1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 40及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且 X与 Y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点3.设随机变量 X与 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零4.设随机变量 Xt(n)(n
2、1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n，1)D.YF(1，n)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.对同一目标接连进行 3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 78，则单次射击命中目标的概率 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知 X，Y 为随机变量且 （分数：2.00）填空项 1:_7.袋中有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球，现从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止，用 X表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1
3、，2，)（分数：2.00）填空项 1:_8.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.将一枚骰子重复掷 n次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X 1 ，X 2 ，X 100 是独立同服从参数为 4的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则P （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X一 N(， 2 )，其中 和 2 (0)均为未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，
4、X 2 ，X n 样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知总体 X服从参数为 p(0p1)的几何分布：PX=x=(1 一 p) x1 p(x=1，2，)，X 1 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，则未知参数 p的矩估计量为 1；最大似然估计量为 2（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3
5、整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8的概率（分数：2.00）_16.设平面区域 D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向 D内随机地投入 10个点，求这 10个点中至少有 2个点落在曲线 y=x 2 与直线 y=x所围成的区域 D 1 内的概率（分数：2.00）_17.随机变量 X在 （分数：2.00）_18.随机地向半圆 0y （分数：2.00）_19.设离散型随机变量 X服从参数为 P(0P1)的 0-1分布(I)求 X的分布函数 F(x)； ()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_已知随机变量 XN
6、(0，1)，求：（分数：6.00）(1).Y= （分数：2.00）_(2).Y=e X 的概率密度；（分数：2.00）_(3).Y=X的概率密度(结果可以用标准正态分布函数 (x)表示)（分数：2.00）_20.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，且 X与 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_21.假设有 10只同种电子元件，其中有 2只废品，装配仪器时，从这 10只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只，求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差（分数：2.
7、00）_设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).Z的密度函数；（分数：2.00）_(2).EZ，DZ；（分数：2.00）_(3).PZ1（分数：2.00）_22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y的概率密度为 f(一 x)，且 XY = （分数：2.00）_已知总体 X是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1) 2 ，EX=2(1)( 为未知参数)（分数：4.00）(1).试求 X的概率分布；（分数：2.00）_(2).对 X抽取容量为 10的样本，其中 5个取 1，3 个取 2，2 个取
8、 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 40答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且 X与 Y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数 B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点解析：解析：设 X的概率分布为 PX=a=p，PX=b=1p=q(ab)，而 Y的分布函数为 F(y)，U=X+Y，因为
9、 X与 Y相互独立，故由全概率公式有 F()=PX+Y =pPX+YX=a+qPX+YX=b =pPY 一 a+qPY 一 b=PF( 一 a)+qF( 一 b) 由此可见 X+Y的分布函数 F()是连续函数，故选(A)3.设随机变量 X与 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：由于 X与 Y独立同分布，因此 E(X)=E(Y)，E(X 2 )=E(Y 2 )，又 E(U)=E(XY)=E(X)一 E(Y)=0， E(UV)=E(XY)(X+Y)=E(X 2 一 Y 2 )=E(X 2 )
10、一 E(Y 2 )=0， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=0， 从而可知 U与 V的相关系数为零，故选(D) 由 X与 Y独立可知 XY =0如果 X与 Y都服从正态分布，则 U=X1，和 V=X+Y也都服从正态分布，从而 U与 V相互独立，(A)不正确，如果 X与 Y服从同一 0-1分布： PX=0=PY=0= ，PX=1=PY=1= ， 则 PU=一 1=PX=0，Y=1=P X=0PY=1= ， PV=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= ， PU=一 1，V=2=P 4.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一
11、1)C.YF(n，1) D.YF(1，n)解析：解析：根据 t分布的性质，如果随机变量 Xt(n)，则 X 2 F(1，n)，又根据 F分布的性质，如果 X 2 F(1，n)，则 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.对同一目标接连进行 3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 78，则单次射击命中目标的概率 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：引进事件 A i =第 i次命中目标(i=1，2，3)，由题设知，事件 A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，且其概率均为 p，由 3次独立重复射击至少命中目标一次的概率 6.已知 X，Y 为随
12、机变量且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率 由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，故 P(A)=PX0+PY0一 PX0，Y0= ； 又max(X，Y)0 min(X，Y)0，则 B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y)0= 从而 P(B)= 由全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X，Y)0+max(X，Y)0， min(X，Y)0=C+X0，Y0，故 P(C)=P(A)一 PX0，Y0=7.袋中
13、有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球，现从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止，用 X表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若记 A i =“第 i次取出 4个球为 2个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 A i 相互独立，根据超几何分布知 P(A i )= ，再由几何分布即得 PX=k= 8.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4
14、次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 若记 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，P)，其中 p=P(A)=PX+Y1= f(x，y)dxdy =2 所以 EZ 2 =DZ+(EZ) 2 = =5 9.将一枚骰子重复掷 n次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：72）解析：解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 是各次掷出的点数，它们显
15、然独立同分布，每次掷出点数的数学期望 EX=216=72，因此，根据辛钦大数定律， 10.设 X 1 ，X 2 ，X 100 是独立同服从参数为 4的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0975）解析：解析：由于 EX k =DX k =4， =02，因为 n=100充分大，故由列维-林德伯格定理知， 近似地服从正态分布 N(4，02 2 )，因此，有 11.设 X一 N(， 2 )，其中 和 2 (0)均为未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n 样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 （分数：2.
16、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于待估计参数有 2个：， 2 ，故考虑一阶、二阶矩，由于 E(X)=，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 2 ，令 解得 和 2 的矩估计量分别为 ， 12.已知总体 X服从参数为 p(0p1)的几何分布：PX=x=(1 一 p) x1 p(x=1，2，)，X 1 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，则未知参数 p的矩估计量为 1；最大似然估计量为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由几何分布的期望公式即得 ， 则由上式解得 p的矩估计量 又样本 X 1 ，X n 的似然函
17、数 13.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Y 1 =X 2 +X 3 ，Y 2 =X 2 一 X 3 ，则 Y 1 N(0，2 2 )，Y 2 N(0，2 2 )，由于 Cov(Y 1 ，Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )一 E(Y 1 )E(Y 2 )=E(X 2 +X 3 )(X 2 一 X 3 ) =E(X 2 2 )一 E(X 3 2 )= 2 一 2 =0， 所以 Y 1 与 Y 2 相互独立，且与 X 1 独立，又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +Y 1 N
18、(0，3 2 )，可知 (X 1 +X 2 +X 3 )N(0，1)， 2 (1)，且 X 1 +X 2 +X 3 与 X 2 一 X 3 相互独立，于是按 t分布定义有 三、解答题(总题数：12，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被 3整除”，B 表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于 8”，抛掷两枚骰子所出现的点数为(i，j)(i，j=1，2，6)，其中 i，j 分
19、别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 6 2 =36种结果，即有 36个基本事件，抛掷第一枚骰子出现 3点或 6点时，才能被 3整除，因此事件 A包含 2个基本事件，从而 P(A)= 事件 A和事件 B的交 4B=(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即包含 5个基本事件，因此 P(AB)= 所求概率即为条件概率 P(BA)= )解析：16.设平面区域 D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向 D内随机地投入 10个点，求这 10个点中至少有 2个点落在曲线 y=x 2 与直线 y=x所围成的区域 D 1 内的概
20、率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A表示“任投的一点落在区域 D 1 内”，则 P(A)是一个几何型概率的计算问题，样本空间 =(x，y)0x1，0y1，有利于事件 A的样本点集合为 D 1 =(x，y)x 2 yx(如图 13)，依几何型概率公式 P(A)= 其中 S D =1，S D = 0 1 (x一 x 2 )dx= 设事件 B k 表示“10 个点中落入区域 D 1 的点的个数为 k”，k=0，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式 P(B 2 B 3 B 10 )=1一 P(B 0 )一 P(B 1 )=1一(1 一 p) 10 C 10 1 p(1一
21、p) 9 =1一 052 )解析：17.随机变量 X在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 y=sinx在 上是 x的单调可导函数，其反函数 x=arcsiny存在、可导且导数恒不为零，因此可以直接用单调函数公式法求出 Y的概率密度，在这里 h(y)=arcsiny，h (y)= 于是 F Y (y)= )解析：18.随机地向半圆 0y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设比例系数为 ，而点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 ，因此，当 0x 时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积 a 2 ；分子面积 S是扇形 ABC与三角形 BOA的
22、面积之和，即 所求的 X的概率密度为 f(x)= )解析：解析：由图 21 看出，X 取值在(0， )内，由于 X是一个连续型随机变量，我们通过它的分布函数 F(x)求其概率密度 f(x)19.设离散型随机变量 X服从参数为 P(0P1)的 0-1分布(I)求 X的分布函数 F(x)； ()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) F(x)=PXx= () Y=F(X)= PY=0=PX0=0， PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一 P， PY=1=PX1=PX=1=P， 于是 Y的分布律与分布函数分别为 )解析：已知随机变量
23、 XN(0，1)，求：（分数：6.00）(1).Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用定义法求分布函数，而后再求概率密度 由题设知 Y是离散型随机变量，其概率分布为 PY=一 1=PX1=(1)， PY=1=PX1=1 一 PX1=1 一 (1)=(一 1)， 故 Y的分布函数 F(y)=PYy= )解析：(2).Y=e X 的概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y=e X 的分布函数 F(y)=PYy=Pe X y，故 当 y0 时，F(y)=0；当 y0时，F(y)=PXlny=(lny)，即 )解析：(3).Y=X的概率密度(结果可以用标准正态分布函数 (x
24、)表示)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y=X的分布函数 F(y)=PXy，当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时， F(y)=PXy=P一 yXy=(y)一 (一 y)=2(y)一 1， 即 F(y)= 所以概率密度 f(y)=F (y)= )解析：20.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，且 X与 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X和 Y的独立性，知 X和 Y的联合概率密度为 F(x，y)= 按题意需求概率 PXY，如图 32，则有 PXY= 8y 2 e 2(x
25、y) dxdy= 0 dy 0 y 8y 2 e 2(xy) dx =一 4 0 y 2 e 2y (e 2x ) 0 y dy=一 4 0 y 2 (e 4y e 2y )dy )解析：21.假设有 10只同种电子元件，其中有 2只废品，装配仪器时，从这 10只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只，求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示在取到正品之前已取出的废品只数，则 X的可能取值是 0，1，2，其概率分布为 PX=0= 于是由随机变量的数学期望的定义式(41)及随机变量的函数的数学
26、期望的定义式(43)分别可得 E(X)= E(X 2 )=0 2 所以 X的方差为 D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).Z的密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F(z)=0；当 z0 时， F(z)=PZz=PX 2 +Y 2 z = 于是f Z (z)=F (z)= 由此可以看出，Z 服从参数为 )解析：(2).EZ，DZ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)= 可知，X 与 Y相互独立，且 X 2 与 Y 2 也独立，又 XN(0， 2 )
27、，YN(0， 2 )，故 EZ=E(X 2 +Y 2 )=EX 2 +EY 2 =2DX=2 2 ， DZ=D(X 2 +Y 2 )=DX 2 +DY 2 =2DX 2 ， EX 4 = = )解析：(3).PZ1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PZ1= 0 1 或 Pz1=F(1)=1 (Z服从参数为 )解析：22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y的概率密度为 f(一 x)，且 XY = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= xf(x)dx+ yf(一 y)dy， 令 y=一x，则 yf(一
28、y)dy= (一 x)f(x)d(x)= xf(x)dx， 所以 E(Z)=0 又D(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 =E(Y 2 )一一 E(X) 2 ， 而 E(Y 2 )= y 2 f(一 y)dy= (一 x) 2 f(x)d(一 x)= x 2 f(x)dx=E(X 2 )， 所以 D(Y)=E(Y 2 )一一 E(X) 2 =E(X 2 )一E(X) 2 =D(X)=1 于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) =D(X)+D(Y)+ =1+1+ )解析：已知总体 X是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1) 2 ，EX=2(
29、1)( 为未知参数)（分数：4.00）(1).试求 X的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X的概率分布为 PX=0=p 0 ，PX=1=p 1 ，PX=2=p 2 ，由题设知 p 2 =(1) 2 ，又 EX=2(1)=0p 0 +1p 1 +2p 2 =p 1 +2p 2 =p 1 +2(1) 2 ，解得 p 1 =2(1)一2(1) 2 =2(1)，而 p 0 +p 1 +p 2 =1，所以 p 0 =1一 p 1 p 2 = 2 ，X 的概率分布为 )解析：(2).对 X抽取容量为 10的样本，其中 5个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用定义求矩估计值、最大似然估计值，令 =EX=2(1 一 )，解得 =1 ， 将样本值代入得 的矩估计值为 又样本值的似然函数 L(x 1 ，x 10 ；)= PX=x i ，=2(1 一 ) 5 (1一 ) 6 4 =2 5 9 (1一 ) 11 ， lnL=5ln2+9ln+11ln(1)， 令 )解析：
