1、考研数学三(概率统计)-试卷 7 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1 =掷第一次出现正面,A 2 =掷第二次出现正面,A 3 =正、反面各出现一次,A 4 =正面出现两次,则事件(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.A 2 ,A 3 ,A 4 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立D.A 2 ,A 3 ,A 1 两两独立二、填空题(总题数:3,分数:6.00)3.设 X 1 ,X
2、 2 ,X 3 ,X 4 是来自正态总体 N(0,2 2 )的简单随机样本,X=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 。则当 a= 1,b= 2 时,统计量 X 服从 2 分布,其自由度为 3。(分数:2.00)填空项 1:_4.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_5.设 X 1 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其中参数 , 2 未知。记 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:25,分数:50.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_7.设二维随机变量(X,Y)的概
3、率密度为 (分数:2.00)_8.已知随机变量(X,Y)的联合密度为 (分数:2.00)_9.设作一次实验的费用为 1000 元,如果实验失败,则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验。设各次实验相互独立,成功的概率均为 02,并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。(分数:2.00)_10.设 X 1 ,X 2 ,X n (n2)为来自总体 N(0, 2 )的简单随机样本,其样本均值为 。记 Y i =X i 一 (分数:2.00)_11.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_12.设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知,X 1 ,X 2
4、 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ; ()判断 (分数:2.00)_13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是总体 N(, 2 )的简单随机样本,记 (分数:2.00)_14.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_15.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_16.设总体 XB(m,p),其中 m 已知,p 未知,从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n ,试求 p 的矩估计和最大似然估计。(分数:2.00)_17.设总体的密度为: (分数:2.00)_18.设总体的密度为: (分数:2.00)_19.设总体 X 在区间( 一 p,
5、+)上服从均匀分布,从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n ,求 和(均为未知参数)的矩估计,并问它们是否有一致性。(分数:2.00)_20.设总体 X 在区间0,上服从均匀分布,其中 0 为未知参数,而 X 1 ,X n 为从 X 中抽得的简单样本,试求 的矩估计和最大似然估计,并问它们是否是 的无偏估计?(分数:2.00)_21.设 Y=lnXN(, 2 ),而 X 1 ,X n 为取自总体 X 的简单样本,试求 EX 的最大似然估计。(分数:2.00)_22.从均值为 方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本,样本均值分别记为 ,试证对任意满足 a+b
6、=1 的常数 a、b, (分数:2.00)_23.总体 XN(2, 2 ),从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n 试推导 2 的置信度为 1 一 的置信区间。若样本值为 18,21,20,19,22,18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)=14449, 0975 2 (6)=1237,下分位数。)(分数:2.00)_24.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响,独立地选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验,得收获量如下表: (分数:2.00)_25.某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为:65,58,7,65,7,63,56,61,5设干燥时
7、间 XN(, 2 ),求 的置信度为 095 的置信区间。在(1)=06(小时);(2) 未知。两种情况下作( 0975 =196,t 0975 (8)=23060,下侧分位数)(分数:2.00)_26.随机地取某种炮弹 9 发做试验,得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮 1:3 速度的标准差的置信度为 095 的置信区闻。 00255 2 (8)=2180, 0975 2 (8)=17535,下侧分位数。(分数:2.00)_27.一个罐子里装有黑球和白球,黑、白球之比为 R:1,现有放回地一个接一个地抽球,直到抽到黑球为止,记 X 为所抽的白球数。这样做了
8、n 次以后,我们获得一组样本:X 1 ,X 2 ,X n 。基于此,求R 的最大似然估计。(分数:2.00)_28.用过去的铸造方法,零件强度的标准差是 16kgmm 2 。为了降低成本,改变了铸造方法,测得用新方法铸出的零件强度如下: 52,53,53,54,54,54,54,51,52 设零件强度服从正态分布,取显著性水平 =005,问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? ( 0975 2 (8)=17535, 0025 2 (8)=2180,下侧分位数)(分数:2.00)_29.一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为():325,326,324,325设测定值总体服从正态分布,问在 =
9、001 下能否接受假设:这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)=58409,下侧分位数)(分数:2.00)_30.用两种方案进行某种产品的销售,得部分销售量为: A 方案:140,138,143,142,144,139; B 方案:135,140,142,136,135,140 设两种方案下的销售量均服从正态分布,试在 =005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)=2228,F 0975 (5,5)=715,下侧分位数。提示:先检验方差相等)。(分数:2.00)_考研数学三(概率统计)-试卷 7 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选
10、择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1 =掷第一次出现正面,A 2 =掷第二次出现正面,A 3 =正、反面各出现一次,A 4 =正面出现两次,则事件(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.A 2 ,A 3 ,A 4 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立 D.A 2 ,A 3 ,A 1 两两独立解析:解析:(本题的硬币应当设是“均匀”的)。由题意易见: 二、填空题(总题数:3,分数:6.00)3.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4
11、 是来自正态总体 N(0,2 2 )的简单随机样本,X=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 。则当 a= 1,b= 2 时,统计量 X 服从 2 分布,其自由度为 3。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:E(X 1 一 2X 2 )=EX 1 2EX 2 =0 D(X 1 一 2X 2 )=DX 1 +4DX 2 =4+44=20 E(3X 3 4X 4 )=3EX 3 4EX 4 =3040=0 D(3X 3 4X 4 )=9DX 3 +16DX 4 =9X 4 +164=100 4.设总体 X 的概率密度为 (分数:2
12、.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析: 5.设 X 1 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其中参数 , 2 未知。记 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:25,分数:50.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:关于 X 的边缘概率密度为: )解析:解析:本题主要考查概率密度的性质和条件概率密度。解中积分 类似),这里积分变量为 y,积分时视 x 为“常数”,还要求学生
13、对一维正态分布的概率密度的形式上去凑)及积分 很熟悉,如果想用牛顿一莱布尼兹公式即找原函数的经典方法(或用二重无穷积分、极坐标的方法即“概率积分”的方法)去处理这些积分,当然,求 A 时用8.已知随机变量(X,Y)的联合密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:9.设作一次实验的费用为 1000 元,如果实验失败,则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验。设各次实验相互独立,成功的概率均为 02,并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设需进行 X 次试验,则所需费用为 Y=1000+300(X 一
14、 1),而 P(X=k)=08 k-1 2,k=1,2, )解析:10.设 X 1 ,X 2 ,X n (n2)为来自总体 N(0, 2 )的简单随机样本,其样本均值为 。记 Y i =X i 一 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:解析:本题其实主要考查的是概率论中方差、协方差、数学期望的计算,只是用了数理统计中总体、样本、样本均值以及无偏估计等概念。请注意 Y 1 与 Y n 等均没有“独立”或“不相关”的结论,切勿有 ,似不如正文中的解法简洁。而()中用了()、()的结论,否则可这样求:E(Y 1 ) 2 =E(X 1 一所做。由于 EY 1 =EY n =0,()中做法
15、也可: 2 =Ec(Y 1 +Y n ) 2 =cE(Y 1 +Y n ) 2 =cD(Y 1 +Y n )=cDY 1 +DY n +2cov(Y 1 ,Y n )= 11.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 而由题意,x 1 ,x 2 ,x n 中有 N 个的值在区间(0,1)内,故知 )解析:12.设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ; ()判断 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是总体
16、 N(, 2 )的简单随机样本,记 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设总体 X 的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.设总体 XB(m,p),其中 m 已知,p 未知,从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n ,试求 p 的矩估计和最大似然估计。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.设总体的密度为: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设总体的密度为: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.
17、设总体 X 在区间( 一 p,+)上服从均匀分布,从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n ,求 和(均为未知参数)的矩估计,并问它们是否有一致性。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设总体 X 在区间0,上服从均匀分布,其中 0 为未知参数,而 X 1 ,X n 为从 X 中抽得的简单样本,试求 的矩估计和最大似然估计,并问它们是否是 的无偏估计?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 Y=lnXN(, 2 ),而 X 1 ,X n 为取自总体 X 的简单样本,试求 EX 的最大似然估计。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.从
18、均值为 方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本,样本均值分别记为 ,试证对任意满足 a+b=1 的常数 a、b, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.总体 XN(2, 2 ),从 X 中抽得简单样本 X 1 ,X n 试推导 2 的置信度为 1 一 的置信区间。若样本值为 18,21,20,19,22,18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)=14449, 0975 2 (6)=1237,下分位数。)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响,独立地选
19、了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验,得收获量如下表: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y,XN( 1 , 2 ),YN( 2 , 2 ),本题中 n=6, =33,S x 2 = )解析:25.某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为:65,58,7,65,7,63,56,61,5设干燥时间 XN(, 2 ),求 的置信度为 095 的置信区间。在(1)=06(小时);(2) 未知。两种情况下作( 0975 =196,t 0975 (8)=23060,下侧分位数)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.随机
20、地取某种炮弹 9 发做试验,得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮 1:3 速度的标准差的置信度为 095 的置信区闻。 00255 2 (8)=2180, 0975 2 (8)=17535,下侧分位数。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.一个罐子里装有黑球和白球,黑、白球之比为 R:1,现有放回地一个接一个地抽球,直到抽到黑球为止,记 X 为所抽的白球数。这样做了 n 次以后,我们获得一组样本:X 1 ,X 2 ,X n 。基于此,求R 的最大似然估计。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.用过去的铸造方法,零件强度的
21、标准差是 16kgmm 2 。为了降低成本,改变了铸造方法,测得用新方法铸出的零件强度如下: 52,53,53,54,54,54,54,51,52 设零件强度服从正态分布,取显著性水平 =005,问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? ( 0975 2 (8)=17535, 0025 2 (8)=2180,下侧分位数)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设零件强度为总体 X,则 XN(, 2 ),检验 H 0 : 2 =16 2 。拒绝域为 2 = )解析:29.一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为():325,326,324,325设测定值总体服从正态分布,问在 =001 下能否接
22、受假设:这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)=58409,下侧分位数)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设这批矿砂的镍含量为总体 X,则 XN(, 2 ),检验 H 0 := 0 。这儿 0 =326,n=4,拒绝域为: )解析:30.用两种方案进行某种产品的销售,得部分销售量为: A 方案:140,138,143,142,144,139; B 方案:135,140,142,136,135,140 设两种方案下的销售量均服从正态分布,试在 =005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)=2228,F 0975 (5,5)=715,下侧分位数。提示:先检验方差相等)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X 和 Y,则 XN( 1 , 1 2 ),YN( 2 , 2 2 )。 先检验 H 0 : 1 2 = 2 2 , )解析: