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【考研类试卷】考研数学三（概率论与数理统计）-试卷27及答案解析.doc

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【考研类试卷】考研数学三（概率论与数理统计）-试卷27及答案解析.doc

1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 27及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：48.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（分数：2.00）A.0P(A B)1B.0P(B)1C.0P(AB)1D.4.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件

2、D.A与 B为相互独立事件5.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 6.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立C.A与 C独立D.BC 与

4、(B|AC)=P(B|C)11.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.不独立D.独立12.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球” 若取后放回，此时记 p 1 =P(A)，p 2 =P(B)；若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，p 4 =P(B) 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 B.p 1 =p 2 p 3 p 4 C.p 1 =p 2 =p 3 p 4 D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 13.已知 0P(B)1，且 P(

5、A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )14.连续抛掷一枚硬币，第 k次(kn)正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 A、B 为任意两个事件，且（分数：2.00）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B)C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)1

6、6.设 A、B 是两个随机事件，且P(A)1，P(B)0，P(B|A)= （分数：2.00）A.P(A | B)=B.P(A | B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)17.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.18.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )

7、（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 19.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC独立B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立20.对于任意两事件 A和 B，与 A B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.21.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互

8、独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立22.对于任意两事件 A和 B( )（分数：2.00）A.若 AB，则 A，B 一定独立B.若 AB，则 A，B 有可能独立C.若 AB=，则 A，B 一定独立D.若 AB=，则 A，B 一定不独立23.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1一 p) 2 B.6p(1一 p) 2 C.3p 2 (1一 p) 2 D.6p 2 (1一 p) 2 24.设事件 A与

9、事件 B互不相容，则( )（分数：2.00）A.B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=1一 P(B)D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)25.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A生产的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_26.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_27.设两两相互独立的三事件 A，B 和 C满足条件：ABC=，P(A

10、)=P(B)=P(C) 且已知 P(A B C)= （分数：2.00）填空项 1:_28.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为（分数：2.00）填空项 1:_29.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于（分数：2.00）填空项 1:_30.设 10件产品有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_31.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_32.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向

11、盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7个正品的概率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_33.统计资料表明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30名男士”的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_34.口袋中有 n个球，从中取出一个再放入一个白球，如此交换进行 n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第 n+1次从袋中取出一个白球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_35.已知随机变量 X服从参数为的指数分布，则概率（分数：2.00）填空项 1:_36.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正

12、反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：8.00)37.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_38.已知 P(A)=05，P(B)=07，则(I)在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_39.袋中有 a个白球与 b个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率（分数：2.00）_40.证明：如果 P(A|B)= （分数：2.00）_考

13、研数学三（概率论与数理统计）-试卷 27答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：48.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于不可能事件与任何一个事件 A都相互不相容，即 A=，而3.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（分数：2.00）A.0P(A B)1B.0P(B)1 C.0P(AB)1D.解析：解析：因 A、B 为对立事件，即 A B=，AB=，所以 P(AB)=0，

14、4.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：5.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即解析：解析：如果 A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A 2 B，A n B亦两两互不相容，且因故应用加法与乘法两个公

15、式可得出全概率公式，即 6.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 B k 表示三枚硬币中出现正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意 7.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立 C.A与 C独立D.BC 与 A独立解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式有

16、 P(BC)=P()=0，P(BC)=P()=1 由于 P(A)P(B)=8.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1 C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(A B)解析：解析：由题设条件可知9.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B | A)=1不等价于( )（分数：2.00）A.P(AB)=0B.P(BA)=0 C.P(AB)=P(A)D.P(A B)=P(B)解析：解析：，然而 P(B一 A)=P(B)一 P(AB)，所以选项 B正确容易验证其余三个选项与已知条件是等价的

18、不相容B.相容C.不独立D.独立解析：解析：根据得12.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球” 若取后放回，此时记 p 1 =P(A)，p 2 =P(B)；若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，p 4 =P(B) 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 B.p 1 =p 2 p 3 p 4 C.p 1 =p 2 =p 3 p 4 D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 解析：解析：依据取球方式知 p 1 =p 2 =p 3 ，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得 p 3 =p 4 ，

20、掷一枚硬币，第 k次(kn)正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：依据题意，总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面，余下的为 n一 k次反面第 n次必是正面向上，前 n一 1次中有 n一 k次反面，k 一 1次正面(如上图所示)根据伯努利公式，所以概率为15.设 A、B 为任意两个事件，且（分数：2.00）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B) C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)解析：解析：由于16.设 A、B 是两个随机事件，且P(A)1，P(B)0，P(B|A)= （分数：2.00）A.P(A | B)=B.P

21、(A | B)C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：由 P(B|A)= 可得17.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系由 A、B、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C或 C必相互独立，因此选项 A、C、D 均被排除，选项 B正确18.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电以 E表示事件“电

22、炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 解析：解析：由于 T 1 T 2 T 3 T 4 ， 19.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC独立 B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立解析：解析：经观察，即可知由选项 A能够推得所需条件事实上，若 A与 BC独立，则有 P(ABC)=P(A)P(BC) 而由题设知 P(BC)=P(B)

23、P(C)从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)故选 A20.对于任意两事件 A和 B，与 A B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A、B、C 均与 AB=B 等价，当 AB 时，由 AB=B 不能推得选项 D这表明 AB=B 与21.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3

24、，A 4 两两独立解析：解析：显然 P(A 1 )=P(A 2 )= 且 A 1 与 A 2 相互独立 22.对于任意两事件 A和 B( )（分数：2.00）A.若 AB，则 A，B 一定独立B.若 AB，则 A，B 有可能独立 C.若 AB=，则 A，B 一定独立D.若 AB=，则 A，B 一定不独立解析：解析：由 AB 不能推得 P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出 A、B 一定独立，排除选项 A若AB，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项 C、D 也不正确，故正确选项为选项 B23.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此

25、人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1一 p) 2 B.6p(1一 p) 2 C.3p 2 (1一 p) 2 D.6p 2 (1一 p) 2 解析：解析：根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标 =C 3 1 p(1一 p) 2 p=3p 2 (1一 p) 2 ，故正确答案为 C24.设事件 A与事件 B互不相容，则( )（分数：2.00）A.B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=1一 P(B)D. 解析：解析：由于事件 A，B 互不相容，则 P(AB)=0 因为 P(AB)不一定等于 1，A 项错误； B 项：当 P(A)，P

26、(B)不为 0时，B 不成立，B 项排除； C 项：只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立，C 项排除；二、填空题(总题数：12，分数：24.00)25.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 B的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A生产的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的，事件C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=001，P(C|B)=002，根据贝叶斯公式可知26.

27、袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的，事件C=第二个人取出的球是黄色的，则有根据全概率公式可得 P(C)=P(A).P(C|A)+P(B).P(C|B)=27.设两两相互独立的三事件 A，B 和 C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 且已知 P(A B C)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据加

28、法公式有 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AC)一 P(AB)一 P(BC)+P(ABC)，由题A，B 和 C两两独立， ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 所以有 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P 2 (A)；P(ABC)=P()=0，从而 28.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，有即 P(A)1 一 P(B)=1一 P(A)P(B)，可得 P(A)=P(B)29.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于（分数：2.00）填空项 1:_ （

29、正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间 =(x，y)|0x，y1，记A=(x，y)|(x，y)，|xy| 所以 30.设 10件产品有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品事件 B：所取的两件都是不合格品31.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：首先分析事件的关系

30、，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率由于A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0一PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0，则 B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y)0= 从而 P(B)= 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+X0，Y0，故32.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7个正品的概

31、率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A i =“盒内原有 i件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A 0 ，A 1 ，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率 P(A 7 |B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出 P(B)= 33.统计资料表明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30名男士”的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0785）解析：解析：设事件 X表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则 X服从参数为 0

32、05 的几何分布34.口袋中有 n个球，从中取出一个再放入一个白球，如此交换进行 n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第 n+1次从袋中取出一个白球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查事件的设定、全概概率，题中有一个完备事件组：n 次交换后袋中存有白球数X(X=1，2，n)，因此是全概概型设 B为第 n+1次从袋中取白球，A k (k=1，2，n)表示 n次交换后袋中的白球数，则 n次交换后袋中的白球数的期望值为 35.已知随机变量 X服从参数为的指数分布，则概率（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：

33、解析：根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得36.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： PX 2 =4Y=PX 2 =4(8一 X)=PX 2 +4X一 32=0 =P(X+8)(X一 4)=0=PX=4= 三、解答题(总题数：4，分数：8.00)37.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：38.已知 P(A)=05，P(B)=07，则(I)在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多

34、少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由于因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，即 P(AB)minP(A)，P(B) 已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05， P(AB)的最大值是 05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是 AB=A，即 )解析：39.袋中有 a个白球与 b个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A 1 表示第一次取出的是白球，事件 A 2 表示第二次取出的也是白球，事件 B 1 表示第一次取出的是黑球，事件 B 2 表示第二次取出的也是黑球如果两次取出的球颜色相同，则用 A 1 A 2 +B 1 B 2 表示不放回抽取属于条件概率，根据概率运算的加法原理，有 )解析：40.证明：如果 P(A|B)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用互逆事件概率和为 1可证明如果 A与 B是独立的，则满足 P(A|B)=P(A)解析：

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