1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 53及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(a)3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)
2、D.P(B|AC)=P(B|C)4.连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( )（分数：2.00）A.C n k ( B.C n k ( C.C n1 k1 ( D.C n1 k1 ( 5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立6.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )（分数：2.00）A.f X (x)B.f Y (y
3、)C.f X (x)f X (y)D.7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X与 Y 2 不相关B.若 X与 Y 2 不相关，则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价8.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（分数：2.00）A.1B.1+e 1C.1一 e 1D.e 19.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：
4、2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零10.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.10个同规格的零件中混入 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机
5、变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率密度 f Y (Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0x （分数：2.00）填空项 1:_17.相互独立的随机变量 X 1 与
6、X 2 均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X一 1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P0x+y10 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y
7、=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：(
8、)先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）_25.()设随机变量 X服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 PXs+t|Xs=PXt()设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。（分数：2.00）_26.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_27.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()( X，Y)的联合概率分布；() Y 的边缘分布；()
9、在 X =0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_30.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 53答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00
10、）A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(a)解析：解析：如图 311所示，可见 A+B=AB=A， AB=AB=B， B 一 A= 于是 P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(BA)= =0， 故选项 A正确。C 选项只有当 P(A)=1时才成立。3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C) 解析：解析：因为 P(AB
11、|C)=P(A|C)P(B|C)，所以4.连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( )（分数：2.00）A.C n k ( B.C n k ( C.C n1 k1 ( D.C n1 k1 ( 解析：解析：依据题意，总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面，余下的为 n一 k次反面。 第 n次必是正面向上，前 n一 1次中有 nk次反面，k 一 1次正面(如上图所示)。根据伯努利公式，所以概率为5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立 解析：解析：由图 321可立即得到正
12、确选项为 D，事实上，根据题设可知6.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )（分数：2.00）A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f X (y)D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，那么 X与 Y独立，且 f(x，y)=f Y (x)f Y (y)。 则 7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X与 Y 2 不相关B.若 X与 Y 2
13、不相关，则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价 解析：解析：对于选项 D：设 XB(1，p)，Y 一 B(1，q)，当 X与 Y独立时 X与 Y不相关。反之，当 X与Y不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq时，可得下列分布律8.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（分数：2.00）A.1B.1+e 1 C.1一 e 1D.e 1解析：解析：随机变量 X的密度函数为 9.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X
14、+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U).E(V) =E(X 2 一 V 2 )一 E(XY).E(X+Y) =E(X 2 )一 E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一 D(Y)=0。 则 10.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5B.4C.3 D.2解析：解析： +a(X 1 X 2 +X 3 X 4 ) = a(X 1 +X 2 ) 2 + a(X 3 +X 4 ) 2
15、 = (X 1 +X 2 ) 2 + (X 3 +X 4 ) 2 ， 由 Y 2 (n)可知 n=2，且 (X 1 +X 2 )一 N(0，1)，故 1=D (X 1 +X 2 )= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.10个同规格的零件中混入 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”，现要求的是 P(A)的值。事实上，事件 A由两个事件合成：B=“前 4次检查，查出 2个次品”和 C=“第 5次检查，查出的零件为次品”，即 A
16、=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)，事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合， 所以 P(B)=已知事件 B发生的条件下，即已检查了 2正 2次，剩下 6个零件，其中 5正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率 P(C|B)= 。故 P(A)=12.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的
17、，事件C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=001，P(C|B)=002， 根据贝叶斯公式可知13.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3b4）解析：解析：首先确定 a，由 当 ixi+1 时，F(x)=14.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2）解析：解析：已知 PX=k= e (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=
18、2，即 15.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率密度 f Y (Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出在(0，4)上 Y的分布函数 F Y (y)。当 0y4 时，有 F Y (y)=PYY=PX 2 y= 故 f Y (y)=F Y (y)= 16.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由直线 y=x与曲线 Y=x 2 所围成的区域面积为 A=
19、 0 1 (x一 x 2 )dx= ，所以(X，Y)的概率密度函数为 17.相互独立的随机变量 X 1 与 X 2 均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且服从正态分布 ，设 Z=X 1 X 2 ，则ZN(0，1)，其概率密度函数为 D(|X 1 一 X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一 E 2 (|Z|) =E(Z 2 )一 E 2 |Z|=D(Z)+E 2 (Z)一 E 2 |Z|， 显然，D(Z)=1，E(Z)=0。 E(|Z|)= + |z|(z)dz 所以，D(|X
20、 1 一 X 2 |)=1+0 18.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18.4）解析：解析：根据题意可知，X 服从 n=10，p=04 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=184。19.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X一 1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：Cov(Y，Z
21、)=Coy(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X)。Y 与 Z的相关系数 XY 为 20.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P0x+y10 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.928）解析：解析：因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，DY=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18。 根据切比雪夫不等式，可得 P0x+Y10=P|x+Y 一 5|51 一21.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总
22、体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意 X 1 N(0，2 2 )且相互独立，所以 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 一 4X 4 N(0，100)，故 N(0，1)且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 (X 1 一 2X 2 ) 2 + (3X 3 4X 4 ) 2 2 (2)， 所以 a= 22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自参数为 的泊
23、松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 p(x i ；)=Px=x i = e (x i =0，1，)，则极大似然估计为 两端取对数，得 两端求微分并令 解得 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的
24、条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 H i 表示“被挑出的是第 i箱”，i=1，2，则 H 1 ，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品”，B 表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。 ()由全概率公式得： P(A)=P(H 1 )P(A|H 1 )+P(H 2 )P(A|H 2 ) ()P(B|A)表示的是“在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得 )解析：25.()设随机变量 X服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 PXs+t|Xs=PXt()设电视机的
25、使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知随机变量 X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)=1一 e x ，根据结论 对任意非负实数 s及 t，有 因为 X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 PXx=PXx=F(x)。 PXt=1 一 PXt=1 一 PXt=1F(t)=1一(1 一 e t )=e t ， 因此可得 PXs+t | xs=PXt成立。 ()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01)，则其概率分布函数为 )解析：26.设二维
26、离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 p 1 =p 2 =p 3 =p 4 = (p i =PX=i，p j =PY=j) 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 p ij =p i p j ，而本题中 p 14 =0，但是 p 1 与 p 4 均不为零，所以 p 14 p 1 p 4 故 X与 Y不是相互独立的。 )解析：27.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()( X，Y)的联合概率
27、分布；() Y 的边缘分布；()在 X =0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意，(X，Y)的全部可能取值为(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分别计算相应的概率。 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，事件X=0，Y=1的样本点数为 C 3 1 =3，于是 PX=0，Y=1= 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： ()从表中看出 Y只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和。
28、于是 Y的边缘分布为表中最下行值。 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知(X，Y)的概率密度，所以关于 X的边缘概率密度 f X (x)= + f(x，y)dy= 所以，关于 Y的边缘概率密度 f Y (y)= + f(x，y)dx= ()设 F Z (z)=PZz=P2XYz， (1)当 z0 时，F Z (z)=P2XYz=0； (2)当 0z2 时，F Z (z)=P2XYz=z 一 (3)当 z2 时，F Z (z)=P2XYz=1。 所以 F
29、Z (z)的即分布函数为：F Z (z)= 故所求的概率密度为：f Z (z)= )解析：29.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=pXY，X2Y=PXY= ， PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= ， PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2r= ， 于是(U，V)的联合分布为 ()从()中分布表看出 )解析：30.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 L(0)=L(x 1 ，x 2 ，x n ；)= 当 x i (i=1，2，n)时，L()0，取对数，得 lnL(0)=nln2 一 (x i 一 0)。 因为 =2n0，所以 L(0)单调增加。 由于 必须满足 x i (i=1，2，n)，因此当 取 x 1 ，x 2 ，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 )解析：
