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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷19及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷19及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 19及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.以 A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 (分数:2.00)A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3.设 A,B 是任意两个随机事件,又知 B (分数:2.00)A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)

    2、P(A)4.设随机事件 A与 B互不相容,且 P(A)0,P(B)0,则下列结论中一定成立的有( )(分数:2.00)A.A,B 为对立事件B.互不相容C.A,B 不独立D.A,B 相互独立5.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)中,要求事件 A与 B必须满足的条件是( )(分数:2.00)A.0P(A)1,B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=1,b=1C.a=1,b=1D.a=0,b=17.设随机变量 X服从正

    3、态分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 P| X一 |应该( )(分数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,f X (x)f Y (y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在 Y=y条件下,X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )(分数:2.00)A.f X (x)B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.9.设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 X与 Y不相关,则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y不相关,则 X与 Y不相关C.若 X

    4、与 Y均服从正态分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价10.对于任意两随机变量 X和 Y,与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )(分数:2.00)A.E(XY)=E(X)E(Y)B.Cov(X,Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)11.设随机变量序列 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立,则根据辛钦大数定律, (分数:2.00)A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 01分布12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X

    5、 n (n2)为取自总体的简单随机样本,则对应的统计量 T 1 = (分数:2.00)A.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 是样本均值,记 S 1 2 = ,则可以作出服从自由度为 n1的 t分布统计量( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)14.将一枚硬币

    6、重复掷五次,则正、反面都至少出现两次的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.假设盒内有 10件产品,其正品数为 0,1,10 个是等可能的,今向盒内放入一件正品,然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品,则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.假设 X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1X。已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_18.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量,则随机变量 Y=X

    7、一 (分数:2.00)填空项 1:_19.设二维随机变量(X,Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布,则P0X (分数:2.00)填空项 1:_20.设随机变量 X服从1,3上的均匀分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_21.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数,则 E(X)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_22.设随机变量 X和 Y均服从 B(1, (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:7,分数:14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(

    8、分数:2.00)_24.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布,写出 X的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。(分数:2.00)_25.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 (分数:2.00)_26.将三封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目,Y 为有信的邮筒数目。求:()(X,Y)的联合概率分布;()Y 的边缘分布;()在 X=0的条件下,关于 Y的条件分布。(分数:2.00)_27.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_28.设随机变量 X和 Y分别服从 ,已知 PX=0,Y=0= (

    9、分数:2.00)_29.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(, 2 )与 N(,2 2 ),其中 是未知参数且 0,设 Z=XY。 ()求 Z的概率密度 f(z; 2 ); ()设 Z 1 ,Z 2 ,Z n 为来自总体 Z的简单随机样本,求 2 的最大似然估计量 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 19答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.以 A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 (分数:2

    10、.00)A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析:解析:设 A 1 =甲种产品畅销,A 2 =乙种产品滞销,则 A=A 1 A 2 。由德摩根定律得 3.设 A,B 是任意两个随机事件,又知 B (分数:2.00)A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A) 解析:解析:由于 B A,则 AB=B,AB=A。当 P(A)0,选项 A不成立;当 P(A)=0 时,条件概率 P(B|A)不存在,选项 C不成立;由于任何事件概率的非负性,

    11、而题设 P(A)P(B),故选项 B不成立。对于选项 D,根据题设条件 0P(A)P(B)1,可知条件概率 P(A|B)存在,并且4.设随机事件 A与 B互不相容,且 P(A)0,P(B)0,则下列结论中一定成立的有( )(分数:2.00)A.A,B 为对立事件B.互不相容C.A,B 不独立 D.A,B 相互独立解析:解析:A,B 互不相容,只说明 AB= ,但并不一定满足 AB=,即互不相容的两个事件不一定是对立事件,又因 AB= 不一定成立,故5.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)中,要求事件 A与 B必须满足的条件是( )(分数:2.00)A.0P

    12、(A)1,B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析:解析:6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=1,b=1 C.a=1,b=1D.a=0,b=1解析:解析: (a+ be x )=a=1。F(x)为连续型随机变量 X的分布,故 F(x)必连续,那么F(x)在 x=0连续。所以 7.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 P| X一 |应该( )(分数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析:解析:若 X一 N(, 2 ),则 N(0,1

    13、),因此 P|X 一 |= 8.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,f X (x)f Y (y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在 Y=y条件下,X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )(分数:2.00)A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.解析:解析:因为(X,Y)服从二维正态分布,且 X与 Y不相关,那么 X与 Y独立,且 f(x,y)=f X (x)f Y (y)。 则 f X,Y (x|y)= 9.设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 X与 Y不相关,则 X 2 与 Y 2 不相

    14、关B.若 X 2 与 Y不相关,则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布,则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价 解析:解析:对于选项 D:设 XB(1,p),YB(1,g),当 X与 Y独立时 X与 Y不相关。反之,当 X与 Y不相关,即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时,可得下列分布律10.对于任意两随机变量 X和 Y,与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )(分数:2.00)A.E(XY)=E(X)E(Y)B.Cov(X,Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)解

    15、析:解析:因为 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件,所以 A与 B等价。由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X,Y)=0,可见选项 B与 D等价。于是,“X和 Y不相关”与选项 A,B 和 D等价。故应选 C。11.设随机变量序列 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立,则根据辛钦大数定律, (分数:2.00)A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 01分布 解析:解析:由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,相互独立的条件之外,还要求 X 1 ,X 2 ,X 2

    16、n ,同分布与期望存在。只有选项 D同时满足后面的两个条件,应选 D。12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X n (n2)为取自总体的简单随机样本,则对应的统计量 T 1 = (分数:2.00)A.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 ) 解析:解析:因为 X服从参数为 (0)的泊松分布,那么 E(X i )=A,D(X i )=,i=1,2,n, 则 13.设

    17、X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 是样本均值,记 S 1 2 = ,则可以作出服从自由度为 n1的 t分布统计量( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由于二、填空题(总题数:9,分数:18.00)14.将一枚硬币重复掷五次,则正、反面都至少出现两次的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:该试验为独立重复试验序列概型,记 A=“正、反面都至少出现两次”,X 为将硬币投掷五次正面出现的次数,则 XB(5, ),而 Y=5X为 5次投掷中反面出现的次数,那么 A=2X5,2y5 =2X5,25

    18、 一 X5 =2X5,0X3 =X=2X=3, 所以 P(A)=PX=2+PX=3=15.假设盒内有 10件产品,其正品数为 0,1,10 个是等可能的,今向盒内放入一件正品,然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品,则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设事件 A i =“盒内原有 i件正品”,i=0,1,10;事件 B=“取出的产品是正品”,所以 A 0 , A 1 ,A 10 构成一个完备事件组,依题意有 所求概率 P(A 7 |B)可直接应用贝叶斯公式: 或先应用全概率公式求出 P(B)= 16.假设 X是在区间(0

    19、,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1X。已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:071)解析:解析:由于 PYk=P1Xk=PX1k=1PX1k=025,所以 PX1k=1025=075。又因 PX029=075,得 1k=029,即 k=071。17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由题设,可知18.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量,则随机变量 Y=X一 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解

    20、析:解析:XE(2),所以其概率密度函数为 f X (x)= 所以 F Y (y)=PY y=PX 所以 f Y (y)=F“ Y (y)= 19.设二维随机变量(X,Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布,则P0X (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域面积为 A= 0 1 (xx 2 )dx= 所以(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)= 于是 20.设随机变量 X服从1,3上的均匀分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:随机

    21、变量 X的密度函数21.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数,则 E(X)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 X i = X=X 1 + X 2 + X m 。 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球,由于是有放回抽取,n 次中各次抽取结果互不影响,所以有 22.设随机变量 X和 Y均服从 B(1, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:根据题意可知 D(X)=D(Y)= ,且 1=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,

    22、Y)= + 2Cov(X,Y) 解得 Cov(X,Y)= 故相关系数三、解答题(总题数:7,分数:14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布,写出 X的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意可知,Xp(02),X 的概率函数为 将 x=0,1,2,3代入函数,可得 p(0)0818 7,p(1)01637, p(2)0016 4,p(3)00011, p(4)0000 1,p(5)0。 X 的概率分布表如下: )解析:25

    23、.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和,所以 P 1 =P 2 =p 3 =p 4 = (P i =pX=i,p j =PY=j) 假如随机变量 X与 Y相互独立,就应该对任意的 i,j 都有 p ij =P i P j ,而本题中 p 14 =0,但是 p 1 与 p 4 均不为零,所以 p 14 P 1 P 4 ,故 X与 Y不是相互独立的。 )解析:26.将三封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目,Y 为有信的邮筒数目。求:()(X,Y)的

    24、联合概率分布;()Y 的边缘分布;()在 X=0的条件下,关于 Y的条件分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据题意,(X,Y)的全部可能取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,2),(3,1),再分别计算相应的概率。 事件X=0,Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式,样本空间所含样本点数为 4 3 =64,有利于事件X=0,Y=1的样本点数为 C 3 1 =3,于是 类似地可以计算出各有关概率值,列表如下: ()从表中看出 Y只取 1,2,3 三个可能值,相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和。于是 Y的

    25、边缘分布为表中最下行值。 在 X=0条件下,关于 Y的条件分布,可以应用上述公式计算出来,列表如下: )解析:27.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知(X,Y)的概率密度, 所以关于 X的边缘概率密度 ()设 F Z (z)=PZz=P2XYz, (1)当 z0 时,F Z (z)=P2XYz=0; (2)当 0z2 时,F Z (z)=P2XYz=z (3)当 z2 时,F Z (z)=P2XYz=1。 所以 F Z (z)的即分布函数为:F Z (z)= 故所求的概率密度为 f Z (z)= )解析:28.设随机变量 X和 Y分别服从 ,已知 PX=0,Y=0= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质,得 )解析:29.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(, 2 )与 N(,2 2 ),其中 是未知参数且 0,设 Z=XY。 ()求 Z的概率密度 f(z; 2 ); ()设 Z 1 ,Z 2 ,Z n 为来自总体 Z的简单随机样本,求 2 的最大似然估计量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为 XN(, 2 ),YN(,2 2 ),且 X与 Y相互独立,故Z=XYN(0,3 2 )。所以,Z 的概率密度为 解得最大似然估计值为 )解析:


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