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    【考研类试卷】考研数学三(概率统计)模拟试卷49及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三(概率统计)模拟试卷49及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率统计)模拟试卷 49 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.若事件 A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立,则下列结论成立的是( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布,则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )(分数:2.00)A.X+YB.XY

    2、C.maxX,YD.minX,Y4.对于随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,下列说法不正确的是( )(分数:2.00)A.若 X 1 ,X 2 ,X n 两两不相关,则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立,则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立同分布,服从 N(0, 2 ),则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n ),则 X 1 ,X 2 ,X n 两两不相关5.设总体 XN(0, 2 ),X 1 ,

    3、X 2 ,X n 为总体 X 的简单随机样本, 与 S 2 分别为样本均值与样本方差,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.从正态总体 XN(0, 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n ,则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)7.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_8.设随机变量 X 和 Y 相互独立,且分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 X 的分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 X 1 ,X 2 ,X 100 相互独立且在区间1

    4、,1上同服从均匀分布,则由中心极限定理 (分数:2.00)填空项 1:_11.设总体 XN(0,8),YN(0,2 2 ),且 X 1 及(Y 1 ,Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.独立投骰子两次,X,Y 表示投出的点数,令 A=X+Y=10),B=XY),则 P(A+B)=_(分数:2.00)_14.设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任取两件,已知两件中有一件不合格,则另一件产品也不合格的概率为_(分数:2.00)_15.将编号为 1,2,

    5、3 的三本书随意排列在书架上,求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率(分数:2.00)_甲、乙两人独立对同一目标进行射击,命中目标概率分别为 60和 50(分数:4.00)(1).甲、乙两人同时向目标射击,求目标被命中的概率;(分数:2.00)_(2).甲、乙两人任选一人,由此人射击,目标已被击中,求是甲击中的概率(分数:2.00)_16.有甲、乙两个口袋,两袋中都有 3 个白球 2 个黑球,现从甲袋中任取一球放人乙袋,再从乙袋中任取4 个球,设 4 个球中的黑球数用 X 表示,求 X 的分布律(分数:2.00)_17.设 (分数:2.00)_18.设随机变量 X 1 ,X 2

    6、,X 3 ,X 4 独立同分布,且 (i=1,2,3,4),求 X= (分数:2.00)_设随机变量 XU(0,1),在 X=x(0x1)下,YU(0,x)(分数:4.00)(1).求 X,Y 的联合密度函数;(分数:2.00)_(2).求 Y 的边缘密度函数(分数:2.00)_设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 XN(1,3 2 ),YN(0,4 2 ),且 X,Y 的相关系数为 (分数:6.00)(1).求 E(Z),D(Z);(分数:2.00)_(2).求 XZ ;(分数:2.00)_(3).X,Z 是否相互独立?为什么?(分数:2.00)_19.设随机变量 X,Y 相互独立且

    7、都服从 N(, 2 )分布,令 Z=maxX,Y,求 E(Z)(分数:2.00)_20.设总体 XN(, 2 ) ,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的样本,令 (分数:2.00)_21.设总体 XU( 1 , 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的样本,求 1 , 2 的矩估计和最大似然估计(分数:2.00)_考研数学三(概率统计)模拟试卷 49 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.若事件 A 1 ,A 2 ,A 3 两

    8、两独立,则下列结论成立的是( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析:解析:由于 A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立,所以 3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布,则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )(分数:2.00)A.X+YB.XYC.maxX,YD.minX,Y 解析:解析:由于 XE(),所以密度函数为 分布函数为 E(XY)=0, 而 maxX,Y的分布函数是 所以 A,B,C 项都不对,选 D 事实上,minX,

    9、Y的分布函数为 P(minX,Yx)=1P(minX,Yx)=1P(Xx,Yx) =1P(Xx)P(yx)=11F(x) 2 = 4.对于随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,下列说法不正确的是( )(分数:2.00)A.若 X 1 ,X 2 ,X n 两两不相关,则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立,则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立同分布,服从 N(0, 2 ),则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D

    10、(X n ),则 X 1 ,X 2 ,X n 两两不相关 解析:解析:若 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立,则 B,C 是正确的,若 X 1 ,X 2 ,X n 两两不相关,则 A 是正确的,选 D5.设总体 XN(0, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 为总体 X 的简单随机样本, 与 S 2 分别为样本均值与样本方差,则( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由 相互独立,于是6.从正态总体 XN(0, 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X n ,则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:因为 二、填空题(总

    11、题数:5,分数:10.00)7.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时,F Y (y)=0; 当 y0 时,F Y (y)=P(X 2 y) 于是 8.设随机变量 X 和 Y 相互独立,且分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu),当 u0 时,F U (u)=0; 当 0u1 时,F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0,Yu)=P(X=0)P(yu)= 当 1u2 时,F

    12、U (u)=P(X=0,Yu)+P(X=1,Yu1) 当 u2 时,F U (u)=1所以 9.设 X 的分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:06)解析:解析:随机变量 X 的分布律为 10.设 X 1 ,X 2 ,X 100 相互独立且在区间1,1上同服从均匀分布,则由中心极限定理 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:08413)解析:解析:令11.设总体 XN(0,8),YN(0,2 2 ),且 X 1 及(Y 1 ,Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解

    13、答题(总题数:13,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:13.独立投骰子两次,X,Y 表示投出的点数,令 A=X+Y=10),B=XY),则 P(A+B)=_(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:解析:P(A)=PX=4,Y=6十 PX=5,Y=5+PX=6,y=4= P(B)=PX=2,Y=1+PX=3,Y=1+PX=3,Y=2+PX=4,Y=3 +PX=4,Y=2+PX=4,Y=1+PX=5,Y=4+PX=5,Y=3) +PX=5,Y=2+PX=5,Y=1+PX=6,Y=5+PX=6,Y=4) +PX=6,Y=3+PX=6,Y=2+P

    14、X=6,Y=1= P(AB)=PX=6,Y=4= 则 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=14.设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任取两件,已知两件中有一件不合格,则另一件产品也不合格的概率为_(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:解析:令 A=第一件产品合格,B=第二件产品合格),则所求概率为15.将编号为 1,2,3 的三本书随意排列在书架上,求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A i =第 i 本书正好在第 i 个位置, B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同,则 B=A 1 +A 2 +

    15、A 3 ,且 故 P(B)=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )P(A 1 A 2 )P(A 1 A 3 )P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) )解析:甲、乙两人独立对同一目标进行射击,命中目标概率分别为 60和 50(分数:4.00)(1).甲、乙两人同时向目标射击,求目标被命中的概率;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=甲击中目标,B=乙击中目标,C=击中目标,则 C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B) =06+050605=08)解析:(2).甲、乙两人任选一人,由此人射击,目标已

    16、被击中,求是甲击中的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A 1 =选中甲,A 2 =选中乙,B=目标被击中,则 P(A 1 )=P(A 2 )= P(BA 1 )=06,P(BA 2 )=05, )解析:16.有甲、乙两个口袋,两袋中都有 3 个白球 2 个黑球,现从甲袋中任取一球放人乙袋,再从乙袋中任取4 个球,设 4 个球中的黑球数用 X 表示,求 X 的分布律(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=(从甲袋中取出黑球),X 的可能取值为 0,1,2,3,令X=i=B i (i=0,1,2,3),则 P(X=0)=P(B 0 )P(A)P(B 0 A)+ P(X=1

    17、)=P(B 1 )P(A)P(B 1 A)+ P(X=2)=P(B 2 )P(A)P(B 2 A)+ P(X=3)=P(B 3 )P(A)P(B 3 A)+ 所以 X 的分布律为 )解析:17.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 =(1)(2)(Y)=0, 得矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =2, 3 =Y 若 Y1,2 时,矩阵 A 一定可以对角化; 当 Y=1 时, =1 为二重特征值, 因为r(EA)=2,所以 A 不可对角化; 当 Y=2 时, =2 为二重特征值, 因为 r(2EA)=1,所以 A可对角化,故 A 可对角化的概率为 P(Y1,2)+P(Y=2)=P

    18、(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= )解析:18.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 独立同分布,且 (i=1,2,3,4),求 X= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X= =X 1 X 4 X 2 X 3 ,令 U=X 1 X 4 ,V=X 2 X 3 ,且 U,V 独立同分布P(U=1)=P(X 1 =1,X 4 =1)=016,P(U=0)=084,X 的可能取值为1,0,1 P(X=1)=P(U=0,V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0134 4, P(X=1)=P(U=1,V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01 34 4,

    19、 P(X=0)=120134 4=0731 2,于是 )解析:设随机变量 XU(0,1),在 X=x(0x1)下,YU(0,x)(分数:4.00)(1).求 X,Y 的联合密度函数;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 XU(0,1),所以 又在 X=x(0x1)下,YU(0,x),所以 故 f(x,y)=f X (x)f YX (yx)= )解析:(2).求 Y 的边缘密度函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f Y (y)= + f(x,y)如,当 y0 或 y1 时,f Y (y)=0; 当 0y1 时,)解析:设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 XN(1,3

    20、 2 ),YN(0,4 2 ),且 X,Y 的相关系数为 (分数:6.00)(1).求 E(Z),D(Z);(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).求 XZ ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(3).X,Z 是否相互独立?为什么?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为(X,Y)服从二维正态分布,所以 Z 服从正态分布,同时 X 也服从正态分布,又 X,Z 不相关,所以 X,Z 相互独立)解析:19.设随机变量 X,Y 相互独立且都服从 N(, 2 )分布,令 Z=maxX,Y,求 E(Z)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X,Y 都

    21、服从 N(, 2 )分布,所以 且 U,V 相互独立,则X=U+,Y=V+,故 Z=maxX,Y=maxU,V+, 由 U,V 相互独立得(U,V)的联合密度函数为 (u,v+) 于是 E(Z)=EmaxU,V+ 而 Emax(U,V)= + du + max(u,v)f(u,v)dv )解析:20.设总体 XN(, 2 ) ,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的样本,令 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X 1 ,X 2 ,X n 独立同分布,所以有 E(X 1 T)=E(X 2 T)=E(X n T)=E(X 1 T) )解析:21.设总体 XU( 1 , 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的样本,求 1 , 2 的矩估计和最大似然估计(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: f(x; 1 , 2 )= L(x 1 ,x 2 ,x n ; 1 , 2 )= lnL( 1 , 2 )=nln( 2 1 ), 因为 lnL( 1 , 2 )是 1 的单调增函数,是 2 的单调减函数,所以 )解析:


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