1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 37及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B与 C最多一个发生，则有 （分数：2.00）A.B.C.D.3.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2
2、，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立4.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(一 x)D.f(x)5.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1处有驻点，且 f(1)=1，则 X服从分布（分数：2.00）A.N(1，1)B.C.D.N(0，1)6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n充分大时 S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n 。（分数：2.00）
3、A.有相同期望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一均匀分布D.服从同一连续型分布7.设 X n 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n次其“正面”出现的次数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.8.假设总体 X的方差 DX存在，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2 ，则 EX 2 的矩估计量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4的结果出现在它们点数之和为 7的结果之前的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X服从正态分布 N(，
4、2 2 )，已知 3PX15=2PX15，则X 一 12= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为 1，方差为 2（分数：2.00）填空项 1:_12.设试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 1 ，X n 相互独立同分布，EX i =，DX i =8(i=1，2，n)，则概率 P 一4 +4 1，其中 （分数：2.00）填空项 1:_14.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体 X的简单随机样本值，则总体 X的经验分布函数 F n (x)= 1
5、 （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 X的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面部是正面()如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少（分数：2.00）_设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：6.00）(1).常数 C；（分数：2.00）_(2).概率 P
6、（分数：2.00）_(3).X的分布函数（分数：2.00）_18.设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (01)，据统计资料，该地段在一个月内发生 8次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)（分数：2.00）_19.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，已知条件概率密度 f XY (xy)= （分数：2.00）_20.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且服服从参数为 P的 0-1分布，令 X k = （分数：2.
7、00）_21.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0-1分布，即 PX=0=PX=1 = ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= （分数：4.00）(1).Z=XY的概率密度 f Z (z)；（分数：2.00）_(2).V=XY的概率密度 f V ()（分数：2.00）_假设随机变量 X的密度函数 f(x)=ce x (0，一x+)，Y=X（分数：6.00）(1).求常数 c及 EX，DX；（分数：2.00）_(2).问 X与 Y是否相关?为什么?（分数：2.00）_(3).问 X与 Y
8、是否独立?为什么?（分数：2.00）_22.()设 X与 Y相互独立，且 XN(5，15)，Y 2 (5)，求概率 PX一 5 ； ()设总体XN(25，6 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自 X的简单随机样本，求概率 P(13 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 37答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B与 C最多一个发生，则有 （分数：2.00）A.
9、B.C. D.解析：解析：B 与 C最多有一个发生就是 B与 C不可能同时发生，即 BC=3.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：试验的样本空间有 4个样本点，即 =(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，显然 A 1 A 4 ，A 2 A 4 且 A 3 与 A 4 互不相容，依古典型概
10、率公式，有 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= ， P(A 4 )= ， P(A 1 A 2 )=P(A 1 A 3 )=P(A 2 A 3 )= 4.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(一 x) D.f(x)解析：解析：根据概率密度的充要条件逐一判断 对于(A)： f(2x)dx= 5.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1处有驻点，且 f(1)=1，则 X服从分布（分数：2.00）A.N(1，1)B. C.D.N(0，1)解析：解析：正态分布 N(， 2 )的概
11、率密度函数为 f(x)= ，x： 由于 f(x)的驻点是 x=，且 f()= ，所以 X 6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n充分大时 S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n 。（分数：2.00）A.有相同期望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一均匀分布 D.服从同一连续型分布解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在，显然 4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在
12、，选项(A)不成立，因为 X 1 ，X 2 ，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立7.设 X n 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n次其“正面”出现的次数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 X n ，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有 8.假设总体 X的方差 DX存在，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S
13、2 ，则 EX 2 的矩估计量是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：按定义，EX 2 的矩估计量是 ，由于 s 2 = ， 所以 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4的结果出现在它们点数之和为 7的结果之前的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A表示“点数之和 4出现在点数之和 7之前”；B 表示“第一次试验出现点数之和 4”；C表示“第一次试验出现点数之和 7”；D 表示“第一次试验没出现点数之和 4与点数之和 7”，则B，C，D 构成一个完备事件组，且 A=A(B+
14、C+D)，易知，总样本数为 6 2 =36，P(B)= (因 B中有 3个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1)，P(C)= (因 C中有 6个样本点)，P(D)= ，且 P(AB)=1， P(AC)=0， P(AD)=P(A) 由全概率公式，得 P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(AD) =P(B)+P(D)P(A)= ， 所以，P(A)= 10.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2PX15，则X 一 12= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.6826）解析：解析：求正态分布随机变量 X在某一范围内取值的
15、概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知=2，需先求出 ，由于11.已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为 1，方差为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设横截面的直径为 X，则 X在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为 f X (x)= 设横截面的面积为 S，则 S= ，根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得 E(S)= 由于 D(S)=E(S 2 )一E(S) 2 ，而 E(S 2 )= ，由随机变量函数的数学期望的定义式(44)可知，随机变量 Z=g(X)=X
16、4 的数学期望为 E(X 4 )= x 4 f X (x)dx= 1 2 x 4 dx= ， 于是 E(S 2 )= 故 D(S 2 )=E(S 2 )一E(S) 2 = 12.设试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y与 Z都服从同一几何分布，其概率分布为 PY=k=PZ=k= (k=1，2，)， 从而有 E(Y)=E(Z)= ，于是 E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=13.设随
17、机变量 X 1 ，X n 相互独立同分布，EX i =，DX i =8(i=1，2，n)，则概率 P 一4 +4 1，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 X 1 ，X n 相互独立同分布，因此有 ，应用切比雪夫不等式，有 14.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体 X的简单随机样本值，则总体 X的经验分布函数 F n (x)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得 1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为15.设总体 X的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自
18、总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 ，ES 2 =DX，由题设有 EX= xf(x)dx= 1 1 xxdx=0 DX=EX 2 (EX) 2 = x 2 f(x)dx= 1 1 x 2 xdx=2 0 1 x 3 dx= ， 所以 三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面部是正面()如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚
19、硬币是均匀的概率为多少（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式，设 B=“取出的硬币是均匀的”，A i =“第 i次抛出的结果是正面”，i=1，2，则()所求概率为 P(BA 1 )，()所求概率为 P(BA 1 A 2 ) ()由贝叶斯公式得 P(BA 1 )= ()由贝叶斯公式得 P(BA 1 A 2 )= )解析：设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：6.00）(1).常数 C；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1= f(x)dx=2 0 4 4Cxdx=8C )解析：(2).概率 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答
20、案： )解析：(3).X的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分布函数 F(x)= x f(t)dt，由于 f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行，要注意的是不管 x处于哪一个子区间，积分的下限总是“一”，积分 x f(t)dt由(一，x)的各个子区间上的积分相加而得 当 x0 时，F(x)= x f(t)dt= x 0dt=0； 当 0x2 时，F(x)= x f(t)dt= 0 0dt+ ； 当 x2时：F(x)= x f(t)dt= 0 0dt+ 0 2 dt+ 2 x 0dt=1， 因此 F(x)= )解析：18.设某地段在一
21、个月内发生交通事故的次数 X服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (01)，据统计资料，该地段在一个月内发生 8次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先确定 X的分布参数 ，由于 PX=8=25PX=10，即 =36，=6(负根舍去) 我们可以计算出 Y服从参数为 的泊松分布，即 PY=m = )解析：解析：此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数 Y的概率分布，据此可求出概率p=PY=0，如果用 Z表示一年内无重大交通事故的月份数
22、，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z服从二项分布 B(12，p)19.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，已知条件概率密度 f XY (xy)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()f(x，y)=f XY (xy)f Y (y)= )解析：解析：()由性质 f XY (xy)dx=1 可以定出常数 A，也可以更简单地把 看成形式 ()由于 20.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且服服从参数为 P的 0-1分布，令 X k = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见随机变量(X 1 ，X 2 )是离散型的，它的全部可能取值为(
23、0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，现在要计算出取各相应值的概率，注意到事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数P的 0-1分布，因此它们的和 Y 1 +Y 2 +Y 3 Y服从二项分布 B(3，P)，于是 PX 1 =0，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2 =PY=0+PY=3=q 3 +P 3 ，(q 1一 p) PX 1 =0，X 1 1 =PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2 =PY=2=3p 2 q， PX 1 =1，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +
24、Y 3 2=PY=1=3pq 2 ， PX 1 =1，X 2 =1=PY 1 Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=P =0 由上计算可知(X 1 ，X 2 )的联合概率分布为 )解析：21.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0-1分布，即 PX=0=PX=1 = ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立 由题设知(X，Y) ，则Z(X，Z)的分布为 由此可知 Z服从参数 = 的 0-1分
25、布；(X，Z)的联合概率分布为 因PX=i，Z=j= )解析：假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=一 1= （分数：4.00）(1).Z=XY的概率密度 f Z (z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意 PY=一 1= ，XN(0，1)且 X与 Y相互独立，于是 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=一 1PXYzY=一 1+PY=1PXYzY=1 =PY=一 1P一 XzY=一 1+PY=1PXzY=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 f Z (z)=(z)=
26、)解析：解析：由于 Y为离散型随机变量，X 与 Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度(2).V=XY的概率密度 f V ()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 V=XY只取非负值，因此当 0 时，其分布函数 F V ()=PXY=0； 当 0 时， F V ()=P一 XY =PY=一 1P一 XYy=一 1 +PY=1P一 X 一 Yy=1 综上计算可得 F V ()= 由于 F V ()是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V的概率密度为 f Z (z)= )解析：假设随机变量 X的密度函数 f(x)=ce x (0，一x+)，Y=X（分数：6.00）(
27、1).求常数 c及 EX，DX；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用 f(x)dx=1求 c；应用公式及充要条件解答其他问题 由于 f(x)dx=1，所以 c e x dx=2c 0 e x dx= 又 f(x)是偶函数，且反常积分 xf(x)dx收敛，所以 EX= xf(x)dx=0， DX=DX 2 = x 2 f(x)dx=2 0 x 2 e x dx= )解析：(2).问 X与 Y是否相关?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)是偶函数，故 EXY=EXX= xxf(x)dx=0，而 EX=0，所以 EXY=EXEY，故 X与 Y不相关)解析：(3).问 X与 Y是否独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：下面我们应用事件关系证明 X与 Y=X不独立，因为X1 )解析：22.()设 X与 Y相互独立，且 XN(5，15)，Y 2 (5)，求概率 PX一 5 ； ()设总体XN(25，6 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自 X的简单随机样本，求概率 P(13 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()因 与 S 2 相互独立，故有 P=P(13 35)(63S 2 96) =P13 35P63S 2 96， 而 N(25，6 2 5)，即有 P63S 2 96= )解析：
