1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 17及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是（ ）（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P（AB）=P（A）P（B）D.P（A 一 B）=P（A）3.对于任意两事件 A和 B，若 P（AB）=0，则（ ）（分数：2.00）A.B.C.P（A）P（B）=0D.P（AB）=P（A）4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从袋中各
2、取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 P 1 =P（A），P 2 =P（B）； 若取后不放回，此时记 p 3 =P（A），p 4 =P（B）。 则（ ）（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4B.p 1 =p 2 p 3 p 4C.p 1 =p 2 =p 3 p 4D.p 1 =p 2 =p 3 =p 45.在全概率公式 P（B）= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A n ，A n 两两互不相容，其和包含事件
3、B，即 6.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 （x）和 f 2 （x），分布函数分别为 F 1 （x）和 F 2 （x），则（ ）（分数：2.00）A.f 1 （x）+f 2 （x）必为某一随机变量的概率密度B.F 1 （x）F 2 （x）必为某一随机变量的分布函数C.F 1 （x）+F 2 （x）必为某一随机变量的分布函数D.f 1 （x）f 2 （x）必为某一随机变量的概率密度7.设随机变量 XN（，4 2 ），YN（，5 2 ）；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则（ ）（分数：2.00）A.p 1 =p 2B.p 1
4、 p 2C.p 1 p 2D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小8.已知随机变量（X，Y）在区域 D=（x，y）|1 x 1，1 y1上服从均匀分布，则（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（ ）（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.（X，Y）定服从正态分布D.（X，Y）未必服从正态分布10.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E（Y）=（ ）（分数：2.00）A.1B.1+e 1C.1e 1D.e 111.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机
5、变量 U与 V必然（ ）（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零12.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 （0）的泊松分布，则当 n时，以（x）为极限的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.13.设总体 X服从正态分布 N（0， 2 ），X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p
6、= 1时，甲、乙胜负概率相同。（分数：2.00）填空项 1:_15.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 y=1e X 的分布函数为 F Y （y），则 （分数：2.00）填空项 1:_18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 01分布：PX i =1=p，PX i =0=1p（i=1，2，3，4，0p1），已知二阶行列式 的值大于零的概率等
7、于 （分数：2.00）填空项 1:_19.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N（0， （分数：2.00）填空项 1:_20.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E（X 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X的概率密度函数为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.0
8、0)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（）两件都是正品；（）两件都是次品；（）一件是正品，一件是次品；（）第二次取出的是次品。（分数：2.00）_26.设有四个编号分别为 1，2，3；4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。（）求 X的分布律；（）若当 X=k（k=1，2，3，4）时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_27.设随机变量 X （分数：2.00）_28.设二维随机变量（X，Y）
9、的联合概率密度为 （分数：2.00）_29.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_30.假设二维随机变量（X，Y）在矩形区域 G=（x，y）|0x2，0y1上服从均匀分布，记（分数：2.00）_31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 17答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是（ ）（分数：2.00）A.不相容B.
10、相容C.P（AB）=P（A）P（B）D.P（A 一 B）=P（A） 解析：解析：因为 AB= ，所以 AB=AAB=A =A，从而 P（AB）=P（A），故选项 D正确。对于选项 A、B 可举反例排除，如取 =l，2，3，A=1，B=2，则 AB=3.对于任意两事件 A和 B，若 P（AB）=0，则（ ）（分数：2.00）A.B.C.P（A）P（B）=0D.P（AB）=P（A） 解析：解析：因为 P（AB）=P（A）P（AB）=P（A）。故应选 D。不难证明选项 A、B、C 不成立。设XN（0，1），A=X0，B=X0，则 P（AB=0， P（A）P（B）0 且 从而 A项和 C项不成立。若
11、A和 B互为对立事件，则4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 P 1 =P（A），P 2 =P（B）； 若取后不放回，此时记 p 3 =P（A），p 4 =P（B）。 则（ ）（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4B.p 1 =p 2 p 3 p 4C.p 1 =p 2 =p 3 p 4D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 解析：解析：依据取球方式知 p 1 =p 2 =p 3 ，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得 p 3 =p 4 ，所以正确答案是 D。5.在全概率公
12、式 P（B）= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A n ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 解析：解析：如果 A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A 2 B，A n B亦两两互不相容，且因 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 6.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 （x）和 f 2 （x），分布函数分别为 F 1 （x）和 F 2 （x），则（ ）（分数：2.00）
13、A.f 1 （x）+f 2 （x）必为某一随机变量的概率密度B.F 1 （x）F 2 （x）必为某一随机变量的分布函数 C.F 1 （x）+F 2 （x）必为某一随机变量的分布函数D.f 1 （x）f 2 （x）必为某一随机变量的概率密度解析：解析：由题设条件，有 F 1 （x）F 2 （x）=PX 1 xPX 2 x =PX 1 x，X 2 x（因 X 1 与 X 2 相互独立）。 令 X=maxX 1 ，X 2 ，并考虑到 PX 1 x，X 2 x=P max（X 1 ，X 2 ）x，可知，F 1 （x）F 2 （x）必为随机变量 X的分布函数，即 F X （x）=PXx。 故选项 B正确
14、。7.设随机变量 XN（，4 2 ），YN（，5 2 ）；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则（ ）（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2C.p 1 p 2D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析：P 1 =PX4= =（一 1）=1 一 （1）， p 2 =Py+5=1 一 PY+5=1一 8.已知随机变量（X，Y）在区域 D=（x，y）|1 x 1，1 y1上服从均匀分布，则（ ）（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题设知（X，Y）的概率密度函数为9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（ ）（分数：2.00）A.X+
15、Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.（X，Y）定服从正态分布D.（X，Y）未必服从正态分布 解析：解析：选项 A不成立，例如，若 Y=X，则 X+Y=0不服从正态分布。选项 C不成立，（X，Y）不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X和Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故（X，Y）未必服从正态分布。10.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E（Y）=（ ）（分数：2.00）
16、A.1B.1+e 1 C.1e 1D.e 1解析：解析：随机变量 X的密度函数为 f（x）= 11.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然（ ）（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：因为 Cov（U，V）=E（UV）E（U）E（V） =E（X 2 Y 2 ）E（XY）E（X + Y） =E（X 2 ）E（Y 2 ）E 2 （X）+E 2 （Y） =D（X）D（Y）=0。 则 12.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 （0）的泊松分布，则当 n时，以（x）为极限的是（ ） （分数：2.
17、00）A.B.C. D.解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X 2n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E（X i ）=，D（X i ）=，根据方差与期望的运算法则，有 13.设总体 X服从正态分布 N（0， 2 ），X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2 解析：解析：根据题意，统计量 YF（m，n），所以 4= 解得 i=2，选择 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p
18、与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 p=（1p）05+（1p）0505 解得 p= 。所以只有当 p=15.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p一 1=0，解得 p= 16.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析
19、：解析：根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得17.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 y=1e X 的分布函数为 F Y （y），则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 01分布：PX i =1=p，PX i =0=1p（i=1，2，3，4，0p1），已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 =X 1 X 4 X 2 X 3 ，则 p应使 P0=PX 1 X 4 X 2 X 3
20、0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ，因为 X i 仅能取 1或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3 =X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0，所 以 =PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =0+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =o，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =1，X 3 =0=p 2 （1 一 p） 2 +p 3 （1 一 p） +p 3 （1 一 p）=p 2 （1 一 p 2 ）=p 2 一 p 4 ，则 p 4 一 p 2 + 19.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 N（0， （分数：2.
21、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且服从正态分布 N（0， ），设 Z=X 1 X 2 ，则 ZN（0，1），其概率密度函数为 （z）= D（|X 1 X 2 |）=D（|Z|）=E（|2| 2 ）E 2 （|Z|） =E（Z 2 ）E 2 | Z|=D（Z） + E 2 （2）E 2 | Z| 显然，D（Z）=1，E（Z）=0。 E（|Z|）= + |z|（z） dz 20.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E（X 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项
22、1:_ （正确答案：正确答案：184）解析：解析：根据题意可知，X 服从 n=10，p=04 的二项分布，因此有 E（X）=np=4，D（X）=np（1p）=24， 因此 E（X 2 ）=D（X） +E 2 （X）=184。21.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：Cov（Y，Z）=Cov（Y，2X1）=2Cov（X，Y），D（Z）=D（2X1）=4D（X）。y 与 Z的相关系数 YZ 为 22.设总体 X的概率密度函数为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （
23、正确答案：正确答案：2）解析：解析：显然 E（S 2 ）=D（X），而 D（X）=EXE（X） 2 。 E（X）= + xf（x）dx= + x e |x| dx= xe x dx+ + xe x dx = e （xe x e x | +e （xe x e x ）| =。 D（X）= + （x 一 ） 2 23.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据矩估计，最（极）大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果。事实上，设E（X）= E（X） =2（10） +2（1） 2 =2（1 一 ） 。 令 2（1）= 解得 的矩估计量 由样本值
24、，可得 （51 +3 2 +2 0） = ，故 矩估计值为 1 又样本似然函数 L（）= p（x i ；0） = 2（1） 5 （1） 2 3 2 2 =2 5 9 （1） 11 ，则有 InL=5ln2 + 9ln + 11ln（l） ， 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（）两件都是正品；（）两件都是次品；（）一件是正品，一件是次品；（）第二次取出的是次品。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令事件 A i 表示
25、“第 i次取出正品”，则其对立事件 A i 表示“第 i次取出次品”（i=1，2）。依题意可知： （）A 1 A 2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得： P（A 1 A 2 ） =P（A 1 ）P（A 2 |A 1 ） = （）X 表示“两件都是次品”，且由概率乘法公式可得： )解析：26.设有四个编号分别为 1，2，3；4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。（）求 X的分布律；（）若当 X=k（k=1，2，3，4）时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）随机变量 X可能取值为
26、 1，2，3，4，设事件 A i （i=1，2，3，4）表示第i个盒子是空的，则 PX=4 =P（A 1 A 2 A 3 ） =P（A 1 ）P（A 2 |A 1 ）P（A 3 |A 1 A 2 ） 于是 X的分布律为 （）由于当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，故 PY2|X=1=PY2|X=2 =1,P Y2|X=3= 由全概率公式既得 )解析：27.设随机变量 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0。由此可得 X与 y的联合分布律为因为 PX=1，Y=1PX=1PY=1，所以 X与 Y不独立。 （）由（X，Y）的联合
27、分布律知 所以 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析：28.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据分布函数的性质 + + f（x，y）dxdy= 0 + 0 + Ae 一（2x+3y） dxdy=A ，解得 A=6。 （）将 A=6代入得（X，Y）的联合概率密度为 所以当 x0，y0 时， F（x，y）= 0 + 0 + Ae 一（2x+3y） dxdy=6 0 x e 2x dx 0 y e 3y dy=（1e 2x ）（1e 3y ）， 而当 x和 y取其它值时，F（x，y）=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为 （）当 x0
28、时，X 的边缘密度为 f X （x） =6e （2x+3y） dy=2e 2x ， 当 x0 时，f X （x）=0。因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 （）根据公式 已知 R:x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为 )解析：29.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）已知 X，Y 的概率密度，所以 （4）当 z2 时，F Z （z）=1。 故Z=X+Y的概率密度为 f Z （z）=F“ Z （z）= )解析：30.假设二维随机变量（X，Y）在矩形区域 G=（x，y）|0x2，0y1上服从均匀分布，记（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）已知（U，V）是二维离散型随机变量，只取（0，0），（1，0），（1，1）各值，且 )解析：31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： （）对于总体 X的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，其似然函数为 L（x 1 ，x 2 ，x n ；）=f（x 1 ；）f（x 2 ；）f（x n ；）= 2n （x 1 ，x 2 ，x n ） 3 ln=2n，ln31n（x 1 x 2 x n ）一 得到最大似然估计量为 )解析：
