1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 48 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与3.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A 3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2
2、，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立4.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (z)F Y (z)C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y
3、 (z)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+YC.X2YD.Y2X7.设随机变量 XU1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosx 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.D.18.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n)B.C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设每次试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.
4、00）填空项 1:_11.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_12.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体X，Y 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 P(A)=06， （分数：2.00）_16.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发
5、生一次的概率为 （分数：2.00）_17.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_18.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)1（分数：2.00）_设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表（分数：4.00）(1).求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；（分数：2.00）_(2).设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_19.设随机变量
6、 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_设 D=(x，y)0x1，0y1)，变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，令 （分数：4.00）(1).令 U=X+Z，求 U 的分布函数；（分数：2.00）_(2).判断 X，Z 是否独立（分数：2.00）_21.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_(2).
7、YZ （分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i （分数：2.00）_23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_24.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 48 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相
8、容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与 B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，所以 P(AC)=P(A)PC，P(BC)=P(B)PC，且 AB= 而 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)，所以3.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A 3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互
9、独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析： 4.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(minX，2)y)=1P(minX，2y) =1P(Xy，2y)=1P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1P(Xy)=P(Xy)=F X (y)， 而 所以当0y2 时，F Y (y)=1e y ； 当 y0 时，F Y (y)=0，即 5.设随机变量 X，Y 相互独立
10、，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (z)F Y (z) C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选B6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+Y C.X2YD.Y2X解析：解析：Z=YXN(1，1)，因为 XyN(1，1)，X+
11、yN(1，1)，7.设随机变量 XU1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosx 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C.D.1解析：解析：当 PY=aX+b)=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b)=1(a0)时， XY =1因为arcsinx+arccosx= 8.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n) B.C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)解析：解析：由 Xt(n)，得 其中 UN(0，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，于是 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设每次试
12、验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 PX=k=(1p) k1 p(k=1，2，) 得 10.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 F Z (z)=P(Zz)=1P(Zz)=1P(minX，Yz)=1P(Xz，Yz) =1P(Xz)P(Yz)=11P(Xz)1P(Yz) =11F X (z)1F Y (z)， 于是 P(0Z1)=F Z (
13、1)F Z (0)=1 11.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(x)= 0 1 xf(x)dx= 0 1 6x 2 (1x)dx= E(X 2 )= 0 1 x 2 f(x)dx= 0 1 6x 3 (1x)dx= 则 于是 PXE(X)2D(X) 12.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X i 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 其中 由切比雪夫不等式，有 13.设总
14、体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体X，Y 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X 1 +X 2 +X 9 N(0，81)，得 (X 1 +X 2 +X 9 )N(0，1)因为 Y 1 ，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 1 3) 2 +(Y 2 3) 2 +(Y 9 3) 2 2 (9)， 即 (Y 1 2 +Y 9 2 ) 2 (9)，因此 三、解答题(总题数：14，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：
15、15.设 P(A)=06， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由 =P(AB)=P(A)P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=04， 再由 =P(BA)=P(B)P(AB)=03 得 P(B)=07， 所以16.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次)，则 =1(1P) 2 ，所以有 即一次试验中 A 发生的概率为 17.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙
16、数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =甲数为 5，A 2 =甲数为 10，A 3 =甲数为 15，B=甲数大于乙数，P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= P(BA 3 )=1， 则 P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )+P(A 3 )P(BA 3 )= )解析：18.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB )解析：设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为
17、3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表（分数：4.00）(1).求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =所抽取的报名表为第 i 个地区的(i=1，2，3)， B j =第 j 次取的报名表为男生报名表(j=1，2)，则 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= )解析：(2).设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：
18、2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 Y 的分布函数为 F Y (y)=P(Yy)=P(1e 2x y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0； 当 y1 时，F Y (y)=P(X+)=1； 当 0y1 时，F Y (y)=P(1e 2x y)= 即 )解析：20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(X+2Yu) p(X=1)P(X+2YuX=1)+P(X=2)P(X+2YuX=2) 当 u1 时，F U (u)=0； 当 1u2 时， 当 u2 时， 故 )
19、解析：设 D=(x，y)0x1，0y1)，变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，令 （分数：4.00）(1).令 U=X+Z，求 U 的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：随机变量(X，Y)的联合密度为 U 的分布函数为 F(x)=PUx)， 当 x0 时，F(x)=0； 当 x2 时，F(x)=1； 当 0x1 时，F(x)=X+Zx)=PZ=0，Xx)=PXY，Xx = 0 x dx x 1 dy= 0 x (1x)dx= 当 1x2 时，F(x)=PZ=0，Xx)+PZ=1，Xx1) =PXY，X1+PXY，Xx1 故 U 的分布函数为 )解析：(2).判断 X，Z
20、是否独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(X，Z)的分布函数为 F(x，z)， 因为 )解析：21.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=XY，因为 X，Y 相互独立，且 E(Z 2 )=E(U 2 )=D(U)+E(U) 2 =1=D(Z)=E(Z 2 )E(Z) 2 = )解析：设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 )解析：(2). YZ （分数：
21、2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n)解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 因为 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，所以 )解析：23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且它们相互独立，所以 相互独立，所以由 t 分布的定义，有)解析：24.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n )= 1nL()=nln+nlna+ 得参数 的极大似然估计量为 )解析：
