1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 43及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.A，B 互不相容C.A，B 不独立D.A，B 相互独立3.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布，如有 F(a，b)=（分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b
2、)=04.设随机变量 X与 Y独立，且 XB(1， )，YN(0，1)，则概率 PXY0的值为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.在一个盒子中放有 10个乒乓球，其中 8个是新球，2 个是用过的球，在第一次比赛时，从该盒子中任取 2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= ，则随机变量 X在区间 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， （分数：2.00
3、）填空项 1:_8.若 ae x2x 为随机变量 X的概率密度函数，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 G=(x，y)0x3，0y1是一矩形，向矩形 G上均匀地掷一随机点(X，Y)，则点(X，Y)落到圆 x 2 +y 2 4 上的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则
4、 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球，设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XP()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为 08，07 与
5、09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09()求该仪器的不合格率；()如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大（分数：2.00）_一条自动生产线连续生产 n件产品不出故障的概率为 （分数：4.00）(1).计算生产线在两次故障问共生产 k件(k=0，1，2，)优质品的概率；（分数：2.00）_(2).若已知在某两次故障间该生产线生产了 k件优质品，求它共生产 m件产品的概率（分数：2.00）_设随机变量
6、X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值，试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的联合概率密度；（分数：2.00）_(2).关于 Y的边缘概率密度函数；（分数：2.00）_(3).PX+Y1（分数：2.00）_18.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，在 X=x(一x+)的条件下，随机变量 Y服从正态分布N(x，1)，求在 Y=y条件下关于 X的条件概率密度（分数：2.00）_设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击，设甲、乙两
7、人每次射击命中目标的概率依次为 06 和05（分数：4.00）(1).计算目标第二次射击时被命中的概率；（分数：2.00）_(2).设 X，Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_19.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 记 U= （分数：2.00）_20.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，其概率分布为 (i=1，2，) 令 Y n = （分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 X的简单随机样本，EX=，DX=4， ，试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： （分数：2.00）_22.设 X
8、 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 43答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.A，B 互不相容C.A，B 不独立 D.A，B 相互独立解析：解析：A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不
9、相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 亦不一定成立，因此选项(A)与(B)均不能选，同时因P(AB)=3.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布，如有 F(a，b)=（分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b)=0 解析：解析：由题设知，X 与 Y的分布函数为 (x)，据二维随机变量分布函数的定义及已知条件有F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy=PXmin(x，y)=(min(x，y)，又 F(a，b)=(min(a，b)=4.设随机变量 X与 Y独立，且 XB(1， )，Y
10、N(0，1)，则概率 PXY0的值为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：X ，可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组，由全概率公式有 PXY0=PXY0，X=0+PXY0，X=1 =PX=0+PY0，X=1 = 其中 (x)是标准正态分布N(0，1)的分布函数，(0)=二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.在一个盒子中放有 10个乒乓球，其中 8个是新球，2 个是用过的球，在第一次比赛时，从该盒子中任取 2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
11、正确答案：0.218）解析：解析：在第一次比赛时从盒子中任取的 2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有 1个新球 1个用过的球，也可能全是新球，设 A i 表示事件“在第一次比赛时取出的 2个球中有 i个是新球，其余是用过的球”(i=0，1，2)，B 表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，因此由全概率公式可得 P(B)= 6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= ，则随机变量 X在区间 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X的概率分布为7.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率
12、 Pmax(X， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得8.若 ae x2x 为随机变量 X的概率密度函数，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意有 ae x2x dx=1，又 9.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即10.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有
13、实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 YN(， 2 )，且 P方程有实根=P14Y0= ，即 11.设 G=(x，y)0x3，0y1是一矩形，向矩形 G上均匀地掷一随机点(X，Y)，则点(X，Y)落到圆 x 2 +y 2 4 上的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题设，二维随机变量(X，Y)在矩形 G上服从均匀分布，且 S G =3，于是(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 又矩形 G上的点(x，y)落到圆 x 2 +y 2 4 上的区域如图 31 所示，分成三角形和扇形两部分，则有
14、PX 2 Y 2 4= = 12.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设知 f YX (yx)= 所以(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= 由二维连续型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式(46)可知，随机变量 X=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)= xyf(x，y)dxdy= 1 2 dx 0 xyxe xy dy= 1 2 x 13.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.0
15、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题设，即求 EX 2 ，首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 EX= ，于是 EX 2 =DX+(EX) 2 = 14.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球，设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m1(1 ）解析：解析：令 X i = 则 X=X 1 +X 2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有 15
16、.设总体 XP()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当 X 1 ，X 2 独立时，X 1 +X 2 P(2)，继而有 X 1 ，X 2 ，X n 独立同为 P()分布时， 的概率分布为 三、解答题(总题数：10，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为 08，07 与09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则
17、组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09()求该仪器的不合格率；()如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记事件 8=“仪器不合格”，A i =“仪器上有 i个部件不是优质品”，i=0，1，2，3，显然 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 构成一个完备事件组，且 P(BA 0 )=0， P(BA 1 )=02， P(BA 2 )=06， P(BA 3 )=09， P(A 0 )=080709=0504， P(A 1 )=020709+080
18、309+080701=0398， P(A 3 )=020301=0006， P(A 2 )=1P(A 0 )一 P(A 1 )一 P(A 3 )=0092 ()应用全概率公式，有 P(B)= P(A i )P(BA i ) =05040+039802+009206+000609=01402 ()应用贝叶斯公式，有 P(A 0 B)=0， P(A 1 B)= ， P(A 2 B)= ， P(A 3 B)= 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大，事实上，根据条件概率的性质： P(A i B)=1，在我们计算出 P(A 1 B)= )解析：解析：依题意，仪器的不合格率与组
19、装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”发生的全部因素，因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量，则需要应用贝叶斯公式一条自动生产线连续生产 n件产品不出故障的概率为 （分数：4.00）(1).计算生产线在两次故障问共生产 k件(k=0，1，2，)优质品的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用全概率公式，有 )解析：解析：记事件 B k =“两次故障间共生产 k件优质品”，B k 显然与两次故障间生产的产
20、品总数有关，记 A n =“两次故障间共生产 n件产品”，n=0，1，2，A 0 ，A 1 ，A 2 ，构成一个完备事件组，在应用全概率公式时，条件概率 P(B k A n )的计算是一个 n重伯努利概型问题，这是因为每件产品的质量均有优质品与非优质品之分，并且各件产品是否为优质品是相互独立的，又每件产品的优质品率都是 p，因此当 nk 时，P(B k A n )=0，当 nk 时，P(B k A n )=C n k p k q nk (2).若已知在某两次故障间该生产线生产了 k件优质品，求它共生产 m件产品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 mk 时，P(A m B k )
21、=0；当 mk 时， )解析：设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值，试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的联合概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设 X在(0，1)上服从均匀分布，其概率密度函数为 f X (x)= 而变量Y，在 X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 f YX (yx)= 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= )解析：解析：欲求密度函数，通常是先求分布函数，这对一维和二维随机变量都是一样的
22、，但是本题所给的是 X在(0，1)区间上服从均匀分布，而且条件“当 X取到 x(0x1)时，Y 可能地在(x，1)上取值”意味着，在 X=x的条件下，Y 在(x，1)上服从均匀分布，这相当于给出的是条件概率密度，所以可以直接写出联合概率密度(2).关于 Y的边缘概率密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密 f Y (y)= f(x，y)dx= 0 y =一 ln(1一 y) 故 f Y (y)= )解析：(3).PX+Y1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由图 35 可以看出 )解析：18.设随机变量 X服从标准正态分布
23、N(0，1)，在 X=x(一x+)的条件下，随机变量 Y服从正态分布N(x，1)，求在 Y=y条件下关于 X的条件概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，X 的概率密度为 f X (x)= 在 X=x的条件下，关于 Y的条件概率密度为 f YX (yx)= 根据条件概率密度的定义可得 X与 Y的联合概率密度为 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= 根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，y)的边缘分布是一维正态分布，于是 y的概率密度为 f Y (y)= 根据条件密度的定义可得 f XY (xy)= 进一步分析，可将 f XY (xy)改写为如下形式： f
24、XY (xy)= 从上面式子可以看出，在 Y=y条件下关于 X的条件分布是正态分布 )解析：解析：依题意已知 X的分布及关于 Y的条件分布，因此我们很容易求出 X与 Y的联合分布，然后直接应用条件密度公式求 f XY (xy)设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击，设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为 06 和05（分数：4.00）(1).计算目标第二次射击时被命中的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 B i 表示在第 i次射击时目标被命中
25、(i=1，2)，则由题意，有 P(A)= ， P(B 2 4)=0405=02， P(B 2 )=0506=03 由全概率公式即得 P(B 2 )=P(A)P(B 2 A)+ )解析：(2).设 X，Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 PX=0，Y=0=0，PX=1，Y=0=P(AB 1 )=03， PX=0，Y=1= =025，PX=1，Y=1=045， 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 计算得EX=075，EY=07，DX=025075，DY=0307，E(XY)=045，于是 XY )解析：19.已知二维随机
26、变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 记 U= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设易求得 U，V 的概率分布进而可求出(U，V)的概率分布，由于 故(U，V)的概率分布为 ()由(U，V)的概率分布可求得 U与 V的相关系数 ，由于 U，V 均服从 0-1分布，故 )解析：20.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，其概率分布为 (i=1，2，) 令 Y n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX i =0,DX i =EX i 2 = ，对任何 i=1，2，DX i 1，且题设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，因此随机变量序列 X 1 ，X
27、2 ，X n ，满足切比雪夫大数定律，即对任何 0， )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 X的简单随机样本，EX=，DX=4， ，试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，XN(，4)， N(0，1) )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() x 2 f(x)dx= = 2 0 t 2 e t dt=2 2 ，又样本的二阶矩为 ，可得 的矩估计量为 () )解析：解析：待估计参数只有 ，但总体 X的一阶原点矩 E(X)= f(x)dx=0，故考虑总体 X的二阶原点矩 E(X 2 )= x 2 f(x)dx
