1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 46及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A一 B)=P(A)3.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A)4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从袋中各
2、取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 p 1 =P(A)，p 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，p 4 =P(B)。 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4B.p 1 =p 2 p 3 p 4C.p 1 =p 2 =p 3 p 4D.p 1 =p 2 =p 3 =p 45.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件
3、B，即 6.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)7.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且 P|X一 1 |1P|Y 一 2 |1则必有( )（分数：2.00）A. 1 2B. 1 2C. 1 2D. 1 28.设随机变量 X与 Y相互独立，XB(1， )，Y
4、 的概率密度 f(y)= 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z)D.10.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，p=04C.n=8，p=03D.n=24，p=0111.设随机变
5、量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关12.设 X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2 )的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，则统计量 T=(n一 1)(S X 2 +S Y 2 )的方差 D(T)=( )（分数：2.00）A.2n 4B.2(n一 1) 4C.4n 4D.4(n一 1) 4二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.甲、乙两人轮流
6、投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同。（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的分布函数为 已知 P1X1= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_18.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1
7、。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 a= 1。(3)=0998 7，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_21.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.
8、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：()两件都是正品；()两件都是次品；()一件是正品，一件是次品；()第二次取出的是次品。（分数：2.00）_24.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布。()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)。（分数：2.00）_25.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0一 1分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_
9、26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： ()(x，y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+Y 的概率密度 f Z (y)(z)。（分数：2.00）_28.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P=i= （分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_31.设总体 X服从参数为 p的几何分布，如
10、果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 46答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A一 B)=P(A) 解析：解析：因为 AB= ，所以 A一 B=AAB=A =A，从而 P(AB)=P(A)
11、，故选项 D正确。对于选项 A、B 可举反例排除，如取 =1，2，3，4=1，B=2，则 AB= ，但 =2，3，=1，3， =3 ，故选项 A不正确；如果取 A=1，B=2，3，显然 AB= ，但=B，B=A，故 不相容，选项 B也不正确。对于选项 C，由于 AB=3.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.C.P(A)P(B)=0D.P(AB)=P(A) 解析：解析：因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)。故应选 D。不难证明选项 A、B、C 不成立。设 XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0， P(A)P(B)0 且 ，
12、从而 A项和 C项不成立。若 A和 B互为对立事件，则 和 为对立事件，4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 p 1 =P(A)，p 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，p 4 =P(B)。 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4B.p 1 =p 2 p 3 p 4C.p 1 =p 2 =p 3 p 4D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 解析：解析：依据取球方式知 p 1 =p 3 =p 3 ，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得 p 3
13、 =p 4 ，所以正确答案是 D。5.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 解析：解析：如果 A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A 2 B，A n B亦两两互不相容，且因 ，故 P(B)=P( A i B)。应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 P(B)= 6.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (
14、x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x) 解析：解析：因为 f 1 (x)与 f 2 (x)均为连续函数，故它们的分布函数 F 1 (x)与 F 2 (x)也连续。根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 + f(x)dx=1。在四个选项中，只有 D项满足。 + f 2 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)dx = + F 1 (x)F 2 (x)dx =F 1 (x)F 2 (x)| + =10=1，
15、 故选项 D正确。7.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且 P|X一 1 |1P|Y 一 2 |1则必有( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2C. 1 2D. 1 2解析：解析：根据题干可知 即 其中 （x）是服从标准正态分布的分布函数。 因为（x）是单调不减函数，所以 8.设随机变量 X与 Y相互独立，XB(1， )，Y 的概率密度 f(y)= 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：XB(1， )，X 取值只能是 X=0或 X=1，将 X=0和 X=1看成完备事件组，用全概率公式有9.设随机变
16、量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z) D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXzPYz=F X (z)F Y (z)， 故选项C正确。10.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，p=04 C.n=8，
17、p=03D.n=24，p=01解析：解析：因为 XB(n，p)，所以 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，将已知条件代入，可得11.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关 B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关解析：解析：直接根据计算协方差来判断，已知 X与 Y独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)0。 所以 X与 X+Y一定相关，应选 A。 又由于 Coy(X，XY)=E(X 2 Y)一 E(X).E(XY) =E
18、(X 2 ).E(Y)一(EX) 2 .E(Y) =E(X 2 )一 E 2 (X)E(Y) 12.设 X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2 )的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，则统计量 T=(n一 1)(S X 2 +S Y 2 )的方差 D(T)=( )（分数：2.00）A.2n 4B.2(n一 1) 4C.4n 4D.4(n一 1) 4 解析：解析：根据已知可得 S X 2 2 （n1）， S Y 2 2 （n1）， 且二者相互独立，所以 D(T)= 4 D (S X 2 +S
19、 Y 2 )= 4 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 P=(1 一 p)05+(1 一 p)0505 解得 P= 。所以只有当 p=14.设随机变量 X的分布函数为 已知 P1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右
20、连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即 又因 PX=1=P一 1X1一 P一 1X1 =F(1)一 F(一 1)一 于是有 F(10)=F(1)一 PX=1= 即 a+b= 联立与解得15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X服从参数为 1的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)得E(X 2 )=2。故 PX=E(X 2 )=PX=2= 16.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
21、）解析：解析：首先求出 Y的分布函数 F Y (y)。由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度函数f X (x)与分布函数 F X (x)分别为 F Y (y)=PYy=PsinXy。 当一 1y1 时，F Y (y)=PXarcsiny=F X (arcsiny)= 当 Y一 1时，F Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=1。 因此 Y的概率密度函数 f Y (y)为 17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ， 2 +2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关” +2Y=0”，故所
22、求的概率为 PX+2Y=0=PX+2Y=0，Y= +Px+2Y=0，Y =PX=1，Y= =PX=1= 18.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X i = (i=1，2，10)。 则 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19只中唯一的一只才有可能，故 PX i =1= ，也就有 19.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1。（分数：2.00）填空
23、项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 X和 Y相互独立，所以 X 2 与 Y相互独立， E(X 2 +Y)=E(X 2 )+E(Y)， 由于XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1。 因此 E(X 2 )=D(X)+(EX) 2 =1，YN(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X 2 +Y)=1。20.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 a= 1。(3)=0998 7，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.84）解析：解析：令 X=“在 100次
24、独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=020，且 E(X)=np=20， 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)。因此试验成功的次数介于 16和 32之间的概率 =P16X3221.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n 一 1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 是相互独立且同服从分
25、布 N(0，1)，所以 X 1 一 X 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立，X 1 与 X i 2 也相互独立，且有 X 1 一 X 2 N(0，2)， N(0，1)，X 3 2 +X 4 2 一 2 (2)， X i 2 2 (n一 1)，所以 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：()两件都是正品；()两件都是次品；()一件是正品，一件是次品；()第二次取出的是次品。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令事
26、件 A i 表示“第 i次取出正品”，则其对立事件 表示“第 i次取出次品”(i=1，2)。依题意可知： ()A 1 A 2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得： P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 |A 1 )= ()X 表示“两件都是次品“，且由概率乘法公式可得： )解析：24.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布。()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： PY=0=PX0=0， PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一 p， PY=1=PX1=PX=
27、1=p， 于是 Y的分布律与分布函数分别为 )解析：25.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0一 1分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立。 由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X，Z)的分布： 由此可得 Z服从参数 P= 的 01分布；所以(X，Z)的联合概率分布为 因 PX=i，Z=j= )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(
28、x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据概率密度的性质 + + f(x，y)dxdy=1，可知 + + 又因为 + ，所以 X的边缘概率密度为 所以，条件概率密度为 )解析：27.设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： ()(x，y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+Y 的概率密度 f Z (y)(z)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 G如图 336所示：可知区域 G是菱形，其面积为 1。故 )解析：28.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P=i= （分数：2.
29、00）_正确答案：(正确答案：()X，Y 可能的取值均为 1，2，3。 PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1P=1= 同理 PX=2，Y=2=PX=3，Y=3= PX=2，Y=1=P=2，=1+P=1，=2 =2.P=1.P=2=2 同理 PX=3，Y=1=PX=3，Y=2= 由题意可知 Xy 始终成立，即XY是不可能事件，故 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 (X，Y)的联合分布律如下表：)解析：29.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 PX ，根据题意，Y 服从二项分布 B
30、（4， ），则有 E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)=npq+(np) 2 =4 )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记似然函数为 L()，则 两边取对数得 lnL()=Nln+(nN)In(1)， 令 )解析：31.设总体 X服从参数为 p的几何分布，如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知总体 X的概率函数的未知参数为 p，且总体 X的一阶原点矩为 1 (X)=E(X)= 用样本一阶原点矩的观测值 作为 1 (X)的估计值，则可得参数 p的估计值为 所以可得参数 P的矩估计值为 参数 P的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 p的方程，即得到 p的最大似然估计值为 )解析：
