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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5及答案解析.doc

    • 资源ID:1395261       资源大小:192.50KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 5及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机变量 X的方差存在,并且满足不等式 P|XE(X)|3 (分数:2.00)A.D(X)=2B.P|XE(X)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|33.已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)=24,D(X)=144,则二项分布的参数 n,P 的值为( )(分数:2.00)A.n:4,P=06B.n=6,P=04C.n=8,P=03D.n=24,P=014.对任意两个

    2、随机变量 X和 Y,若 E(XY)=E(X).E(Y),则( )(分数:2.00)A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X与 Y独立D.X与 Y不独立5.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布,且 E(XY)= 则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设二维随机变量(X,Y)满足 E(XY)=E(X).E(Y),则 X与 Y( )(分数:2.00)A.相关B.不相关C.独立D.不独立7.将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于( )(分数:2.00)A.一 1B.0C.D.18.对

    3、于任意两随机变量 X和 Y,与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )(分数:2.00)A.E(XY)=E(X).E(Y)B.Cov(X,Y)=0C.D(XY)=D(X).D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)9.假设随机变量 X在区间一 1,1上均匀分布,则 U=arcsinX和 V=arccosX的相关系数等于( )(分数:2.00)A.一 1B.0C.05D.110.设随机变量 (分数:2.00)A.0B.C.D.111.设随机变量 X和 Y独立同分布,记 U=XY,V=X+Y,则随机变量 U与 V必然( )(分数:2.00)A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零12

    4、.设随机事件 A与 B互不相容,0P(A)1,0P(B)1,记 (分数:2.00)A.=0B.=1C.0D.013.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2,则随机变量 3X一 2Y的方差是( )(分数:2.00)A.8B.16C.28D.44二、填空题(总题数:14,分数:28.00)14.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= (分数:2.00)填空项 1:_15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 (分数:2.00)填空项 1:_16.设随机变量 X和 Y的联合分布为 (分数:2.00)填空项 1:_17.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在

    5、x=1处连续,且 F(1)= 若 Y= (分数:2.00)填空项 1:_18.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作 4次独立重复观察,观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z,则 EZ 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_19.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整,经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01,如果用 X表示两次调整之间生产出的产品数量,则 EX= 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数,

    6、则 EX= 1(分数:2.00)填空项 1:_21.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05,EX=EY=0,EX 2 =EY 2 =2,则 E(X+Y) 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_23.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 04,则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_24.设 , 是两个相互独立且均服从正态分布 (分数:2.00)填空项 1:_25.设随机变量 X概率分布为 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_26.设二维随

    7、机变量(X,Y)服从 N(,; 2 , 2 ;0),则 E(XY 2 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_27.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1),则 E(X)= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1),各产品合格与否相对独立,当出现 1个不合格产品时即停机检修设开机后第 1次停机

    8、时已生产了的产品个数为 X,求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)(分数:2.00)_30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次,用 Y表示观察值大于 (分数:2.00)_31.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品,乙箱中仅装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,求: (I)乙箱中次品件数的数学期望; ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率(分数:2.00)_32.设 A,B 为随机事件,且 令 (分数:2.00)_33.设 X 1 ,X 2 ,X n (n2)为来自总体 N(0,1)的简单随机样本, 为样本均值,记 (分数:2.00

    9、)_34.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 (分数:2.00)_35.设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为: (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 5答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设随机变量 X的方差存在,并且满足不等式 P|XE(X)|3 (分数:2.00)A.D(X)=2B.P|XE(X)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|3 解析:解析:由于事件|XE(X)|3是事件|XE(X)|3的对立事件,且题设

    10、P|XE(X)|3,因此一定有 P|XE(X)|3 选项 D正确 进一步分析,满足不等式 P|XE(X)|3 的随机变量,其方差既可能不等于 2,亦可以等于 2,因此选项 A与 C都不能选若 X服从参数n=8,p=05 的二项分布,则有 E(X)=4,D(X)=2但是 P|XE(X)|3=P|X 一 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=3.已知随机变量 X服从二项分布,且 E(X)=24,D(X)=144,则二项分布的参数 n,P 的值为( )(分数:2.00)A.n:4,P=06B.n=6,P=04 C.n=8,P=03D.n=24,P=01解析:解析:因为 XB(n,P),所以

    11、 E(X)=np,D(X)=np(1 一 P),将已知条件代入,可得4.对任意两个随机变量 X和 Y,若 E(XY)=E(X).E(Y),则( )(分数:2.00)A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X与 Y独立D.X与 Y不独立解析:解析:因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X).E(Y), 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y)5.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布,且 E(XY)= 则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:因为 X与 Y均服从 0一 1分布,所以可以列出(X,Y)的联合分布

    12、如下: 又已知 E(XY)= 即 P 22 = 从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 6.设二维随机变量(X,Y)满足 E(XY)=E(X).E(Y),则 X与 Y( )(分数:2.00)A.相关B.不相关 C.独立D.不独立解析:解析:因 E(XY)=E(x)E(Y),故 cov(X,Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0,7.将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于( )(分数:2.00)A.一 1 B.0C.D.1解析:解析:根据题意,y=nX,故 XY =一 1应选 A 一般来说,两个随机变量

    13、 X与 Y的相关系数 XY 满足| XY |1 若 Y=aX+b(a,b 为常数),则当 a0 时, XY =1,当 a0 时, XY =一 18.对于任意两随机变量 X和 Y,与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )(分数:2.00)A.E(XY)=E(X).E(Y)B.Cov(X,Y)=0C.D(XY)=D(X).D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)解析:解析:因为 Cov(X,Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0是“X 和 Y不相关”的充分必要条件,所以 A与 B等价由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X,Y)=0,可见选项 B与 D等价于是,“

    14、X 和 Y不相关”与选项 A,B 和 D等价故应选 C9.假设随机变量 X在区间一 1,1上均匀分布,则 U=arcsinX和 V=arccosX的相关系数等于( )(分数:2.00)A.一 1 B.0C.05D.1解析:解析:因为 U=arcsinX和 V=arccosX满足下列关系: 即10.设随机变量 (分数:2.00)A.0 B.C.D.1解析:解析:11.设随机变量 X和 Y独立同分布,记 U=XY,V=X+Y,则随机变量 U与 V必然( )(分数:2.00)A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析:解析:因为 Cov(U,V)=E(UV)一 E(U).E(V) =

    15、E(X 2 一 Y 2 )一 E(X一 Y).E(X+Y) =E(X 2 )一 E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一 D(Y)=0 则 12.设随机事件 A与 B互不相容,0P(A)1,0P(B)1,记 (分数:2.00)A.=0B.=1C.0 D.0解析:解析:选项 B不能选,否则选项 D必成立因此仅能在选项 A、C、D 中考虑,即考虑 的符号,而相关系数符号取决于 Coy(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y),根据题设知 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),XY-13.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2,则随机变量 3X一 2Y的方差是

    16、( )(分数:2.00)A.8B.16C.28D.44 解析:解析:本题考查方差的运算性质,是一道纯粹的计算题可根据方差的运算性质 D(C)=0(C为常数),D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)自行推演故选项 D正确二、填空题(总题数:14,分数:28.00)14.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:根据题意已知连续型随机变量 X的分布函数为15.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*

    17、)解析:解析:根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立,且服从正态分布 设 Z=X 1 X 2 ,则ZN(0,1),其概率密度函数为 (z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一 E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E 2 (Z)一 E 2 |Z|,显然,D(Z)=1,E(Z)=0 16.设随机变量 X和 Y的联合分布为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 01)解析:解析:根据题意可知17.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在 x=1处连续,且 F(1)= 若 Y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答

    18、案:正确答案:*)解析:解析:根据离散型随机变量期望公式计算由于 F(x)在 x=1处连续,故 E(Y)=aPX1+bPX=1+cPX1 =a1 一 PX1+bPX=1+cPX18.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作 4次独立重复观察,观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z,则 EZ 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5)解析:解析:根据题干可知(X,Y)的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”,则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数,故 ZB(4,P),其中如图 41所示19.已

    19、知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整,经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01,如果用 X表示两次调整之间生产出的产品数量,则 EX= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:10)解析:解析:X 是离散型随机变量,其可能的取值为 1,2,令 P(A 1 )=P调整后生产出的产品前 k一 1个为合格品,第 k个为不合格品=PX=k,其中 A i =“第 i个生产出的产品为合格品”,A i 相互独立,P(A i )=09,故 PX=k=09 k-1 01, 20.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色

    20、种数,则 EX= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 则 X=X 1 +X 2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球,由于是有放回抽取,n 次中各次抽取结果互不影响,所以有 21.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05,EX=EY=0,EX 2 =EY 2 =2,则 E(X+Y) 2 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:6)解析:解析:由已知条件得,D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)=2,同理,D(Y)=2则有 22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_

    21、(正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意,即求 E(X 2 )首先对所给概率密度作变换:对于 x(一x+),有 23.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 04,则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:184)解析:解析:根据题意可知,X 服从 n=10,p=04 的二项分布,因此有 E(X)=np=4,D(x)=np(1 一 p)=24, 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=18424.设 , 是两个相互独立且均服从正态分布 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*

    22、)解析:解析:因为 , 相互独立且均服从正态分布 所以 Z= 一 也服从正态分布,且 E(Z)=E()一 E()=0,D(Z)=D()+D()= 即 ZN(0,1)因此25.设随机变量 X概率分布为 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由概率密度的性质 ,有 即 PX=k= 26.设二维随机变量(X,Y)服从 N(,; 2 , 2 ;0),则 E(XY 2 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 3 + 2)解析:解析:由于 =0,选项二维正态分布的性质可知随机变量 X,Y 独立,所以 E(XY 2 )=E(X).E(Y

    23、 2 ) 已知(X,Y)服从 N(,; 2 , 2 ;0),则 E(X)=,E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)= 2 + 2 ,所以 E(XY 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2 27.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1),则 E(X)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:04)解析:解析:根据题意已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),可以验证 F 1 (2x+1)

    24、为分布函数,记其对应的随机变量为 X 2 ,其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数,且 记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x),概率密度函数为 f 2 (x),所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x), 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x),于是 - + xf(x)dx=04 - + xf 1 (x)dx+06 - + xf 2 (x)dx, 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+ 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:

    25、2.00)_解析:29.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1),各产品合格与否相对独立,当出现 1个不合格产品时即停机检修设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X,求 X的数学期望 E(X)和方差D(X)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 q=1一 p,所以 X的概率分布为 PX=k=q k-1 p,(k=1,2,), 故 X的数学期望为 )解析:30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次,用 Y表示观察值大于 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品,乙箱中仅装有

    26、3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,求: (I)乙箱中次品件数的数学期望; ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)X 的可能取值为 0,1,2,3,所以 X的概率分布为 ()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于X=0,X=1,X=2,X=3构成完备事件组,因此根据全概率公式,有 )解析:32.设 A,B 为随机事件,且 令 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ()X,Y 的概率分布分别为 )解析:33.设 X 1 ,X 2 ,X n (n2)为来自总体 N(0,1)的简单随机样本, 为样本均值,记 (分数:2.00)_

    27、正确答案:(正确答案:根据题设,知 X 1 ,X 2 ,X n (n2)相互独立,且 E(X i )=0,D(X i )=1(i=1,2,n), ()因为已知 X 1 ,X 2 ,X n (n2)相互独立, )解析:34.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)由于 P(X 2 =Y 2 )=1,因此 P(X 2 Y 2 )=0 故 P(X=0,Y=1)=0,可知 P(X=1,Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1,Y=0)=0 可知 P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=

    28、P(Y=0)= 同理,由 P(X=0,Y=一 1)=0可知 P(X=1,Y=一 1)=P(x=1,Y=一 1)+p(X=0,Y=一 1)=P(Y=一 1)= 这样,我们就可以写出(X,Y)的联合分布如下: ()Z=XY可能的取值有一 1,0,1其中 P(Z=一 1)=p(X=1,Y=一 1)= ,P(Z=1)=P(X=1,Y=1)= 则有P(Z=0)= 因此,Z=XY 的分布律为 )解析:35.设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (I)P(X=2Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=1)= ()Cov(XY,Y)=Cov(X,Y)一Cov(Y,Y),Cov(X,Y)=E(XY)一 EXEY, 其中 )解析:


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