上服从均匀分布,记事件 (分数:2.00)A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立 解析:解析:由图 321可立即得到正

    12、确选项为 D,事实上,根据题设可知6.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,f X (x),f Y (y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在 Y=y条件下,X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )(分数:2.00)A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f X (y)D.解析:解析:因为(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,那么 X与 Y独立,且 f(x,y)=f Y (x)f Y (y)。 则 7.设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 X与 Y不相关,则 X与 Y 2 不相关B.若 X与 Y 2

    13、不相关,则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价 解析:解析:对于选项 D:设 XB(1,p),Y 一 B(1,q),当 X与 Y独立时 X与 Y不相关。反之,当 X与Y不相关,即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq时,可得下列分布律8.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX,1,则 E(Y)=( )(分数:2.00)A.1B.1+e 1 C.1一 e 1D.e 1解析:解析:随机变量 X的密度函数为 9.设随机变量 X和 Y独立同分布,记 U=XY,V=X

    14、+Y,则随机变量 U与 V必然( )(分数:2.00)A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析:解析:因为 Cov(U,V)=E(UV)一 E(U).E(V) =E(X 2 一 V 2 )一 E(XY).E(X+Y) =E(X 2 )一 E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一 D(Y)=0。 则 10.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是取自总体 N(0,1)的简单随机样本,已知 (分数:2.00)A.5B.4C.3 D.2解析:解析: +a(X 1 X 2 +X 3 X 4 ) = a(X 1 +X 2 ) 2 + a(X 3 +X 4 ) 2

    15、 = (X 1 +X 2 ) 2 + (X 3 +X 4 ) 2 , 由 Y 2 (n)可知 n=2,且 (X 1 +X 2 )一 N(0,1),故 1=D (X 1 +X 2 )= 二、填空题(总题数:12,分数:24.00)11.10个同规格的零件中混入 3个次品,现在进行逐个检查,则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”,现要求的是 P(A)的值。事实上,事件 A由两个事件合成:B=“前 4次检查,查出 2个次品”和 C=“第 5次检查,查出的零件为次品”,即 A

    16、=BC,由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B),事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合, 所以 P(B)=已知事件 B发生的条件下,即已检查了 2正 2次,剩下 6个零件,其中 5正 1次,再要抽检一个恰是次品的概率 P(C|B)= 。故 P(A)=12.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2,现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 A厂生产的概率是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的,事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的

    17、,事件C=抽到的产品是次品,则 P(A)=06,P(B)=04,P(C|A)=001,P(C|B)=002, 根据贝叶斯公式可知13.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ,k=1,2,其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x),已知F(b)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3b4)解析:解析:首先确定 a,由 当 ixi+1 时,F(x)=14.设 X服从参数为 的泊松分布,PX=1=PX=2,则概率 P0X 2 3= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2e 2)解析:解析:已知 PX=k= e (k=0,1,),由于 PX=1=PX=

    18、2,即 15.设随机变量 X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量 Y=X 2 在(0,4)内的概率密度 f Y (Y)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:首先求出在(0,4)上 Y的分布函数 F Y (y)。当 0y4 时,有 F Y (y)=PYY=PX 2 y= 故 f Y (y)=F Y (y)= 16.设二维随机变量(X,Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布,则P0x (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由直线 y=x与曲线 Y=x 2 所围成的区域面积为 A=

    19、 0 1 (x一 x 2 )dx= ,所以(X,Y)的概率密度函数为 17.相互独立的随机变量 X 1 与 X 2 均服从正态分布 N(0, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,且服从正态分布 ,设 Z=X 1 X 2 ,则ZN(0,1),其概率密度函数为 D(|X 1 一 X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一 E 2 (|Z|) =E(Z 2 )一 E 2 |Z|=D(Z)+E 2 (Z)一 E 2 |Z|, 显然,D(Z)=1,E(Z)=0。 E(|Z|)= + |z|(z)dz 所以,D(|X

    20、 1 一 X 2 |)=1+0 18.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 04,则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:18.4)解析:解析:根据题意可知,X 服从 n=10,p=04 的二项分布,因此有 E(X)=np=4,D(X)=np(1 一 p)=24, 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=184。19.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09,若 Z=2X一 1,则 Y与 Z的相关系数为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0.9)解析:解析:Cov(Y,Z

    21、)=Coy(Y,2X 一 1)=2Cov(X,Y),D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X)。Y 与 Z的相关系数 XY 为 20.设随机变量 X与 Y相互独立,且 XB(5,08),YN(1,1),则根据切比雪夫不等式有P0x+y10 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0.928)解析:解析:因为 E(X)=4,D(X)=08,E(Y)=1,DY=1,所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18。 根据切比雪夫不等式,可得 P0x+Y10=P|x+Y 一 5|51 一21.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 是取自正态总

    22、体 N(0,2 2 )的简单随机样本,Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ,则当 a= 1,b= 2 时,统计量服从 2 分布,自由度为 3。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:根据题意 X 1 N(0,2 2 )且相互独立,所以 X 1 一 2X 2 N(0,20),3X 3 一 4X 4 N(0,100),故 N(0,1)且它们相互独立,根据 2 分布典型模式及性质知 (X 1 一 2X 2 ) 2 + (3X 3 4X 4 ) 2 2 (2), 所以 a= 22.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自参数为 的泊

    23、松分布总体的一个样本,则 的极大似然估计量为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 p(x i ;)=Px=x i = e (x i =0,1,),则极大似然估计为 两端取对数,得 两端求微分并令 解得 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.设有两箱同类零件,第一箱内装 5件,其中 1件是一等品,第二箱内装 5件,其中 2件是一等品,现在从两箱中随机挑一箱,然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求:()先取出的零件是一等品的概率;()在先取出的零件是一等品的

    24、条件下,第二次取出的零件仍为一等品的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 H i 表示“被挑出的是第 i箱”,i=1,2,则 H 1 ,H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品”,B 表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。 ()由全概率公式得: P(A)=P(H 1 )P(A|H 1 )+P(H 2 )P(A|H 2 ) ()P(B|A)表示的是“在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得 )解析:25.()设随机变量 X服从参数为 的指数分布,证明:对任意非负实数 s及 t,有 PXs+t|Xs=PXt()设电视机的

    25、使用年数 X服从参数为 01 的指数分布,某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知随机变量 X服从指数分布,对于任意的非负实数,根据指数分布的分布函数 F(x)=1一 e x ,根据结论 对任意非负实数 s及 t,有 因为 X是连续的随机变量,根据分布函数的定义,对任意实数 x,有 PXx=PXx=F(x)。 PXt=1 一 PXt=1 一 PXt=1F(t)=1一(1 一 e t )=e t , 因此可得 PXs+t | xs=PXt成立。 ()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01),则其概率分布函数为 )解析:26.设二维

    26、离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和,所以 p 1 =p 2 =p 3 =p 4 = (p i =PX=i,p j =PY=j) 假如随机变量 X与 Y相互独立,就应该对任意的 i,j 都有 p ij =p i p j ,而本题中 p 14 =0,但是 p 1 与 p 4 均不为零,所以 p 14 p 1 p 4 故 X与 Y不是相互独立的。 )解析:27.将三封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目,Y 为有信的邮筒数目。求:()( X,Y)的联合概率

    27、分布;() Y 的边缘分布;()在 X =0的条件下,关于 Y的条件分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据题意,(X,Y)的全部可能取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,2),(3,1),再分别计算相应的概率。 事件X=0,Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式,样本空间所含样本点数为 4 3 =64,事件X=0,Y=1的样本点数为 C 3 1 =3,于是 PX=0,Y=1= 类似地可以计算出各有关概率值,列表如下: ()从表中看出 Y只取 1,2,3 三个可能值,相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和。

    28、于是 Y的边缘分布为表中最下行值。 在 X=0条件下,关于 Y的条件分布,可以应用上述公式计算出来,列表如下: )解析:28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知(X,Y)的概率密度,所以关于 X的边缘概率密度 f X (x)= + f(x,y)dy= 所以,关于 Y的边缘概率密度 f Y (y)= + f(x,y)dx= ()设 F Z (z)=PZz=P2XYz, (1)当 z0 时,F Z (z)=P2XYz=0; (2)当 0z2 时,F Z (z)=P2XYz=z 一 (3)当 z2 时,F Z (z)=P2XYz=1。 所以 F

    29、Z (z)的即分布函数为:F Z (z)= 故所求的概率密度为:f Z (z)= )解析:29.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布,记 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知(U,V)是二维离散型随机变量,只取(0,0),(1,0),(1,1)各值,且 PU=0,V=0=pXY,X2Y=PXY= , PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y= , PU=1,V=1=PXY,X2Y=PX2r= , 于是(U,V)的联合分布为 ()从()中分布表看出 )解析:30.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x;)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:似然函数为 L(0)=L(x 1 ,x 2 ,x n ;)= 当 x i (i=1,2,n)时,L()0,取对数,得 lnL(0)=nln2 一 (x i 一 0)。 因为 =2n0,所以 L(0)单调增加。 由于 必须满足 x i (i=1,2,n),因此当 取 x 1 ,x 2 ,x n 中最小值时,L()取最大值,所以 的最大似然估计值为 )解析:


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