1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)，独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.一 1B.0C.D.13.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B 则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)=( )（分数：2.00）A.0B.
2、C.D.15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 均服从分布 （分数：2.00）A.X 1 +X 2 与 X 3 +X 4 同分布B.X 1 一 X 2 与 X 3 一 X 4 同分布C.(X 1 ，X 2 )与(X 3 ，X 4 )同分布D.X 1 ，X 2 2 ，X 3 3 ，X 4 4 同分布6.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设相互独立两随机变量 X和 Y均服从 则可以作出服从二项分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 （分数：2.00）A.
3、0B.C.D.19.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 Px=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设随机变量 X和 Y相互独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p) k-1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)必为
4、某一随机变量的分布函数C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=
5、x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 X和 Y为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_18.
6、设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_19.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则 PX+Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.
7、00）_24.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_25.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1，1)四个值，其相应的概率分别为 （分数：2.00）_26.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_27.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：(I)(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0条件下，关于 y的条件分布（分数：2.00）_28.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令
8、 （分数：2.00）_29.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_30.设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20)对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独立的，以 Y记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y的分布律（分数：2.00）_31.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 （分数：2.00）_32.设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别
9、为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)，独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.一 1B.0 C.D.1解析：解析：3.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B 则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=1PY=1=4.已知随机变量 X在(1，
10、2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)=( )（分数：2.00）A.0B.C.D.1 解析：解析：根据题设知 所以(X，Y)的联合密度函数5.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 均服从分布 （分数：2.00）A.X 1 +X 2 与 X 3 +X 4 同分布B.X 1 一 X 2 与 X 3 一 X 4 同分布C.(X 1 ，X 2 )与(X 3 ，X 4 )同分布D.X 1 ，X 2 2 ，X 3 3 ，X 4 4 同分布 解析：解析：6.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数
11、：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 X一 N(0,1)与 YN(1，1)以及 X与 Y相互独立，得 X+YN(1，2)，XYN(一1，2) 因为，若 ZN(， 2 )，则必有 7.设相互独立两随机变量 X和 Y均服从 则可以作出服从二项分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 不难计算出选项 A、C、D 的分布律，它们均不服从二项分布8.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由 PX 1 X 2 =0=1得知，PX 1 X 2 0=0于是根据 X 1 ，X 2 的分布律，有 PX 1 =一 1，X 2 =一 1=0，PX 1
12、 =一，X 2 =1=0 PX 1 =1，X 2 =一 1=0，PX 1 =1，X 2 =1=0 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X 1 ，X 2 )的联合分布律如下表 9.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 Px=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e -1 .e -1 =e -2 10.设随机变量 X和 Y相互独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p) k-1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
13、11.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数 C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度解析：解析：由题设条件，有 F 1 (x)F 2 (x)=PX 1 xPX 2 x =PX 1 x，X 2 x，(因 X 1 与 X 2 相互独立) 令 X=max
14、X 1 ，X 2 ，并考虑到 PX 1 x，X 2 x=Pmax(X 1 ，X 2 )x，可知，F 1 (x)F 2 (x)必为随机变量 X的分布函数，即 F X (x)=PXx 故选项 B正确二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：48e -48 ）解析：解析：设事件 A=“到 48小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命来表示 A如果用 X i 表示第 i个
15、元件的寿命，根据题意 X i 相互独立且有相同的密度函数 f(x)= 而事件 A=“第一个元件在 48小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过 48小时”=“0X 1 48，X 1 +X 2 48”，所以题意要求 P(A)，如图 31所示，p(A)=P0X 1 48，X 1 +X 2 48 13.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y) =1 一 Pmax(X，Y)一1 一 Pmin(X，Y) =一 Pmax(X
16、，Y)+Pmin(X，Y) =一 PX，Y+PX，Y =一 PX+PX，Y+PX，Y =一 PX+PY 因为 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，所以 PX= 故 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 14.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域面积为 A= 0 1 (x一 x 2 )dx= 所以(X，Y)的概率密度函数为 15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间
17、0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2X 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D(X 1 )= 16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，因此有 根据切比雪夫不等式，有 17.设 X和 Y为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0
18、=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A=X0，B=Y0，因此 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1 一 PX0，Y018.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域 D的面积为 因此(X，Y)的联合概率密度是 且其关于 x的边缘概率密度为19.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0 ，一
19、般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0 = f(x，y)dxdy 进行计算根据题设可得，如图 32所示，20.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设可知，X 与 Y具有相同的概率密度 则 PmaxX，Y1=PX1，Y1 =PX1PY1=(PX1) 2 = 21.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则 PX+Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据正态分布的性质，即服从正态分
20、布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以(X+Y)N(1，2)，利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，PX+Y1=三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据概率密度的性质 - + - + f(x，y)dxdy=1，可知 )解析：24.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题意可知随机变量 Y的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F
21、(y)=PYy 当 y1 时，F(y)=0； 当 y2 时，F(y)=1； 当 1y2 时，F(y)=Pyy=Py1+P1Yy =PX2+P1 所以 Y的分布函数为 ()根据概率的性质，可得 PXY=1PXY=1一 PX2= )解析：25.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1，1)四个值，其相应的概率分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题意，(X，Y)的联合概率分布如下表所示 ()关于 X与关于 Y的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行 ()因为 PX=1= 且在 Y=1条件下，X 只能取 1，因此关于 X的条件概率分布为
22、 在 X=1条件下，Y 取一 1和 1两个值，其条件概率分布为 )解析：26.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，F X (x)=PXx=F(x，+)=1 一 e -x ；当 x0 时，F X (x)=0，所以关于 X的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为 )解析：27.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：(I)(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0条件下，关于 y的条件分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题意，(X，Y)的
23、全部可能取值为(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分别计算相应的概率 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，有利于时间X=0 ，Y=1的样本点数为 C 3 1 =3，于是 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： ()从表中看出 Y只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和于是 Y的边缘分布为表中最下行值 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：28.编号为 1，2，3 的三个球随意放入
24、编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X i 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布 如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为 3!=6，PX 1 =1=P1号球落入 1号盒= 又 PX 1 =1，X 2 =1=P1号球落入 1号盒，2 号球落入 2号盒= 依次可求得(X 1 ，X 2 )的联合分布为 )解析：29.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意随机变量(X 1 ，X 2 )是离散型的，它的全部可
25、能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)题目中是要计算出取各相应值的概率注意事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数 P的01分布，所以它们的和 Y 1 +Y 2 +Y 3 Y服从二项分布 B(3，p)于是 PX 1 =0，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=0+PY=3=q 3 +p 3 ， PX 1 =0，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=PY=2=3p 2 q， PX 1 =1，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=1=3pq
26、 2 ， PX 1 =1，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=P=0 计算可得(X 1 ，X 2 )的联合概率分布为 )解析：30.设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20)对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独立的，以 Y记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 XP(20)，即有 在 X取特定值 m时，Y 的可能取值为0，1，m因各次交通事故的后果是相互独立的，所以Y=k|X=m,Y=k=C m k 005 k 095 m
27、-k ，k=0，1，2，m 于是得到 X和 Y的联合分布律为 PX=m，Y=k=PY=k|X=mPX=m 得 Y的分布律为 PY=k= )解析：31.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X和 Y的独立性，知 X和 Y的联合概率密度为 按题意需求概率 PXY，如图 33所示 )解析：32.设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 1= - + - + f 1 (x，y)dxdy= 0 + dy 0 + k 1 e -(x+y) dx=k 1 解得 k 1 =1； 又由 1= - + - + f 2 (x，y)dxdy= 0 + dy y + k 2 e -(x+y) dx= 0 + k 2 e -2y dy= 解得 k 2 =2 因此(X 1 ，Y 2 )与(X 2 ，Y 2 )的概率密度分别为 )解析：
