1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 9及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 满足 AB= （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)3.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若 0P(B)1，P(AB)+P(B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(AB)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(AB)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时，事件 C必发生，则 P(C)P
2、(A)+P(B)14.设 0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )5.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X 1 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (
3、x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)F 2 (x)C.F 1 (x)F 2 (x)D.F 1 (x)F 2 (x)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.一射手对一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_8.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设对于事件 A，B，C 有 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知每次试验“成功”的概率
4、为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 X服从参数为 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X服从泊松分布，且 PX1=4PX=2)，则 PX=3= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，
5、试求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_16.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_17.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_18.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_19.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，x+求：(1)系数 A与 B；(2)P1X1；(3)X 的概率密度（分数：2.00）_20.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_21
6、.设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_22.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_24.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1e x 的概率密度函数 f y (y)（分数：2.00）_25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_26.设 X在0，2上服从均匀分布，求 Y=cosX的密度函数（分数：2.00）_27.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_28.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数（分数：2.00
7、）_29.已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：2.00）_30.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 9答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 满足 AB= （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A) 解析：解析：用文氏图，如果 A，B 满足 ，则 相容，所以(A)错误 如果 A，B 满足 ，则，所以
8、(B)错误 由于 AB=3.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若 0P(B)1，P(AB)+P(B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(AB)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(AB)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时，事件 C必发生，则 P(C)P(A)+P(B)1 解析：解析：对于(A)， 即 P(B)P 2 (B)=P(AB)+P(B)P(A)P(B)P 2 (B) 故 P(AB)=P(A)P(B)，故(A)正确 对于(B)，P(BA)= =1=P(AB)=P(A)=P(A)P(AB)=0=P(AB)=0，故(B)正确 对于(C)，(AB)B= =AB，(C
9、)正确 对于(D)，AB 4.设 0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )解析：解析：由 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)=P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)可得P(A 1 A 2 B)=0，即 P(A 1 A 2 B)
10、=0 P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)， 故选(B)5.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 A 1 A 2 = ，得 P(A 1 A 2 )=0，于是 P(A 1 A 2 B)= =0，(A)正确； P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)P(A 1 A 2 B) =P(A 1 B)+P(A 2 B)，(B)正确； =1P(A 1 A 2 B) =1P(A 1 B)P(A 2 B)1，(C)
11、错误； 6.设 X 1 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)F 2 (x)C.F 1 (x)F 2 (x) D.F 1 (x)F 2 (x)解析：解析：用排除法 因为 F 1 (x)，F 2 (x)都是分布函数，所以 =1+1=2， 故(A)不正确 =11=0， 故(B)不正确 对于(D)，由于 ，所以， 型未定式极限，因此，不能保证 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.一射手对一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
12、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：独立重复试验至少命中一次的对立事件是四次都没有命中四次都没有命中的概率是，所以该射手的命中率为8.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则 XB(2， )，而Y=5X 为 5次中反面出现的次数 记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5，25X5 =P2X5，0X3=PX=2X=3 =9.设对于事件 A，B，C 有 P(A)=P(B)=P(C
13、)= ，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) =10.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1*）解析：解析：这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=(n 次试验中 A发生的次数)，则XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为11.设 X服从参数为 的指数分布，对 X
14、作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*ln2）解析：解析：Xf(x)= 记 A=X2，Y=对 X作三次独立重复观察 A发生的次数，YB(3，p)，p=PX2)= 2 + e x dx=e 2 ，由题意 PY1)=1PY=0)=1(1p) 3 = ， 于是1P= 12.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，0）解析：解析：由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又13.设随机变量 X服从泊松分布，且 PX1=4PX=2)，则 PX=3= 1（分数：2.00）填空项 1:_
15、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX1=PX=0+PX=1=e +e ，PX=2= e 由 PX1)=4PX=2)知 e +e =2 2 e ，即 2 2 1=0，解得 =1，故 PX=3= 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 3-7所示，有 P(A)= =04018ln302 )解析：16.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的
16、路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX=0=P第一个路口即为红灯= PX=1=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X的分布律为 )解析：17.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i个零件是合格品，i=1，2，3，则 PX=0= PX=1 PX=2 PX=3=P(A 1 A 2 A 3 )= 即 X的分布律为 )解析：18.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案：(1)1= f(x)dx=A 0 sinxdx=Acosx 0 =2A，A= (2)Pxa= PXa= 可见 cosa=0，故 a= )解析：19.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，x+求：(1)系数 A与 B；(2)P1X1；(3)X 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由分布函数的性质 于是 ，所以 X的分布函数为 F(x)= arctanx，x+ (2)P1X1=F(1)F(1)= (3)X的概率密度为 f(x)=F(x)= )解析：20.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的图形如图 3
18、-8所示，则 X的分布函数为 )解析：21.设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y 为“在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数”，YB(3，p)，其中 P=PX150= (1)所求概率为 PY2=PY=2+PY=3 = (2)y的分布列为 PY=k=，k=0，1，2，3，即 (3)Y的分布函数为 )解析：22.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 YB(5，p)，其中 P=PX10= )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分布函数法设 y
19、的分布函数为 F Y (y)，则 F Y (y)=PYy=Pe x y= )解析：24.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1e x 的概率密度函数 f y (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知，X 的密度函数与分布函数分别为 所以当 y0 时，F Y (y)=PYy=P1e x y=0，F Y (y)=0； 当 0y1 时， F Y (y)=PYY=P1e x Y = f Y (y)=1； 当 y1 时，F Y (y)=PYy=P1e x y=1，f Y (y)=0 从而可得 )解析：25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：
20、(正确答案：设 y的分布函数为 F Y (y)，则 F Y (y)=PYy=PsinXY=P0XarcsinyXaresiny =P0Xarcsiny+1PXarcsiny =F X (arcsiny)+1F X (arcsiny)， 所以 )解析：26.设 X在0，2上服从均匀分布，求 Y=cosX的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1y1 时， F Y (y)=PcosXy=ParccosyX2arccosy = 则 f Y (y)=F Y (y)= )解析：27.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 X的密度函数积分得 X
21、的分布函数 设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当y0 时，G(y)=PYy=PF(X)y=0； 当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1； 当0y1 时， G(y)=PYy=PF(X)y=P 1y =PX(y+1) 3 =F(y+1) 3 =y， 或 G(y)=Px(y+1) 3 = =y 于是，Y=F(X)的分布函数为 )解析：28.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件 Xf X (x)= 函数 y=sinx在 上单调增加，在 上单调减少，其反函数分别为 x=arcsin y，0y1； x=arcsi
22、n y，0y1 所以，当 0y1 时，于是 )解析：29.已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X 2 的联合分布有如下形式： 其中 p 12 =p 32 =0是由于 PX 1 X 2 =0=1，所以，PX 1 X 2 0=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下： (2)由联合分布表可以看出 PX 1 =1，X 2 =0= ，而 PX 1 =1PX 2 =0= )解析：30.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以按以下公式先
23、算出 Z的分布函数 F Z (z)： F Z (z)= f X (x)f Y (y)dxdy(其中 D z =(x，y)2x+yz)， 然后对 F Z (z)求导算出 f Z (z)，但较麻烦 记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U与 Y相互独立)的概率密度 f Z (z)= f U (u)f Y (zu)du 由于 f U (u)f Y (zu)= 即 f U (u)f Y (zu)仅在 D z =(u，z)0u2，zu0(如图 3-9的阴影部分)上取值 ，在 uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当 z0 时， f U (u)f Y (zu)du= 0du=0； 当 0z2 时， f U (u)f Y (zu)du= 当 z2 时， f U (u)f Y (zu)du= 由此得到 )解析：
