1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 19及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P（AB）=P（A）+P（B）B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（AB）=P（A）P（B|A）D.P（A|B）
2、P（A）4.设随机事件 A与 B互不相容，且 P（A）0，P（B）0，则下列结论中一定成立的有（ ）（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立D.A，B 相互独立5.在最简单的全概率公式 P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）中，要求事件 A与 B必须满足的条件是（ ）（分数：2.00）A.0P（A）1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件6.连续型随机变量 X的分布函数 F（x）= （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=1C.a=1，b=1D.a=0，b=17.设随机变量 X服从正
3、态分布 N（， 2 ），则随 的增大，概率 P| X一 |应该（ ）（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X （x）f Y （y）分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f X|Y （x|y）为（ ）（分数：2.00）A.f X （x）B.f Y （y）C.f X （x）f Y （y）D.9.设（X，Y）为二维随机变量，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y不相关，则 X与 Y不相关C.若 X
4、与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价10.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是（ ）（分数：2.00）A.E（XY）=E（X）E（Y）B.Cov（X，Y）=0C.D（XY）=D（X）D（Y）D.D（X+Y）=D（X）+D（Y）11.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 01分布12.设总体 X服从参数为 （0）的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X
5、 n （n2）为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T 1 = （分数：2.00）A.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）B.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）C.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）D.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N（0， 2 ）的简单随机样本， 是样本均值，记 S 1 2 = ，则可以作出服从自由度为 n1的 t分布统计量（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.将一枚硬币
6、重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.假设 X是在区间（0，1）内取值的连续型随机变量，而 Y=1X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X
7、一 （分数：2.00）填空项 1:_19.设二维随机变量（X，Y）在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0X （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X服从1，3上的均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E（X）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X和 Y均服从 B（1， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（
8、分数：2.00）_24.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_25.设二维离散型随机变量（X，Y）的联合概率分布为 （分数：2.00）_26.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：（）（X，Y）的联合概率分布；（）Y 的边缘分布；（）在 X=0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_27.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_28.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （
9、分数：2.00）_29.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N（， 2 ）与 N（，2 2 ），其中 是未知参数且 0，设 Z=XY。 （）求 Z的概率密度 f（z； 2 ）； （）设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 19答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2
10、.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析：解析：设 A 1 =甲种产品畅销，A 2 =乙种产品滞销，则 A=A 1 A 2 。由德摩根定律得 3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P（AB）=P（A）+P（B）B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（AB）=P（A）P（B|A）D.P（A|B）P（A） 解析：解析：由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P（A）0，选项 A不成立；当 P（A）=0 时，条件概率 P（B|A）不存在，选项 C不成立；由于任何事件概率的非负性，
11、而题设 P（A）P（B），故选项 B不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P（A）P（B）1，可知条件概率 P（A|B）存在，并且4.设随机事件 A与 B互不相容，且 P（A）0，P（B）0，则下列结论中一定成立的有（ ）（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立 D.A，B 相互独立解析：解析：A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故5.在最简单的全概率公式 P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）中，要求事件 A与 B必须满足的条件是（ ）（分数：2.00）A.0P
12、（A）1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：6.连续型随机变量 X的分布函数 F（x）= （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=1 C.a=1，b=1D.a=0，b=1解析：解析： （a+ be x ）=a=1。F（x）为连续型随机变量 X的分布，故 F（x）必连续，那么F（x）在 x=0连续。所以 7.设随机变量 X服从正态分布 N（， 2 ），则随 的增大，概率 P| X一 |应该（ ）（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 X一 N（， 2 ），则 N（0，1
13、），因此 P|X 一 |= 8.设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X （x）f Y （y）分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f X|Y （x|y）为（ ）（分数：2.00）A.f X （x） B.f Y （y）C.f X （x）f Y （y）D.解析：解析：因为（X，Y）服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，那么 X与 Y独立，且 f（x，y）=f X （x）f Y （y）。 则 f X，Y （x|y）= 9.设（X，Y）为二维随机变量，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相
14、关B.若 X 2 与 Y不相关，则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价 解析：解析：对于选项 D：设 XB（1，p），YB（1，g），当 X与 Y独立时 X与 Y不相关。反之，当 X与 Y不相关，即 E（XY）=E（X）E（Y）=pq 时，可得下列分布律10.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是（ ）（分数：2.00）A.E（XY）=E（X）E（Y）B.Cov（X，Y）=0C.D（XY）=D（X）D（Y） D.D（X+Y）=D（X）+D（Y）解
15、析：解析：因为 Cov（X，Y）=E（XY）E（X）E（Y）=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，所以 A与 B等价。由 D（X+Y）=D（X）+D（Y）的充分必要条件是 Cov（X，Y）=0，可见选项 B与 D等价。于是，“X和 Y不相关”与选项 A，B 和 D等价。故应选 C。11.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 01分布 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之外，还要求 X 1 ，X 2 ，X 2
16、n ，同分布与期望存在。只有选项 D同时满足后面的两个条件，应选 D。12.设总体 X服从参数为 （0）的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n （n2）为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T 1 = （分数：2.00）A.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）B.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）C.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ）D.E（T 1 ）E（T 2 ），D（T 1 ）D（T 2 ） 解析：解析：因为 X服从参数为 （0）的泊松分布，那么 E（X i ）=A，D（X i ）=，i=1，2，n， 则 13.设
17、X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N（0， 2 ）的简单随机样本， 是样本均值，记 S 1 2 = ，则可以作出服从自由度为 n1的 t分布统计量（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 XB（5， ），而 Y=5X为 5次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2y5 =2X5，25
18、 一 X5 =2X5，0X3 =X=2X=3， 所以 P（A）=PX=2+PX=3=15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A i =“盒内原有 i件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A 0 ， A 1 ，A 10 构成一个完备事件组，依题意有 所求概率 P（A 7 |B）可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出 P（B）= 16.假设 X是在区间（0
19、，1）内取值的连续型随机变量，而 Y=1X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：071）解析：解析：由于 PYk=P1Xk=PX1k=1PX1k=025，所以 PX1k=1025=075。又因 PX029=075，得 1k=029，即 k=071。17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题设，可知18.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
20、析：解析：XE（2），所以其概率密度函数为 f X （x）= 所以 F Y （y）=PY y=PX 所以 f Y （y）=F“ Y （y）= 19.设二维随机变量（X，Y）在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域面积为 A= 0 1 （xx 2 ）dx= 所以（X，Y）的概率密度函数为 f（x，y）= 于是 20.设随机变量 X服从1，3上的均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：随机
21、变量 X的密度函数21.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E（X）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 X i = X=X 1 + X 2 + X m 。 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有 22.设随机变量 X和 Y均服从 B（1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意可知 D（X）=D（Y）= ，且 1=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，
22、Y）= + 2Cov（X，Y） 解得 Cov（X，Y）= 故相关系数三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，Xp（02），X 的概率函数为 将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p（0）0818 7，p（1）01637， p（2）0016 4，p（3）00011， p（4）0000 1，p（5）0。 X 的概率分布表如下： )解析：25
23、.设二维离散型随机变量（X，Y）的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 P 1 =P 2 =p 3 =p 4 = （P i =pX=i，p j =PY=j） 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 p ij =P i P j ，而本题中 p 14 =0，但是 p 1 与 p 4 均不为零，所以 p 14 P 1 P 4 ，故 X与 Y不是相互独立的。 )解析：26.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：（）（X，Y）的
24、联合概率分布；（）Y 的边缘分布；（）在 X=0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题意，（X，Y）的全部可能取值为（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2），（3，1），再分别计算相应的概率。 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，有利于事件X=0，Y=1的样本点数为 C 3 1 =3，于是 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： （）从表中看出 Y只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和。于是 Y的
25、边缘分布为表中最下行值。 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：27.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）已知（X，Y）的概率密度， 所以关于 X的边缘概率密度 （）设 F Z （z）=PZz=P2XYz， （1）当 z0 时，F Z （z）=P2XYz=0； （2）当 0z2 时，F Z （z）=P2XYz=z （3）当 z2 时，F Z （z）=P2XYz=1。 所以 F Z （z）的即分布函数为：F Z （z）= 故所求的概率密度为 f Z （z）= )解析：28.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得 )解析：29.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N（， 2 ）与 N（，2 2 ），其中 是未知参数且 0，设 Z=XY。 （）求 Z的概率密度 f（z； 2 ）； （）设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为 XN（， 2 ），YN（，2 2 ），且 X与 Y相互独立，故Z=XYN（0，3 2 ）。所以，Z 的概率密度为 解得最大似然估计值为 )解析：
