1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 7及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.假设随机变量 X与 Y相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1 = （分数：2.00）A.是连续函数B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点3.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.D.PX=Y=14.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，
2、边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1F X (x)一 F Y (y)C.F(x，y)一 F X (x)一 F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)一 15.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2B.XYC.X+YD.(X，Y)6.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.
3、maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z)D.7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1
4、 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布10.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1)上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设相互独立的两随机变量 X与 Y，其中 XB ，而 Y具有概率密度 f(y)= 则 PX+Y 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X
5、，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y) = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 F 1 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= 1（分数：2.00）填空
6、项 1:_16.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N( 1)（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，已知 PX 1 +X 2 0 = 1 e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.假设随机变量 X在一 1，1上服从均匀分布，a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关
7、（分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)= ，i=1，2，3又设 X=max(，)，Y=min(，)(I)写出二维随机变量的分布率： （分数：2.00）_2
8、4.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立Y 为中途下车的人数，求： (I)在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； ()二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_27.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)
9、，求： (I)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度； ()概率 P(XY)（分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_30.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y (I)求 （分数：2.00）_31.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 (I)求 PX=1 | Z=0； ()求二维随机变量(X，Y
10、)的概率分布（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 7答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.假设随机变量 X与 Y相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1 = （分数：2.00）A.是连续函数 B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点解析：解析：依题意要通过确定 Z=X+Y分布函数 F Z (z)有几个间断点来确定正确选项由于 F Z (z)在Z=a间断 F
11、 Z (a)一 F Z (a0)0 3.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C. D.PX=Y=1解析：解析：因为随机变量 X和 Y可以取不同的值，所以排除选项 A，D又因为 X和 Y也可以取相同的值，所以排除选项 B，故选项 C正确4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1F X (x)一 F Y (y)C.F(x，y)一 F X (x)一 F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)一
12、 1解析：解析：记事件 A=XX，B=YY，则 PXx，Yy= 5.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2B.XYC.X+YD.(X，Y) 解析：解析：根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=6.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F
13、 Y (z) D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXz.PXz=F X (z).F Y (z)， 故选项 C正确7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题意知 X 1 ，为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 = 8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布
14、B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布 解析：解析：选项 A不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0不服从正态分布选项 C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布选项 B也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）
15、A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：根据题设知 X 1 X 2 可取一 1，1，且 PX 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =一 1 =PX 1 =一 1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =一 1 = 又 PX 1 =一 1，X 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 10.已知随机变量(X，Y)在
16、区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1)上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为11.设相互独立的两随机变量 X与 Y，其中 XB ，而 Y具有概率密度 f(y)= 则 PX+Y 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： X 取值只能是 X=0或 X=1，将 X=0和 X=1看成完备事件组，用全概率公式有二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y) = 1（分数：2.00）填空项
17、 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：Pmax(X，Y)=PXY =PX+PY一 PX，Y =13.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，则 P应使 P0=PX 1 X 4 一 X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ，因为 X i 仅能取 1或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3
18、 =X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0，所以 =PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =0+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1X 2 =1，X 3 =0=p 2 (1一 p) 2 +p 3 (1一 p)+p 3 (1一 p)=p 2 (1一 p 2 )=p 2 一p 4 ，则 p 4 一 p 2 + 14.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 F 1 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：X 1 的分布函数为 F
19、 1 (x)，则 X 1 即 PX 1 =0= ，PX 1 =1= 根据全概率公式，可得 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 15.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，X 的概率密度函数为 所以 PX0=1，则 F(x，y)=P Xx，|X|y =PXx，Xy，X0；16.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
20、答案：03）解析：解析：由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=0.4， 又 05=PX 2 +Y 2 =1=PX 2 =0，Y 2 =1+PX 2 =1，Y 2 =0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一 1+PX=1，Y=0 =+01+01 故 =03，=01 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2 =1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=一 1 =02+=0317.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N( 1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(X,Y)
21、的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y 独立 根据正态分布XN(， 2 )的标准化可知 18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，已知 PX 1 +X 2 0 = 1 e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 X i P( i )且 X 1 与 X 2 相互独立所以 E(X i )=D(X i )= i (i=1，2)， E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=E(X 1 2 )+2E(X
22、1 )E(X 2 )+E(X 2 2 ) = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 + 2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 因为 P(X 1 +X 2 0)=1 一 P(X 1 +X 2 0)=1P(X 1 +X 2 =0) =1一 P(X 1 =0，X 2 =0)=1一 P(X 1 =0)P(X 2 =0)= 19.假设随机变量 X在一 1，1上服从均匀分布，a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=|X
23、一 a|，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0其中20.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，则 X 1 2 ，X 2 2 ，X 3 2 相互独立又因 E(X i )=0，E(X i 2 )=D(X i )= 2 故 D(Y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 -E 2 (X 1 X 2 X 3 )=EX 1 2 X 2
24、2 X 3 2 一E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 21.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)= ，i=1，2，3又设 X=max(，)，Y=min(，)(I)写出二维随机变量的分布率： （分数：2.
25、00）_正确答案：(正确答案：(I)根据 X=max(，)，Y=min(，)的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0， 同时有， P X=1，Y=1=P=1，=1=P=1.P=1= ， P X=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2= ， P X=3，Y=3=P=3，=3=P=3.P=3= ， PX=2，Y=1=P=1，=2+P=2，=1= ， P X=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2= ， PX=3，Y=1=； 所以所求的分布律为 ()X 的边缘分布为 因此 X的数学期望为 E(X)= )解析：24.设随机变量 X与 Y相互独立，下
26、表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立Y 为中途下车的人数，求： (I)在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； ()二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)PY=m | X=n=C n m p m (1一 p) n-m ，0mn，n=0，1，2， ()P X=n，Y=m=Px=nPY=m|
27、X=n = )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据分布函数的性质 - + - + f(x,y)dxdy= 0 + 0 + Ae -(2x+3y) dxdy= ，解得 A=6 ()将 A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当 x0，y0时， F(x，y)= 0 y 0 x 6e -(2x+3y) dxdy=6 0 x e -2x dx 0 y e -3y dy=(1一 e -2x )(1一 e -3y )，而当 x和 y取其它值时，F(x，y)=0 综上所述，可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时，X 的边缘密度为 f
28、 X (x)= X 6e -(2x+3y) dy=2e -2x ， 当 x0 时,f X (x)=0因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 (IV)根据公式 已知 R：x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为 )解析：27.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，求： (I)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度； ()概率 P(XY)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)已知 X在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者 x2 时，f(
29、x，y)=0，因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间，且在直线 y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 )解析：28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)已知(X，Y)的概率密度，所以关于 X的边缘概率密度 所以，关于 Y的边缘概率密度 ()设 F Z (z)=PZz=P2X 一 Yz， (1)当 z0 时，F Z (z)=P2X一 Yz=0； (2)当 0z2 时，F Z (z)=P2XYz= (3)当 z2 时，F Z (z)=P2X一 Yz=1。 所以 F Z (z)的即分布函数为： 故所求的概率密度
30、为： )解析：29.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)已知 X，Y 的概率密度，所以 PX2Y= ()先求 Z的分布函数： (1)当 z0 时，F Z (0)=0； (2)当 0z1 时，F Z (z)= 0 z dy 0 z-y (2一 x一 y)dx= (3)当 1z2 时，F Z (z)=1一 P(X+YZ)=1 一 z-1 1 dy z-y 1 (2一 x一 y)dx= (4)当z2 时，F Z (z)=1 故 Z=X+Y的概率密度为 )解析：30.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y (I)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 (I)求 PX=1 | Z=0； ()求二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球所以 ()X，Y 取值范围为 0，1，2，故 )解析：
