1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 52及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A与 B互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B|A)=1不等价于( )（分数：2.00）A.P(AB)=0B.P(BA)=0C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)4.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )（分数：2.00）A.p k (1
2、一 p) nkB.C n k p k (1一 p) nkC.C n1 k1 p k (1一 p) nkD.C n1 k1 p k1 (1一 p) nk5.设函数 F(x)= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数B.是某连续型随机变量的分布函数C.是某随机变量的分布函数D.无法确定6.设随机变量 XN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 )的
3、概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+YC.X一 2YD.Y一 2X9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X)E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)10.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设总体 X与 Y都服从正态分布
4、N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为
5、正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从1，3上的均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1
6、。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y均服从 B(1， （分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X的密度函数 f(x)= S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最
7、大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_24.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_25.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= ，i=1，2，3。又设 X=max(，)，Y=min(，)。()写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_26.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_27.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_28.设总体 X的概率密
8、度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_29.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 52答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A与 B
9、互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：已知 AB= 无法断言 ，因此选项 A、B 不能选。由于 AB=3.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B|A)=1不等价于( )（分数：2.00）A.P(AB)=0B.P(BA)=0 C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)解析：解析：F(B|A)= P(AB)=P(A)，然而 P(BA)=P(B)一 P(AB)，所以选项 B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上： A 选项 P(A一 B)=P(A)一 P(AB)=0 P(AB)=P(A)。 C 选项 P(AB)=P(A) P(BA)=1。 D
10、 选项 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(B)4.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )（分数：2.00）A.p k (1一 p) nkB.C n k p k (1一 p) nkC.C n1 k1 p k (1一 p) nk D.C n1 k1 p k1 (1一 p) nk解析：解析：n 次射击视为 n次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1一 p，设事件 A=“射击 n次命中 k次”=“前 n一 1次有 k一 1次击中，且第 n次也击中”，则 P(A)=C n1 k1 p k1 (1一 p) n1(k1) p
11、=C n1 k1 p k (1一 p) kk 。应选 C。5.设函数 F(x)= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数B.是某连续型随机变量的分布函数C.是某随机变量的分布函数 D.无法确定解析：解析：由函数 F(x)的表达式可知，F(x)是单调非减的；F(x)是有界的；F(x)是右连续的(主要在x=0和 x=2这两点处)，即 F(x)满足分布函数的三条基本性质，所以 F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F(x)在 x=2处不连续，所以 F(x)不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C正确。6.设随机变量 XN(0，1)，其分布函
12、数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：F(y)=PYy=Pmin(X，0)y=1Pmin(X，0)y=1PXy，0y。 当 y0 时，PXy，0y=PXy，F(y)=1PXy=PXy=(y)。 当 y0 时，PXy，0y=0，F(y)=1，故选项 B正确。7.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
13、设(X 1 ，X 2 )的分布为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y 1 ，Y 2 )的分布为 F 2 (y 1 ，y 2 )。 F 2 (y 1 ，y 2 )=PY 1 y 1 ，Y 2 y 2 =P2X 1 y 1 ， X 2 y 2 =PX 1 ，X 2 3y 2 =F 2 ( ，3y 2 )。 所以 f 2 (y 2 ，y 2 )= 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+Y C.X一 2YD.Y一 2X解析：解析：由题意知，ZN(1，1)，而 X+YN(1，1)，故 X+Y和 Z是同分布的随机变量。9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y
14、不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X)E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，所以 A与 B等价。由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见选项 B与 D等价。于是，“X 和 Y不相关”与选项 A，B 和 D等价。故应选 C。10.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00
15、）A.B.C. D.解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(X i )=，D(X i )=，根据方差与期望的运算法则，有 =n，因此当 n时， 11.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据 t分布典型模式来确定正确选项。由于 X i N(0，m 2 )，U= N(0，1)，而 N(0，1)且相互独立，所以 V= 2 (
16、n)，U 与 V相互独立，根据 t分布典型模式知， 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=“方程 x 2 一 2x+u=0 有实根”，因 u， 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，)与正方形区域 D内的点一一对应(如图 313所示)，其中 D=(u，)|0u1，01。事件 A=(u，)|(2) 2 一 4u0，(u，)D，阴影 D 1 满足事件 A，其中 D 1 =(u，)| 2 u，
17、0u，1。 利用几何型概率公式，有 13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.892）解析：解析：设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P(A)=p。事件 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 A=BA A，根据题设可知 P(A|B)=1002=098，P(A|B)=01， 所以 p=P(A)=
18、P(AB)+ =P(B)P(A|B)+ =098P(B)+1 一 P(B)01 =01+088P(B)。显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P(B)。设 C i =“每箱产品含 i件次品”(i=0，1，2)，则 C 0 ，C 1 ，C 2 是一完备事件组，P(C i )= ，故 B=C 0 BC 1 BC 2 B，且 P(B)=P(C 0 )P(B|C 0 )+P(C 1 )P(B|C 1 )+P(C 2 )P(B|C 2 ) 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C n k (
19、 ）解析：解析：因为 X i X i 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立。所以 X 1 +X 2 +X n 可以看成 n次独立重复试验。即 15.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 Y一 N(， 2 )，且 P方程有实根=P14Y0= 16.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1)， 因此17.设随机变量
20、X服从1，3上的均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：随机变量 X的密度函数18.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 则 X=X 1 +X 2 +X n 。 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有 19.设随机变量 X和 Y均服从 B(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：
21、根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且 1=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)，解得 Cov(X，Y)= 。 故相关系数20.设总体 X的密度函数 f(x)= S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 ，E(S 2 )=D(X)，则 E(X)= + xf(x)dx= 1 1 x|x|dx=0， D(X)=E(X 2 )一E 2 (X)= + x 2 f(x)dx= 1 1 x 2 |x|dx=2 0 1 x 3 dx= ， 故 21.设 X 1 ，X 2
22、，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计。 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)= 样本二阶矩为 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 因此
23、 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)， 即 P(AB)minP(A)，P(B)。已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05， P(AB)的最大值是05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是 AB=A，即 A )解析：24.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 X服从二项分布 ，因此 X的分布律为 因此，X 的分布函数为X的数学期望是 E(X)= )解析：25.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为
24、 P=i= ，i=1，2，3。又设 X=max(，)，Y=min(，)。()写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据 X =max(，)，Y=min(，)的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0， 同时有， PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1.P=1=， PX=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2= ， PX=3，Y=3=P=3，=3=P=3.P=3= ， PX=2，Y=1=P=1，=2+P=2，=1= PX=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2= PX=3，Y=1=1 一 所以所求的分布律为 (
25、)X 的边缘分布为 因此X的数学期望为 )解析：26.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意随机变量(X 1 ，X 2 )是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数 p的01分布，所以它们的和 Y 1 +Y 2 +Y 3 Y服从二项分布 B(3，p)。于是 PX 1 =0，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=0+PY=3=(1 一 p)
26、 3 +p 3 ， PX 1 =0，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=Py=2=3p 2 (1一 p)， PX 1 =1，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=1=3p(1 一 p) 2 ， PX 1 =1，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2= 计算可得(X 1 ，X 2 )的联合概率分布为 )解析：27.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意可得，当 x (0，1)时，f(x)=0；当 0x1，有
27、()事件“X 大于 Y”的概率 ()条件概率 于是 )解析：28.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()F(x)= x f(x)dt= () =Pmin(X 1 ，X 2 ，X n )x =1一 Pmin(X 1 ，X 2 ，X n )x =1 一 PX 1 x，X 2 x，X n x =1 一1 一 F(x) n )解析：29.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得 ()PX 2 +Y 2 =1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0= PX=1|X+Y 2 =1= )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 的矩估计量 )解析：
