1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 49及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)4.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A
2、.A与 BC独立B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立5.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 x0 有 F(x)=0B.如果 F(a)=1，则对任意 xn 有 F(x)=1C.如果 F(a)= ，则 Pxa=D.如果 F(a)= ，则 PXa=6.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则有( )（分数：2.00）A.F(+x)+F( 一 x)=1B.F(x+)+r(x 一 )=1C.F(+x)+F( 一 x)=0D.F(x+)+F(x 一 )=07.设随机
3、变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p) k1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= （分数：2.00）A.Cov(X 1 ，Y)= B.Cov(X 1 ，Y)= 2C.D(X 1 +Y)= D.D(X 1 Y)= 9.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.110.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且
4、 D(X i )=1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）A.E( B.E( C.E( D.E( 12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项
5、1:_14.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率P= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设(X，Y)N(，; 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的
6、均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，22)，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何
7、一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_23.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_24.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；()二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_27.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上
8、的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=|XY|的概率密度 f V ()。（分数：2.00）_28.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.00）_29.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：2.00）_30.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=X一 Y。 ()求 Z的概率密度 f(z； 2 )； ()设 Z 1 ，Z 2
9、，Z n 为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 49答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 与任何一个事件 A都相互不相容，即3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1 C.P(
10、C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)解析：解析：由题设条件可知 C4.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC独立 B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立解析：解析：经观察，即可知由选项 A能够推得所需条件。事实上，若 A与 BC独立，则有 P(ABC)=P(A)P(BC)。而由题设知 P(BC)=P(B)P(C)。从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选 A。5.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意
11、x0 有 F(x)=0B.如果 F(a)=1，则对任意 xn 有 F(x)=1C.如果 F(a)= ，则 Pxa=D.如果 F(a)= ，则 PXa= 解析：解析：由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1，F(x)=PXx，因此选项 A、B、C 都成立，而选项 D未必成立，因此选 D。6.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则有( )（分数：2.00）A.F(+x)+F( 一 x)=1 B.F(x+)+r(x 一 )=1C.F(+x)+F( 一 x)=0D.F(x+)+F(x 一 )=0解析：解析：7.设随机变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p
12、) k1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性得知8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= （分数：2.00）A.Cov(X 1 ，Y)= B.Cov(X 1 ，Y)= 2C.D(X 1 +Y)= D.D(X 1 Y)= 解析：解析：因为 Cov(X 1 ，Y)=Cov(X 1 ， Cov(X 1 ，X 1 )+ Cov(X 1 ，X i )。 而由 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，可得 Cov(X 1 ，X i )=0，i=2，3，n。 所以 Coy(X 1 ，Y)=
13、Cov(X 1 ，X 1 )= D(X 1 )= 9.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：根据题意，Y=nX，故 XY =一 1。应选 A。一般来说，两个随机变量 X与 Y的相关系数 XY 满足| XY |1。若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时， XY =1，当 a0 时， XY =一 1。10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D(X i )=1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( )
14、 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 E(X i )=0，i=1，2，n。记 根据切比雪夫不等式，有 11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）A.E( B.E( C.E( D.E( 解析：解析：由 XN(， 2 )，得 =，E(S 2 )= 2 ，且 和 S 2 相互独立。故 E( S 2 )=E( 12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D
15、. 解析：解析：由于总体 xN(， 2 )，故各选项的第二项 2 (n一 1)，又 与 S 2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2 (1)分布的随机变量。因为 N(0，1)， 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，有 由于 A和 B相互独立，所以 A与 与 B也相互独立，于是由 ，有即 P(A)1 一 P(B)=1一 P(A)P(B)， 可得 P(A)=P(B)。 从而 解得 P(A)=14.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)
16、+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：由题设 互斥，所以 =P(A)+P(B)一 2P(AB) =03。 P(A)+P(B)=05，于是解得P(AB)=01，所以所求的概率为15.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率P= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y 2 16(Y+2)0 =P16(Y一 2)(Y+1)0 =P(Y2)(Y一
17、 1) =PY2+PY一 1 16.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：f(x)= ，故 XN(一 1，2)，所以17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.3）解析：解析：由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又 05=PX 2 +Y 2 =1=PX 2 =0，Y 2 =1+PX 2 =1，Y 2 =0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一 1+PX=1，Y=0 =+01+01。 故 =03，=01。 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2
18、=1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=一 1 =02+=03。18.设(X，Y)N(，; 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，所以 Xl，N(0，2 2 )，从而 PXY=PXY0= 19.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面积为 Y，所以20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6
19、上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，22)，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D(X 1 )= 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 0x24，0y24。 所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24的正方形的面积，如图 314所示。 用事件 A表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出”，则 x，y满足不等式 y一 x1，x 一 y2。 则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A的基本事件数。 容易求得正方形面积为 S=24 2 ，阴影部分面积为 s= 22 2 + 23 2 ，根据几何概型，可得 )解析：23.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 X
21、是连续型随机变量，所以分布函数 F(x)连续，故 F(一 a一 0)=F(一 a)， 且 F(a+0)=F(a)，即 A一 =0，且 A+ =1，解得 A= () f(x)=F(x)= )解析：24.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意可知随机变量 Y的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy。 当 Y1 时，F(y)=0； 当 y2 时，F(y)=1； 当 1y2 时，F(y)=PYy=Py1+P1Yy =PX2+P1Xy 所以 Y的分布函数为 ()根据概率的性质，可得 PXY=1一 PXY=1 一 PX2=1
22、 一 )解析：25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；()二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()PY=m | X=n=C n m p m (1一 p) nm ，0mn，n=0，1，2，。 ()P|X=n，Y=m=PX=nPY=m | X=n = )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x0 时，f X (x)
23、=0;当 x0 时，f X (x)= x + e y dy=e x ，即 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时，f Y (y)= 0 y e y dx=ye y ，即 ()f Y|X (y|x=2)= ()X1，Y1 所对应的区域如图 333所示： )解析：27.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=|XY|的概率密度 f V ()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度。 ()分布函数法。根据题设知(
24、X，Y)联合概率密度 f(x，y)=f X (x)f Y (y)= 所以 U=XY的分布函数为(如图 339所示) F U (u)=PXYu= (1)当 u0 时，F U (u)=0；当 u1 时，F U (u)=1； (2)当 0u1 时， F U (u)= 0 u dx 0 1 dy+ u 1 dx dy=u+ u 1 dx=uulnu。 综上得 ()公式法。设 Z=XY=X+(一 Y)。其中 X与(一 Y)独立，概率密度分别为 根据卷积公式得 Z的概率密度 f Z (z)= + f X (zy)f Y (y)dy= 1 0 f X (zy)dy V=|XY|=|Z|的分布函数为 F V
25、()=P|Z|，可得 当 0 时，F V ()=0；当 0 时，F V ()=P一 Z= u f Z (z)dz。 由此知，当 01 时， F V ()= 0 (z+1)dz+ 0 u f Z (1一 z)dz=2 一 2 ； 当 1 时， F V ()= 1 f Z 0dz+ 1 0 f Z (z+1)dz+ 0 1 (1一 z)dz+ 1 0 0dz=l F V ()= 1 0dz+ 1 0 (z+1)dz+ 0 1 (一 z)dz+ 1 0dz=1。 综上可得 )解析：28.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.0
26、0）_正确答案：(正确答案：()(X 1 ，X 2 )是二维离散型随机变量，其可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。 当(X 1 ，X 2 )=(0，0)时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故 FX 1 =0，X 2 =0=PX 3 =1=01。 类似地 PX 1 =0，X 2 =1=PX 2 =1=01， PX 1 =1，X 2 =0=PX 1 =1=08， PX 1 =1，X 2 =1= =0， 故 X 1 与 X 2 的联合分布： ()由()知，X 1 和 X 2 的边缘分布均为 01分布。由 01分布的期望和方差公式得 E(X 1 )=P
27、X 1 =1=08，D(X 1 )=PX 1 =1PX 1 =0=0802=016， E(X 2 )=PX 2 =1=01，D(X 2 )=PX 2 =1PX 2 =0=0109=009， E(X 1 X 2 )=0001+0101+1008+110=0， Cov(X 1 ，X 2 )=E(X 1 X 2 )一 E(X 1 )E(X 2 )=一 008， 则相关系数 )解析：29.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体
28、 X同分布，所以 E(X i )=0，D(X i )= 2 ，E(X i 2 )= 2 ， ()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 (n)，则 D(Y)=2n。 所以 )解析：30.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=X一 Y。 ()求 Z的概率密度 f(z； 2 )； ()设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 XN(， 2 )，YN(，2 2 )，且 X与 Y相互独立，故 Z=XYN(0，3 2 )。 所以，Z 的概率密度为 解得最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 )解析：
