1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 48及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=B.C.A=BD.3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.14.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量 x的密度函数为 f(
2、x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大B.与 a无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a的增大而增大D.与 无关，随 a的增大而减小6.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设
3、两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.4410.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 和 Y的相关系数 =0，则 X和 Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布11.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数
4、：7，分数：14.00)12.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件A、B、C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X与 Y
5、均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知随机变量 X服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.袋中有 a只白球，b 只
6、红球，k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件 B)的概率。（分数：2.00）_21.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 求：()常数 A；()X 的密度函数 f(x)； （分数：2.00）_22.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_23.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y在 1X 中等可能地取值。求：()二维随机变量(X，Y)的联合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_24.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_2
7、5.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_26.设 A，B 为随机事件，且 ，令 （分数：2.00）_27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_28.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05k
8、g，均方差为01kg，问 5 000只零件的总质量超过 2 510kg的概率是多少?（分数：2.00）_29.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 其中参数 (0)未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 48答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
9、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=B. C.A=BD.解析：解析：因 AB= ，所以3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由事件运算法则的分配律知 于是 P(AB)4.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积 (或其逆)与事件 C
10、或 C必相互独立，因此选项 A、C、D 均被排除，选项 B正确。5.设随机变量 x的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大B.与 a无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a的增大而增大 D.与 无关，随 a的增大而减小解析：解析：概率 PX+a(0)，显然与 a有关，固定 随 a的增大而增大，因而选 C。 事实上，由于 1= + f(x)dx=A + e x dx=Ae 6.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：标准正态分布
11、上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 322及图 323所示图形。 如图 323所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 x= 7.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： =2e 2 。 PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e 1 e 1 =e 2 。 所以 PX=1|X+Y=2= 8.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( )
12、（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 9.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：根据方差的运算性质 D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(XY)=D(X)+D(Y)可得 D(3X一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=44。故选项 D
13、正确。10.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 和 Y的相关系数 =0，则 X和 Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布 B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布解析：解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到 X和 V独立；又(X，Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且 XN(， 2 )，YN(， 2 )。所以选 A。11.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布的随机变量是( ) （
14、分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题设知，X i N(0， 2 )， 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B：所取的两件都是不合格品。 因为 P(A)=1一 =1一(C 6 2 C 10 2 )= ，P(B)=C 4 2 C 10 2 = ，且 P(A)P(B)，所以 13.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B
15、)=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件A、B、C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1 一 a)(1一 b)）解析：解析：所求的概率为 ，已知“事件 C发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知 C AB，故 由吸收律可知， ，又因为 A与 B独立，故所求的概率为14.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设可知 PX=k=1，PX=k= 根据全概率公式，
16、可得15.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意有 于是16.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y) =1 一 Pmax(X，Y)一1 一 Pmin(X，Y) =一 Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y) =一 PX，Y+PX，Y =一 PX+PX，Y+PX，Y =一 PX+PY。 因为 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，所以 PX= ，PY= ，故 Pma
17、x(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 17.已知随机变量 X服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设知 f XY (y|x)= 所以(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=f Y (x)f Y|X (y|x)= E(XY)= + + xyf(xy)dxdy= 1 2 dx 0 + = 1 2 dx 0 + e xy dy= 1 2 =2x. 18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1
18、X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，则 X 1 2 ，X 2 2 ，X 3 2 相互独立。又因 E(X i )=0，E(X i 2 )=D(X i )= 2 。故 D(Y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 一 E 2 (X 1 X 2 X 3 ) =EX 1 2 X 2 2 X 3 2 E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 三、解答题(总题数：12，
19、分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.袋中有 a只白球，b 只红球，k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件 B)的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)放回抽样的情况，显然有 P(B)= (2)不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有(a + b)(a + b1)(a + b 一 k+1)=A a + b k 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时，第 i人取的应该是白球，它可以是
20、 a只白球中的任一只，有 a种取法。其余被取的 k一 1只球可以是其余 a + b 1只球中的任意 k一 1只，共有( a + b 1)(a + b2)a + b1一(k 一 1)+1=A a + b 1 k1 种取法，于是事件 B包含 a A a + b 1 k1 个基本事件，故 )解析：21.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 求：()常数 A；()X 的密度函数 f(x)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 X是连续型随机变量，故其分布函数 F(x)在 x=1处连续，即 所以A=1。 ()当 x0 时，F(x)=0，所以 f(x)=Fx)=0； 当 0x1 时，F
21、(x)=x 2 ，所以 f(x)=F(x)=2x； 当 x1 时，F(x)=1，所以 f(x)=F(x)=0。 综上所述 )解析：22.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据 F(x)=PXx，F Y (y)=PF(X)y求解。 ()令 Y=F(X)，则由0F(x)1 及 F(x)为 x的单调不减连续函数知(如图 326所示)，当 y0 时，F Y (y)=0；当 y1 时，F Y (y)=1；当 0y 时， F Y (y)=PF(X)y =PF(X)0+P0F(X)y 当 y1 时， F Y (y)=PF(X)y =PF(X)0+P0F(X) +P F
22、(X)y =0+P0X1+P1XF 1 (y) )解析：23.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y在 1X 中等可能地取值。求：()二维随机变量(X，Y)的联合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意可知 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 由乘法公式，可得 Px=1，Y=1=PX=1PY=1 | X=1= PX=2，Y=1=PX=2PY=1 | X=2= PX=3，Y=1=PX=3PY=1 | X=3= PX=2，Y=2=PX=2PY=2 | X=2= PX=3，Y=2=PX
23、=3PY=2 | X=3= PX=3，Y=3=PX=3PY=3 | X=3= 所以X，Y的联合分布律为 进一步得到边缘分布 ()在 Y=2的条件下 X可能的取值为 2，3，因此 从而得到在 Y=2条件下随机变量 X的条件分布为 )解析：24.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f X (x)=PXx=F(x，+)=1 一 e x ；当 x0 时，F X (x)=0，所以关于 X的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为 )解析：25.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，
24、而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X 1 与 X 2 ，则 T=X 1 + X 2 ，X 1 ，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 f T (t)= + f(x)f(t一 x)dx= 0 t 5e 5x .5e 5(tx) =F T (t0) 从而其概率密度为 f T (t)=F T (t)= )解析：26.设 A，B 为随机事件，且 ，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 P(AB)=P(A)P(B|A)= ，
25、所以 PX=1，Y=1=P(AB)= PX=1，Y=0= =P(A)一 P(AB)= PX=0，Y=1= =P(B)一 P(AB)= PX=0，Y=0= =1一 P(A+B)=1一 P(A)一 P(B)+P(AB)= (或 PX=0，Y=0=1 一 故(X，Y)的概率分布为 ()X，Y 的概率分布分别为 所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X).E(Y)= ，从而 )解析：27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内
26、径 X有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)=一 1PX10+20P10X12一 5PX12 =一 (10 一 )+20(12 一 )一 (10 一 )一 51一 (12一 ) =25(12 一 )一 21(10 一 )一 5， 可知销售利润的数学期望 E(T)是 的函数。 要求 E(T)的最大值，令其一阶导数为 0，有 因实际问题一定可取到最值，所以当 =11 一 )解析：28.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5 000只零件的总质量超过
27、2 510kg的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，设 X i 表示第 i只零件的质量(i=1，2，5 000)，且 E(X i )=05，D(X i )=01 2 。设总质量为 Y= X i ，则有 E(Y)=5 00005=2 500，D(Y)=5 00001 2 =50， 根据独立同分布中心极限定理可知 Y近似服从正态分布 N(2 500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为 )解析：29.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体分布未知，将 Y化简，根据数字特征性质计算 E(Y)。因为 又 E(X i )=，D(X i )= 2 ，E(X i 2 )= 2 + 2 ， 所以 )解析：30.设总体 X的概率密度为 其中参数 (0)未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 E(X)= ，所以 E(X)= 0 + 2 x 2 e x dx= 为总体的矩估计量。 ()构造似然函数 故其最大似然估计量为 )解析：
