1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 51及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或 P(B)=03.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )
2、+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(A 1 A 2 ) 4.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A一 B)=1D.P(A一 B)=05.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点6.设随机变量 X的密度函数为 f Y (x)，
3、Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0B.C.D.18.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与 Y独立D.X与 Y不独立10.随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY=一 2X一 1=1B.PY
4、=2X一 1=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=111.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 0一 1分布12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是取自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_14.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白
5、球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_15.假设 X服从参数 A的指数分布，对 X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 XN(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X
6、2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_19.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1
7、:_22.设总体 X的概率密度函数为 f(x；)= 其中 001 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设事件 A与 B互不相容，P(A)=04，P(B)=03，求 （分数：2.00）_25.随机地向圆 x 2 +y 2 =2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数和概率密度。（分数：2.00
8、）_26.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_27.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_28.假设随机变量 x与 y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= ，PY=1= （分数：2.00）_29.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度 f(x)= 其中 a是常数，0 是未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X
9、 n 。 求：()常数 a； ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 51答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P(A)=0或 P(B)=0解析：解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P(
10、AB)=0不能推出 AB是不可能事件，故选 C。3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) D.P(A 1 A 2 ) 解析：解析：由题设知，P(A 1 A 2 |B)=0，但是这不能保证 P(A 1 A 2 )=0和 P(A 1 A 2 | )=0，故选项 A和 D不成立。由于 P(A 1 |
11、B)+P(A 2 |B)=P(A 1 A 2 )|B)未必等于 P(A 1 +A 2 )，因此 B一般也不成立。由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 )|B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，可见选项 C成立： 4.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(A一 B)=1 D.P(A一 B)=0解析：解析：当 P(AB)=1成立时， =1，由 P(A) =1，得 P(A)=1。同理，5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数
12、( )（分数：2.00）A.是连续函数 B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点解析：解析：对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+PX+Y=t，x=b =PY=t 一a，X=a+PY=t 一 b，X=b PY=t 一 a+PY=t一 b， 又 Y是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有PY=c=0。故对任意实数 t，PX+Y=t=06.设随机变量 X的密度函数为 f Y (x)，Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=一 2x+3是 x的单调可导函数，其反函数 根据随机变量函数的公式：7.设随机
13、变量 X i （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由 PX 1 X 2 =0=1得知，PX 1 X 2 0=0。于是根据 X 1 X 2 的分布律，有 PX 1 =一1，X 2 =一 1=0，PX 1 =一 1，X 2 =1=0。 PX 1 =1，X 2 =一 1=0，PX 1 =1，X 2 =1=0。 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X 1 ，X 2 )的联合分布律如下表。 8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 XN(0，1)与 YN(1，1)以及
14、X与 Y相互独立，得 X+YN(1，2)，XYN(一 1，2)。因为，若 ZN(， 2 )，则必有 PZ= 或 PZ= 9.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X与 Y独立D.X与 Y不独立解析：解析：因为 D(x+Y)=D(x)+D(Y)+2E(XY)一 E(X).E(Y)， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y)10.随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY=一 2X一 1=1B.PY=2X一 1=1C.
15、PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：设 Y=aX+b，因为 XY =1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项 A、C。由 XN(0，1)，YN(1，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1，所以 b=1。排除选项 B。故选择 D。11.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 0一 1分布 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之外，还要
16、求 X 1 ，X 2 ，X n ，同分布与期望存在。只有选项 D同时满足后面的两个条件，应选 D。12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是取自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2 解析：解析：根据题意，统计量 YF(m，n)，所以 解得 i=2，选择 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间 =(x，y)|0x，y1
17、，记A=(x，y)|(x，y)，|x 一 y| 。 所以 P(A)= 14.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设事件 A i =“取到第 i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 P( |B)。显然 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P(A i
18、)= ，i=1，2，3，P(B|A 1 )= ，P(B|A 2 )= ，P(B|A 3 )= 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得 15.假设 X服从参数 A的指数分布，对 X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知 记 A=X2，Y 为对 X做三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX2= 2 + e x =e 2 ，依题意PY1=1 一 PY=0=1一(1 一 p) 3 = ，故 1一 P= ，p= ，又 P=e 2 ，由 =e 2 ，解
19、得 = 16.设随机变量 XN(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y+x=0无实根”，则 A=164X0=X4，依题意，有 17.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域 D的面积为 因此(X，Y)的联合概率密度是 且其关于 x的边缘概率密度为 因此可知 f X (2)= 18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X
20、 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：Y 1 一 Y 2 =X 1 一 X 2 + 所以 Y 1 一 Y 2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。 又 E(Y 1 一 Y 2 )=0，D(Y 1 一 Y 2 )= 故 Y 1 一 Y 2 19.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(
21、X，Y)的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 341所示 p=P(A)=PX+Y1 所以 E(Z 2 )=D(Z)+E(Z) 2 =4 20.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由已知条件得，D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)=2，同理，D(Y)=2。则有 21.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （
22、正确答案：正确答案：2）解析：解析：显然 E(S 2 )=D(X)，而 D(X)=E|XE(X) 2 。 E(X)= + dx= + x e |x| dx= xe x dx+ + x x| dx = e x (xe x 一 e x )| +e (一 xe x e x | + =。 D(X)= + (x一 ) 2 22.设总体 X的概率密度函数为 f(x；)= 其中 001 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知， 1= + f(x；)dx=
23、 0 1 xdx+ 1 2 (1一 cx)dx= (41)，因为 0， 因此， 的矩估计量 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设事件 A与 B互不相容，P(A)=04，P(B)=03，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A与 B互不相容，所以 AB= B，故 =1一 P(AB)=1P(A)一 P(B)+P(AB)=03， )解析：25.随机地向圆 x 2 +y 2 =2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数
24、和概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)为 X的分布函数，则 F(x)=PXx，由于 F(x)=0的取值范围为0， ，因此 当 x0 时，F(x)=0；当 x 时，F(x)=1。 当 0x ，Xx 所代表的区域如图 325中阴影部分。 现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 S 1 = 11sin( 一 2x)= sin2x， 每个扇形的面积均为 S 2 = 2x1 2 =x，则阴影部分的总面积 S(x)=sin2x+2x，所以 )解析：26.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放
25、一个球，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出置的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布。 如果将 3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为 3!=6，PX 1 =1=P1号球落入 1号盒= ，PX 1 =0=1一 ，同理，PX 2 =1= ，PX 2 =0= 又 PX 1 =1，X 2 =1=P1号球落入 1号盒，2 号球落入 2号盒= ，依次可求得(X 1 ，X 2 )的联合分布为 )解析：27.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答
26、案：(正确答案：()如图 335所示 ()(1)当 10x20 时，f X (x)0，条件概率密度 f Y|X (y|x)存在。 (2)当 10x20 时，有 (3)当 5y10 或 10y20，f Y (y)0，f Y|X (y|x)存在。当 5y10 时， (4)当 10y20 时， f Y|X (y|x)是单个自变量 x的函数，y是一个固定值。 ()当 x=12时 Y的条件概率密度为 )解析：28.假设随机变量 x与 y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= ，PY=1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意 PY=一 1= ，PY=1 ，
27、XN(0，1)且 X与 Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=一 1PXYz|Y=一 1+Py=1PXYz|y=1 =PY=一 1P一 Xz|Y=一 1+PY=1PXz|Y=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 f Z (z)=(z)= ()由于 V=|X一 Y|只取非负值，因此当 0 时，其分布函数 F V ()=P|X 一 Y|=0；当 0 时， F V ()=P一 XY =PY=一 1P一XY|Y=一 1+PY=1P一 XY|Y=1 综上计算可得， 由于 F V ()是连续函数，且除个别点外，导数都
28、是存在的，所以 V的概率密度为 )解析：29.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()P(X=2Y)=p(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()Cov(X 一 Y，Y)=Cov(X，Y)一 Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY， 其中 E(X)= ，E(X 2 )=1，E(Y)=1，E(Y 2 )= ，D(X)=E(X 2 )一 E 2 X=1一 D(Y)=E(Y 2 )一 E 2 Y= 所以，Cov(X，Y)=0，Cov(Y，Y)=D(Y)= ，Cov(XY，Y)= )解析：30.设总体 X的概率密度 f(x)= 其中 a是常数，0 是未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n 。 求：()常数 a； ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 1= + f(x)dx= 0 + ()设样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组取值为 x 1 ，x 2 ，x n ，则似然函数 当 x i 0(i=1，2，n)时，取对数得 得 的最大似然估计量 )解析：
