1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 41及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=C.AB=AD.AB=B3.下列函数中是某一随机变量的分布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（分数：2.00）A.1B.1+e 1 C.1一 e 1 D.e 1 5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY
2、 =1，则（分数：2.00）A.PY=一 2X一 1=1B.PY=2X一 1=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设有某种零件共 100个，其中 10个是次品，其余为合格品，现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 1 服从参数为 p(0p1)的 0-1分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为2p的泊松分布，已知 X 1 取 0的概率是 X 2 取 0概率的 9倍，X 1 取 1的概率是 X 2
3、取 1概率的 3倍，则 PY=0= 1，PY=1 = 2（分数：2.00）填空项 1:_8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f 1 (x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都服从正态分布 N(， 2 )，记 Y n =X 2n 一 X 2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体
4、X的概率密度为 f(x；)= ，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 X的概率密度为 f(x；)= 其中 01 是未知参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于 025 的概率（分数：2.00）_15.设离散型随机变量 X只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，一 a与 a 2 ，求X的分布函数（分数：
5、2.00）_16.设随机变量 X的绝对值不大于 1，且 PX=0= （分数：2.00）_17.设连续型随机变量 X的分布函数为 F X (x)= 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= （分数：2.00）_设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).PX，Y2；（分数：2.00）_(2).PX+Y（分数：2.00）_18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_19.甲、乙
6、两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X和 Y相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且 X的概率分布为 （分数：6.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_(2).E(UV)；（分数：2.00）_(3). UV （分数：2.00）_20.设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A发生 B不发生与 B发生 A不发生的概率相等，记随机变量 （分数：2.00）_21.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设
7、其期望值为2，标准差是 13，计算在 100次轰炸中有 180颗到 220颗炸弹命中目标的概率（分数：2.00）_22.已知总体 X与 Y相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证：T= （分数：2.00）_已知总体 X的概率密度 f(x)= （分数：6.00）(1).求 Y的期望 EY(记 EY为 b)；（分数：2.00）_(2).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(3).利用上述结果求 b的最大似然估计量（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 41答案解析(总分：58.00，做
8、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB= C.AB=AD.AB=B解析：解析：由“对称性”知(C)、(D)都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而(A)成立 所以正确选项是(B)3.下列函数中是某一随机变量的分布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于(A)：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确，对于(B)：由于 F(1+0)=14.设随机变量 XE(1)，记 Y=max
9、(X，1)，则 E(Y)=（分数：2.00）A.1B.1+e 1 C.1一 e 1 D.e 1 解析：解析：如果先去求 Y的密度 f Y (y)，则计算量很大，直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44)，有 E(Y)=Emax(X，1)= max(x，1)f(x)dx， 其中 f(x)为指数分布的 X的密度函数，且 f(x)= 5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则（分数：2.00）A.PY=一 2X一 1=1B.PY=2X一 1=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：由于 X与 Y的相关系数 XY =10，因此 PY=aX+b=
10、1，且 a0又因为 YN(1，4)，XN(0，1)，所以 EX=0，EY=1，而 EY=E(aX+b)=b 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设有某种零件共 100个，其中 10个是次品，其余为合格品，现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09993）解析：解析：设事件 A i 表示“第 i次取到合格品”(i=1，2，3)，事件 A表示“在三次内取到合格品”，则有 A=A 1 由于 是不相容事件，因此 7.设随机变量 X 1 服从参数为 p(0p1)的 0
11、-1分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为2p的泊松分布，已知 X 1 取 0的概率是 X 2 取 0概率的 9倍，X 1 取 1的概率是 X 2 取 1概率的 3倍，则 PY=0= 1，PY=1 = 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 Y服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 p的值 PX 1 =0=1 ， PX 1 =1=p， PX 2 =0=q n ， PX 2 =1=npq n1 8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f 1 (x，
12、y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为 F 1 (x，y)，则 F 1 )(x，y)=P2Xx，Y+1y=PX ，Yy 一 1 = 9.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都服从正态分布 N(， 2 )，记 Y n =X 2n 一 X 2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2）解析：解析：由于X n ，n1相互独立，故 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1)相互独立并且都服从 N(0，2 2 )，所以Y n 2 ，n1独立同分布且 EY
13、n 2 =DY n +(EY n ) 2 =2 2 ，根据辛钦大数定律，当 n时 10.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 f(x，y)= ， 故 XN(0，2 2 )，YN(1，3 2 )，X 与 Y相关系数 =0，所以 X与 Y独立， N(0，1)，根据 F分布典型模式知 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体 X的概率密度为 f(x；)= ，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：*）解析：解析：似然函数为12.设总体 X的概率密度为 f(x；)= 其中 01 是未知参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 1= f(x；)dx= 0 1 xdx+ 1 2 (1一 cx)dx= 又 EX= xf(x；)dx= 0 1 x 2 dx+ 1 2 (1一 x)xdx = 即 三、解答题(总题数：13，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于 025
15、的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x与 y为从(0，1)中取出的两个数，记事件 A表示“x 与 y之积大于 025”，则 =(x，y) 0x，y1， A=(x，y)xy025，(x，y) ，A 的图形如图 11 所示，由几何概率定义得 )解析：15.设离散型随机变量 X只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，一 a与 a 2 ，求 X的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用离散型随机变量分布律的基本性质 p i =1与 p i 0，i=1，2，有 2a 2 a=1 ，a=1(舍去) 则 X的分布律与分布函数分别为 )解析：16.设随机变
16、量 X的绝对值不大于 1，且 PX=0= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)，依题意 PX1 =P一 1X1=1， ， 又除 0点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 = ，故有 当 x一 1时，F(x)=0；当x1 时，F(x)=1；当一 1x0 时， F(x)=PXx=PX一 1+P一 1Xx= ； 当 0x1 时， F(x)=PXx=PX0+PX=0+P0Xx = 综上得 F(x)= )解析：17.设连续型随机变量 X的分布函数为 F X (x)= 其中 a0
17、，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 y= x 2 在区间(0，+)内单调，其反函数 x=h(y)= 在(0，)内可导，其导数 h (y)= 0，我们可以直接用单调函数的密度公式求 f Y (y) 首先求出 X的概率密度 f X (x)：当 x0 时，f X (x)=0；当 x0 时， )解析：解析：求一个随机变量函数 Y的分布，如果 Y是连续型，则求 Y=g(X)的概率密度 f Y (y)的最基本方法是分布函数法；如果 y=g(x)是关于 x的单调可导函数且其导数恒不为零，则可用单调函数公式法求解 f Y (y)设二
18、维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).PX，Y2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用(X，Y)的概率密度，可得 PX，Y2= 2 f(x，y)dxdy= 0 0 2 dxdy = )解析：(2).PX+Y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()计算概率 PX0，Y0，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接应用公式计算，但要注意非零的定义域 ()由于以(0，0)，(1，一 1)
19、，(1，1)为顶点的三角形面积为 12=1(如图33)，故 f(x，y)= () )解析：19.甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X和 Y相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 和 Y的联合概率密度为 f(x，y)= 按题意需要求的是XY的数学期望，即有(D 1 ，D 2 如图 42) E(XY)= 0 1 0 1 x 一 y6x 2 ydxdy )解析：设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且 X的概率分布为 （分数：6.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.0
20、0）_正确答案：(正确答案：设(U，V)的分布为 ，则有 p 11 =PU=1，V=1=Pmax(X，Y)=1，min(X，Y)=1 =PX=1，Y=1=PX=1PY=1= ， P 12 =PU=1，V=2=Pmax(X，Y)=1，min(X，Y)=2= =0， p 22 =PU=2，V=2=Pmax(X，Y)=2，min(X，Y)=2 =PX=2，Y=2=PX=2PY=2= ， P 21 =1P 11 P 12 一 P 22 = 所以(U，V)的分布为 )解析：(2).E(UV)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：UV 可能取值为 1，2，4，所以 E(UV)= )解析：(3). U
21、V （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()可知 )解析：20.设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A发生 B不发生与 B发生 A不发生的概率相等，记随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先要求出 X，Y，XY 的分布，从而计算得 EX，DX；EY，DY；EXY，最后计算得 ，由题设知 ，即 P(AB)=P(B一 A)，P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(BA)，故 P(A)=P(B)=p，又 A与 B独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=p 2 ，从而得 X，Y，XY 的分布为 (这是因为 PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)=p 2
22、) 由 EX=p，DX=p(1 一 P)；EY=p 2 ，DY=p 2 (1 一 p 2 )； EXY=p 2 ，Cov(X，Y)=EXYEXEY=p 2 一 p 3 =p 2 (1一 p)， 得 = )解析：21.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为 2，标准差是 13，计算在 100次轰炸中有 180颗到220颗炸弹命中目标的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设第 i次轰炸中命中目标的炸弹数为 X i ，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X，则 X=X 1 +X 100 ，且 X 1 ，X 100 相互独立同分布，EX i
23、 =2，DX i =13 2 ，EX=200，DX=169，应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169)，则有 P180X220=PX一 20020= )解析：22.已知总体 X与 Y相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证：T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用 t分布的典型模式证明，已知 X i N(0，1)，Y i N(0，1)且相互独立，因此样本均值 N(0，1)，如果用 S X 2 与 S Y 2 分别表示样本方差，则有 7S X 2 = ，由于 X
24、i 与 Y i 相互独立，S X 2 仅依赖于 X i ，S Y 2 仅依赖于 Y i ，因此 S X 2 与 S Y 2 独立，根据 2 分布性质(可加性)知 Q=7S X 2 +8S Y 2 2 (15)，又 ，S X 2 ，S Y 2 相互独立，所以 与 7S X 2 +8S Y 2 =Q相互独立，根据 t分布典型模式有 )解析：已知总体 X的概率密度 f(x)= （分数：6.00）(1).求 Y的期望 EY(记 EY为 b)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接应用公式 Eg(X)= g(x)f(x)dx 计算 EY=EX 2 = 2 x 2 e (x2) dx 0 (t+2) 2 e t dt = 0 t 2 e t dt4 0 te t dt4 0 e t dt = )解析：(2).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =EX，其中 样本 X 1 ，X n 的似然函数为 )解析：(3).利用上述结果求 b的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 b= 2(0)是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b的最大似然估计为 )解析：
