1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 5及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 （分数：2.00）A.D(X)=2B.P|XE(X)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|33.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=06B.n=6，P=04C.n=8，P=03D.n=24，P=014.对任意两个
2、随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与 Y独立D.X与 Y不独立5.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E(XY)= 则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X).E(Y)，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.相关B.不相关C.独立D.不独立7.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.18.对
3、于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X).D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)9.假设随机变量 X在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX和 V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.05D.110.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.111.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零12
4、.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.=0B.=1C.0D.013.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X和 Y的联合分布为 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在
5、x=1处连续，且 F(1)= 若 Y= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X表示两次调整之间生产出的产品数量，则 EX= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，
6、则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2 =EY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_23.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_24.设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_25.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_26.设二维随
7、机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_27.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修设开机后第 1次停机
8、时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：2.00）_30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_31.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求： (I)乙箱中次品件数的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_32.设 A，B 为随机事件，且 令 （分数：2.00）_33.设 X 1 ,X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：2.00
9、）_34.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_35.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 5答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 （分数：2.00）A.D(X)=2B.P|XE(X)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|3 解析：解析：由于事件|XE(X)|3是事件|XE(X)|3的对立事件，且题设
10、P|XE(X)|3，因此一定有 P|XE(X)|3 选项 D正确 进一步分析，满足不等式 P|XE(X)|3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此选项 A与 C都不能选若 X服从参数n=8，p=05 的二项分布，则有 E(X)=4，D(X)=2但是 P|XE(X)|3=P|X 一 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=3.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=06B.n=6，P=04 C.n=8，P=03D.n=24，P=01解析：解析：因为 XB(n，P)，所以
11、 E(X)=np，D(X)=np(1 一 P)，将已知条件代入，可得4.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X与 Y独立D.X与 Y不独立解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X).E(Y)， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y)5.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E(XY)= 则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 X与 Y均服从 0一 1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布
12、如下： 又已知 E(XY)= 即 P 22 = 从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 6.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X).E(Y)，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.相关B.不相关 C.独立D.不独立解析：解析：因 E(XY)=E(x)E(Y)，故 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，7.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：根据题意，y=nX，故 XY =一 1应选 A 一般来说，两个随机变量
13、 X与 Y的相关系数 XY 满足| XY |1 若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时， XY =1，当 a0 时， XY =一 18.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X).D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，所以 A与 B等价由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见选项 B与 D等价于是，“
14、X 和 Y不相关”与选项 A，B 和 D等价故应选 C9.假设随机变量 X在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX和 V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.05D.1解析：解析：因为 U=arcsinX和 V=arccosX满足下列关系： 即10.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：11.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U).E(V) =
15、E(X 2 一 Y 2 )一 E(X一 Y).E(X+Y) =E(X 2 )一 E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一 D(Y)=0 则 12.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.=0B.=1C.0 D.0解析：解析：选项 B不能选，否则选项 D必成立因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 的符号，而相关系数符号取决于 Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，XY-13.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是
16、( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题可根据方差的运算性质 D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)自行推演故选项 D正确二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意已知连续型随机变量 X的分布函数为15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
17、）解析：解析：根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且服从正态分布 设 Z=X 1 X 2 ，则ZN(0，1)，其概率密度函数为 (z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一 E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E 2 (Z)一 E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0 16.设随机变量 X和 Y的联合分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 01）解析：解析：根据题意可知17.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在 x=1处连续，且 F(1)= 若 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
18、案：正确答案：*）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算由于 F(x)在 x=1处连续，故 E(Y)=aPX1+bPX=1+cPX1 =a1 一 PX1+bPX=1+cPX18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，P)，其中如图 41所示19.已
19、知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X表示两次调整之间生产出的产品数量，则 EX= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：X 是离散型随机变量，其可能的取值为 1，2，令 P(A 1 )=P调整后生产出的产品前 k一 1个为合格品，第 k个为不合格品=PX=k，其中 A i =“第 i个生产出的产品为合格品”，A i 相互独立，P(A i )=09，故 PX=k=09 k-1 01， 20.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色
20、种数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 X=X 1 +X 2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有 21.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2 =EY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由已知条件得，D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)=2，同理，D(Y)=2则有 22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_
21、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，即求 E(X 2 )首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 23.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：184）解析：解析：根据题意可知，X 服从 n=10，p=04 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(x)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=18424.设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
22、）解析：解析：因为 ， 相互独立且均服从正态分布 所以 Z= 一 也服从正态分布，且 E(Z)=E()一 E()=0，D(Z)=D()+D()= 即 ZN(0，1)因此25.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由概率密度的性质 ，有 即 PX=k= 26.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由于 =0，选项二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，所以 E(XY 2 )=E(X).E(Y
23、 2 ) 已知(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(X)=，E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)= 2 + 2 ，所以 E(XY 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2 27.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：根据题意已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)
24、为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x)， 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x)，于是 - + xf(x)dx=04 - + xf 1 (x)dx+06 - + xf 2 (x)dx， 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+ 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：
25、2.00）_解析：29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 q=1一 p，所以 X的概率分布为 PX=k=q k-1 p，(k=1，2，)， 故 X的数学期望为 )解析：30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有
26、3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求： (I)乙箱中次品件数的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X的概率分布为 ()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 )解析：32.设 A，B 为随机事件，且 令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()X，Y 的概率分布分别为 )解析：33.设 X 1 ,X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：2.00）_
27、正确答案：(正确答案：根据题设，知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且 E(X i )=0，D(X i )=1(i=1，2，n)， ()因为已知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， )解析：34.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由于 P(X 2 =Y 2 )=1，因此 P(X 2 Y 2 )=0 故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=
28、P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=一 1)=0可知 P(X=1，Y=一 1)=P(x=1，Y=一 1)+p(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)= 这样，我们就可以写出(X，Y)的联合分布如下： ()Z=XY可能的取值有一 1，0，1其中 P(Z=一 1)=p(X=1，Y=一 1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= 则有P(Z=0)= 因此，Z=XY 的分布律为 )解析：35.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (I)P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()Cov(XY，Y)=Cov(X，Y)一Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY， 其中 )解析：
