1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 41 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.14.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A.B.1 一 eC.eD.2e5.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一
2、XA.1F(一 a，y)B.1F(一 a，y=0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0)D.F(+，y)一 F(一 a，y)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填
3、空项 1:_11.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 P(minX，Y=0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：2.00）填空项 1:_15.随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_16.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到
4、红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_19.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_20.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：2.00）_(2).X，Y 是否独立?（分数
5、：2.00）_设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_(2).求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_(2).第一次抽取后不放回（分数：2.00）_设(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布（
6、分数：4.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).Z=2XY 的密度函数（分数：2.00）_随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求(X，Y)落在区域 （分数：2.00）_21.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度
7、（分数：2.00）_22.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2XY+3 的密度（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 41 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的充要条件为 =4X 2 一 36O X 2 9P(X 2 9)=1 一 P(X
8、 2 3.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由题意得 P(X 1 =一 1，X 2 =一 1)=P(X 1 =一 1，X 2 =1) =P(X 1 =1，X 2 =一 1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 P(X 1 =一 1，X 2 =0)=P(X 1 =一 1)= P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)= P(X 1 =0，X 2 =一 1)=P(X 2 =一 1) P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =)= 4.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A. B.1
9、一 eC.eD.2e解析：解析：由 XU(0，2)，YE(1)得 再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为5.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 XA.1F(一 a，y)B.1F(一 a，y=0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0) D.F(+，y)一 F(一 a，y)解析：解析：P(一 Xa，Yy)=P(X一 a，Yy) 因为 P(Yy)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)， 所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy) =F(+，y 一 0)一 F(一 a，y0)，选(C)6.设随机变量 X，Y 相互独立
10、，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1，1)，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 的可能取值为 2，3，6， ）解析：8.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(9X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以随机变量 Y 的密度函数为 ）解析：9.设随机变量
11、 X 的概率密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*所以*）解析：10.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X 的分布律为 Y 的可能取值为 1，2，10，于是 Y 的分布函数为 ）解析：11.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：P(X+Y=一 2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+
12、P(X=2)P(Y=0) ）解析：12.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 P(minX，Y=0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 P(minXY=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 P) n 一(1 一 p) 2n）解析：13.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*得 a=6）填空项 1:_ （正确答案：于是*）解析：14.设随机变量 XN(0， 2
13、)，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令X1=A，Y一 2=B， 且 则）解析：15.随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：16.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：显然*则*）解析：三、解答题(总题数：12，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数
14、 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 因此 )解析：20.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以 )解析：设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y
15、)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， P(X=一 1，Y=0)一 P(X=一 1)= P(X=1，Y=0)=P(X=1)= P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y)的联合分布律为： )解析：(2).X，Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= )解析：设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人
16、数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=发车时有 n 个乘客)，B=中途有 m 个人下车，则 P(B|A)=P(Y=m|X=n)=C n m p m (1 一 p) n-m (0mn)解析：(2).求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A) =C n m p m (1 一 p) n-m )解析：袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：
17、4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) )解析：(2).第一次抽取后不放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布（分数：4.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的联合密度函数为 则 )解析：(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 )解析：设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边
18、缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时， 当 x0 或 xI 时，f X (x)=0，所以 同理 )解析：(2).Z=2XY 的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 022 时， )解析：随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求(X，Y)落在区域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令区域 D： (X，Y)落在区域 D 内的概率为 )解析：21.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数
19、为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 T=X+Y， 由已知条件得 X，Y 的密度为 当 t0 时，F T (t)=0；当 f0 时 )解析：22.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2XY+3 的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(y)+3=5，D(Z)=4 D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为)解析：
