1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 45及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A
2、|B)P(A)4.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.A，B 互不相容C.A，B 不独立D.A，B 相互独立5.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件6.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.0
3、0）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度7.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 2 =p 2B.p 1 p 2C.p 2 p 2D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小8.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2
4、.00）A.X 2B.XYC.X+YD.(X，Y)9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布10.设随机变量 x服从参数为 A的泊松分布，且 E(X一 1)(X一 2)=1，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为= （分数：2.00）A.=0B.C.D
5、.|=112.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.4二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=P i+1 ，i=0，1，则 P= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16
6、.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1一 e X 的分布函数为 F Y (y)，则 F Y ( （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X与 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机量 X和 Y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_21.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1
7、i2n)，如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1(01)。若已知P|X|x=b(b0)，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。()求 X的分布律；()若当 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_25.已
8、知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= ，PX=0= ，PX=1= ，PY=0=，PY=1 = ，PY=2= （分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2的指数分布，求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；()概率 PXY。（分数：2.00）_27.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。 ()求 Y的概率密度 f Y (y)； （分数：2.00）_28.将 3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。（分数：2.00）_2
9、9.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 x，求 x的数学期望 E(X)和方差 D(X)。（分数：2.00）_30.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_31.设总体 X的概率分布为 其中 (0 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 45答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种
10、产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析：解析：设 A 1 =甲种产品畅销，A 2 =乙种产品滞销，则 A=A 1 A 2 。 由德摩根定律得 =甲种产品滞销乙种产品畅销， 即 3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A) 解析：解析：由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P(A)0，选项 A不成立；当 P(A)=0时
11、，条件概率P(B|A)不存在，选项 C不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项 B不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且4.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.A，B 互不相容C.A，B 不独立 D.A，B 相互独立解析：解析：A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为P(AB)=P(
12、5.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：6.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数 C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f
13、 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度解析：解析：由题设条件，有 F 1 (x)F 2 (x)=PX 1 xPX 2 x =PX 1 x，X 2 x(因 X 1 与 X 2 相互独立)。 令 X=maxX 1 ，X 2 ，并考虑到 PX 1 x，X 2 x=Pmax(X 1 ，X 2 )x， 可知，F 1 (x)F 2 (x)必为随机变量 X的分布函数，即 F X (x)=PXx。7.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 2 =p 2 B.p 1 p 2C.p 2 p 2D.因 未知，
14、无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析：p 1 =PX4= =（1）=1(1)， p 2 =PY+5=1PY+5=1 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2B.XYC.X+YD.(X，Y) 解析：解析：根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C
15、.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：根据题设知 X 1 X 2 可取一 1，1，且 PX 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =一 1 =PX 1 =一 1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =一 1 又 PX 1 =一 1，X 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 10.设随机变量 x服从参数为 A的泊松分布，且 E(X一 1)(X一 2)=1，则 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：
16、解析：因 X服从参数为 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=。则 E(X 一 1)(X一 2)=E(X 2 一3X+2)=E(X 2 )一 3E(X)+2， 其中 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =+ 2 ， 代入得 2 2+1=0，故=1。11.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为= （分数：2.00）A.=0B.C.D.|=1 解析：解析：|=0 11 22 = 12 21 D(X 1 )D(X 2 )=Cov 2 (X 1 ，X 2 ) 12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.4
17、解析：解析： =0，E(S 2 )=1，且 和 S 2 相互独立。故 E(T)=E( +1)(S 2 +1)=E( 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 XB(5， )，而 Y=5一 X为 5次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5 =2X5，25 一 X5 =2X5，0X3 =X=2X=3， 所以 P(A)=PX=2+PX=3=14.假设
18、盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A i =“盒内原有 i件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A 0 ， A 1 ，A 10 构成一个完备事件组，依题意有 P(A i )= ，P(B|A i )= ，i=0，1，10。 所求概率 P(A 2 |B)可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出P(B)= 15.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=P i+1
19、 ，i=0，1，则 P= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=P+p 2 =1，所以 p 2 +P一 1=0，解得 p= 16.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1一 e X 的分布函数为 F Y (y)，则 F Y ( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.设随机变量 X与
20、 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= ， PZ=1=1 一 PZ=0= 所以 Z的分布律为19.设随机量 X和 Y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：E(x)= + xf(x)dx= 0 1 x2xdx= 20.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，即求
21、E(X 2 )。首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 E(X)= ，D(X)= 。于是 E(X 2 )=D(X)+E 2 X= 21.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Z i =X 2i 一 X 2i1 ，则 Z i (1in)独立同分布，且 E(Z i )=0，D(Z i )=2。由独立同分布中心极限定理可得，当 n充分大时， 近似服从标准正态分布，所以 22.设随机变量 X服
22、从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1(01)。若已知P|X|x=b(b0)，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 t分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1 一 PXx=1 一 P|X|x=1 一 根据题干“t 满足 PXt =1一 (01)”可知，x= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。()求 X的分
23、布律；()若当 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()随机变量 X可能取值为 1，2，3，4，设事件 A i (i=1，2，3，4)表示第 i个盒子是空的，则 于是 X的分布律为 ()由于当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，故 PY2 | X=1=PY2 | X=2=1，PY2 | X=3= ，PY2 | X=4= 。 由全概率公式即得 )解析：25.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= ，PX=0= ，PX=1= ，PY=0=，PY=1 = ，PY=2= （分数：2.00）
24、_正确答案：(正确答案：()根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=P X=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一 1，Y=0=0JPX=一 1PY=0= )解析：26.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2的指数分布，求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；()概率 PXY。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X在区间0，2上服从均匀分布，Y
25、 服从指数分布 e(2)，因此可得 根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者 x2 时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间，且在直线 y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 P(XY)= e 2y dxdy= 0 2 dx x + e 2y dy= )解析：27.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。 ()求 Y的概率密度 f Y (y)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 Y的分布函数为 F Y (y)，即 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y)，
26、则 (1)当y0 时，F Y (y)=0； (2)当 0Y1 时，F Y (y)=P(X 2 y)= (3)当 1y4 时，F Y (y)=P(X 2 y)=P(一 1X ） (4)当 y4，F Y (y)=1。 所以 根据题设的 X概率密度，上式= )解析：28.将 3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能的取值是 1，2，3，其中 D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = )解析：29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设
27、开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 x，求 x的数学期望 E(X)和方差 D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 q=1一 p，所以 X的概率分布为 PX=k=q k1 p(k=1，2，)， 从而 XG(p)所以 )解析：30.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 ()因为 E(X)= + xf(x，)dx= 1 + x 令 所以参数 的矩估计量为 其中 是随机样本的数学期望。 ()似然函数为 当 x i 1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得 lnL()=nln 一(+1) 两边对 求导，即得 令 =0，可得 的最大似然估计量为 )解析：31.设总体 X的概率分布为 其中 (0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1 一 )+2 2 +3(12)=34，= 3一 EX。 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2。 因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L()=4 6 (1) 2 (12) 4 ， 令 得方程 12 2 一 14+3=0，解得 于是 的最大似然估计值为 )解析：
