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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷7及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷7及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 7及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.假设随机变量 X与 Y相互独立,X 服从参数为 的指数分布,Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1 = (分数:2.00)A.是连续函数B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点3.设随机变量 X与 Y相互独立,其概率分布为 (分数:2.00)A.X=YB.PX=Y=0C.D.PX=Y=14.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),

    2、边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PXx,Yy等于( )(分数:2.00)A.1一 F(x,y)B.1F X (x)一 F Y (y)C.F(x,y)一 F X (x)一 F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (y)+F(x,y)一 15.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )(分数:2.00)A.X 2B.XYC.X+YD.(X,Y)6.设随机变量 X与 Y相互独立,其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y),则 Z=maxX,Y的分布函数 F Z (z)是( )(分数:2.00)A.

    3、maxF X (z),F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z)D.7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则( )(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,一 Y)未必服从正态分布9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布:PX i =一 1=PX i =1= (分数:2.00)A.X 1

    4、 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布10.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1)上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.11.设相互独立的两随机变量 X与 Y,其中 XB ,而 Y具有概率密度 f(y)= 则 PX+Y 的值为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(, 2 ),如果 Pmax(X

    5、,Y)=a(0a1),则Pmin(X,Y) = 1(分数:2.00)填空项 1:_13.假设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 相互独立且都服从 0一 1分布:PX i =1=p,PX i =0=1p(i=1,2,3,4,0p1),已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 (分数:2.00)填空项 1:_14.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x),已知 F 1 (x)= (分数:2.00)填空项 1:_15.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布,Y=|X|,则(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)= 1(分数:2.00)填空

    6、项 1:_16.已知(X,Y)的概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_17.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1),其中 (x)为标准正态分布函数,则(X,Y)N( 1)(分数:2.00)填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,且分别服从参数为 1 , 2 的泊松分布,已知 PX 1 +X 2 0 = 1 e -1 ,则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_19.假设随机变量 X在一 1,1上服从均匀分布,a 是区间一 1,1上的一个定点,Y 为点 X到 a的距离,当 a= 1时,随机变量 X与 Y不相关

    7、(分数:2.00)填空项 1:_20.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= (分数:2.00)填空项 1:_21.设随机变量 X和 Y均服从 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.设 , 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量,已知 的分布率为 P(=i)= ,i=1,2,3又设 X=max(,),Y=min(,)(I)写出二维随机变量的分布率: (分数:2.00)_2

    8、4.设随机变量 X与 Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 (分数:2.00)_25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立Y 为中途下车的人数,求: (I)在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率; ()二维随机变量(X,Y)的概率分布(分数:2.00)_26.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:2.00)_27.设随机变量 X与 Y独立,X 在区间0,2上服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2)

    9、,求: (I)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度; ()概率 P(XY)(分数:2.00)_28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_29.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_30.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y (I)求 (分数:2.00)_31.袋中有 1个红球,2 个黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 (I)求 PX=1 | Z=0; ()求二维随机变量(X,Y

    10、)的概率分布(分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 7答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.假设随机变量 X与 Y相互独立,X 服从参数为 的指数分布,Y 的分布律为 PY=1=PY=一 1 = (分数:2.00)A.是连续函数 B.恰有一个间断点的阶梯函数C.恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点解析:解析:依题意要通过确定 Z=X+Y分布函数 F Z (z)有几个间断点来确定正确选项由于 F Z (z)在Z=a间断 F

    11、 Z (a)一 F Z (a0)0 3.设随机变量 X与 Y相互独立,其概率分布为 (分数:2.00)A.X=YB.PX=Y=0C. D.PX=Y=1解析:解析:因为随机变量 X和 Y可以取不同的值,所以排除选项 A,D又因为 X和 Y也可以取相同的值,所以排除选项 B,故选项 C正确4.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PXx,Yy等于( )(分数:2.00)A.1一 F(x,y)B.1F X (x)一 F Y (y)C.F(x,y)一 F X (x)一 F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (y)+F(x,y)一

    12、 1解析:解析:记事件 A=XX,B=YY,则 PXx,Yy= 5.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )(分数:2.00)A.X 2B.XYC.X+YD.(X,Y) 解析:解析:根据 X,Y 的独立性可知,(X,Y)的联合密度 f(x,y)=6.设随机变量 X与 Y相互独立,其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y),则 Z=maxX,Y的分布函数 F Z (z)是( )(分数:2.00)A.maxF X (z),F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F

    13、 Y (z) D.解析:解析:F Z (z)=Pmax(X,Y)z=PXz,Yz =PXz.PXz=F X (z).F Y (z), 故选项 C正确7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据题意知 X 1 ,为离散型随机变量,其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 = 8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则( )(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布

    14、B.X和 Y不相关与独立等价C.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,一 Y)未必服从正态分布 解析:解析:选项 A不成立,例如,若 Y=一 X,则 X+Y=0不服从正态分布选项 C不成立,(X,Y)不一定服从正态分布,因为边缘分布一般不能决定联合分布选项 B也不成立,因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布,但是因为边缘分布一般不能决定联合分布,故(X,一 Y)未必服从正态分布9.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布:PX i =一 1=PX i =1= (分数:2.00)

    15、A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析:解析:根据题设知 X 1 X 2 可取一 1,1,且 PX 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1,X 2 =1+PX 1 =1,X 2 =一 1 =PX 1 =一 1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =一 1 = 又 PX 1 =一 1,X 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1,X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 10.已知随机变量(X,Y)在

    16、区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1)上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据题设知(X,Y)的概率密度函数为11.设相互独立的两随机变量 X与 Y,其中 XB ,而 Y具有概率密度 f(y)= 则 PX+Y 的值为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析: X 取值只能是 X=0或 X=1,将 X=0和 X=1看成完备事件组,用全概率公式有二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(, 2 ),如果 Pmax(X,Y)=a(0a1),则Pmin(X,Y) = 1(分数:2.00)填空项

    17、 1:_ (正确答案:正确答案:a)解析:解析:Pmax(X,Y)=PXY =PX+PY一 PX,Y =13.假设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 相互独立且都服从 0一 1分布:PX i =1=p,PX i =0=1p(i=1,2,3,4,0p1),已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:记 =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ,则 P应使 P0=PX 1 X 4 一 X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ,因为 X i 仅能取 1或 0,且相互独立,故事件X 1 X 4 X 2 X 3

    18、 =X 1 X 4 =1,X 2 X 3 =0,所以 =PX 1 =1,X 4 =1,X 2 =0,X 3 =0+PX 1 =1,X 4 =1,X 2 =0,X 3 =1+PX 1 =1,X 4 =1X 2 =1,X 3 =0=p 2 (1一 p) 2 +p 3 (1一 p)+p 3 (1一 p)=p 2 (1一 p 2 )=p 2 一p 4 ,则 p 4 一 p 2 + 14.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x),已知 F 1 (x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:X 1 的分布函数为 F

    19、 1 (x),则 X 1 即 PX 1 =0= ,PX 1 =1= 根据全概率公式,可得 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 15.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布,Y=|X|,则(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意,X 的概率密度函数为 所以 PX0=1,则 F(x,y)=P Xx,|X|y =PXx,Xy,X0;16.已知(X,Y)的概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确

    20、答案:03)解析:解析:由于 01+02+01+02=06+=1,即 +=0.4, 又 05=PX 2 +Y 2 =1=PX 2 =0,Y 2 =1+PX 2 =1,Y 2 =0 =PX=0,Y=1+PX=0,Y=一 1+PX=1,Y=0 =+01+01 故 =03,=01 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1,Y 2 =1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=一 1 =02+=0317.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1),其中 (x)为标准正态分布函数,则(X,Y)N( 1)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:(X,Y)

    21、的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1),所以可知 X,Y 独立 根据正态分布XN(, 2 )的标准化可知 18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,且分别服从参数为 1 , 2 的泊松分布,已知 PX 1 +X 2 0 = 1 e -1 ,则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:已知 X i P( i )且 X 1 与 X 2 相互独立所以 E(X i )=D(X i )= i (i=1,2), E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=E(X 1 2 )+2E(X

    22、1 )E(X 2 )+E(X 2 2 ) = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 + 2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 因为 P(X 1 +X 2 0)=1 一 P(X 1 +X 2 0)=1P(X 1 +X 2 =0) =1一 P(X 1 =0,X 2 =0)=1一 P(X 1 =0)P(X 2 =0)= 19.假设随机变量 X在一 1,1上服从均匀分布,a 是区间一 1,1上的一个定点,Y 为点 X到 a的距离,当 a= 1时,随机变量 X与 Y不相关(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:已知 Xf(x)= E(X)=0,依题意 Y=|X

    23、一 a|,a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0其中20.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,则 X 1 2 ,X 2 2 ,X 3 2 相互独立又因 E(X i )=0,E(X i 2 )=D(X i )= 2 故 D(Y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 -E 2 (X 1 X 2 X 3 )=EX 1 2 X 2

    24、2 X 3 2 一E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 21.设随机变量 X和 Y均服从 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:根据题意可知 D(X)=D(Y)= ,且三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.设 , 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量,已知 的分布率为 P(=i)= ,i=1,2,3又设 X=max(,),Y=min(,)(I)写出二维随机变量的分布率: (分数:2.

    25、00)_正确答案:(正确答案:(I)根据 X=max(,),Y=min(,)的定义可知,PXY=0,即 PX=1,Y=2=P(X=1,Y=3)=P(X=2,Y=3)=0, 同时有, P X=1,Y=1=P=1,=1=P=1.P=1= , P X=2,Y=2=P=2,=2=P=2.P=2= , P X=3,Y=3=P=3,=3=P=3.P=3= , PX=2,Y=1=P=1,=2+P=2,=1= , P X=3,Y=2=P=2,=3+P=3,=2= , PX=3,Y=1=; 所以所求的分布律为 ()X 的边缘分布为 因此 X的数学期望为 E(X)= )解析:24.设随机变量 X与 Y相互独立,下

    26、表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立Y 为中途下车的人数,求: (I)在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率; ()二维随机变量(X,Y)的概率分布(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)PY=m | X=n=C n m p m (1一 p) n-m ,0mn,n=0,1,2, ()P X=n,Y=m=Px=nPY=m|

    27、X=n = )解析:26.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)根据分布函数的性质 - + - + f(x,y)dxdy= 0 + 0 + Ae -(2x+3y) dxdy= ,解得 A=6 ()将 A=6代入得(X,Y)的联合概率密度为 所以当 x0,y0时, F(x,y)= 0 y 0 x 6e -(2x+3y) dxdy=6 0 x e -2x dx 0 y e -3y dy=(1一 e -2x )(1一 e -3y ),而当 x和 y取其它值时,F(x,y)=0 综上所述,可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时,X 的边缘密度为 f

    28、 X (x)= X 6e -(2x+3y) dy=2e -2x , 当 x0 时,f X (x)=0因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 (IV)根据公式 已知 R:x0,y0,2x+3y6,将其转化为二次积分,可表示为 )解析:27.设随机变量 X与 Y独立,X 在区间0,2上服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2),求: (I)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度; ()概率 P(XY)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)已知 X在区间0,2上服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2),因此可得根据随机变量独立的性质,可得 ()当 x0 或者 x2 时,f(

    29、x,y)=0,因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间,且在直线 y=x上方的无界区域,所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分,所以可表示为 )解析:28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)已知(X,Y)的概率密度,所以关于 X的边缘概率密度 所以,关于 Y的边缘概率密度 ()设 F Z (z)=PZz=P2X 一 Yz, (1)当 z0 时,F Z (z)=P2X一 Yz=0; (2)当 0z2 时,F Z (z)=P2XYz= (3)当 z2 时,F Z (z)=P2X一 Yz=1。 所以 F Z (z)的即分布函数为: 故所求的概率密度

    30、为: )解析:29.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)已知 X,Y 的概率密度,所以 PX2Y= ()先求 Z的分布函数: (1)当 z0 时,F Z (0)=0; (2)当 0z1 时,F Z (z)= 0 z dy 0 z-y (2一 x一 y)dx= (3)当 1z2 时,F Z (z)=1一 P(X+YZ)=1 一 z-1 1 dy z-y 1 (2一 x一 y)dx= (4)当z2 时,F Z (z)=1 故 Z=X+Y的概率密度为 )解析:30.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y (I)求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.袋中有 1个红球,2 个黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 (I)求 PX=1 | Z=0; ()求二维随机变量(X,Y)的概率分布(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)在没有取白球的情况下取了一次红球,根据压缩样本空间原则,相当于只有 1个红球,2 个黑球放回摸两次,其中摸了一个红球所以 ()X,Y 取值范围为 0,1,2,故 )解析:


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