1、考研数学三（概率统计）-试卷 7 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 1 两两独立二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设 X 1 ，X
2、 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，X=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 。则当 a= 1，b= 2 时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_4.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 X 1 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 ， 2 未知。记 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.设二维随机变量(X，Y)的概
3、率密度为 （分数：2.00）_8.已知随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）_9.设作一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验。设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。（分数：2.00）_10.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，其样本均值为 。记 Y i =X i 一 （分数：2.00）_11.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_12.设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1 ，X 2
4、 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ； ()判断 （分数：2.00）_13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的简单随机样本，记 （分数：2.00）_14.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_15.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_16.设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 p 的矩估计和最大似然估计。（分数：2.00）_17.设总体的密度为： （分数：2.00）_18.设总体的密度为： （分数：2.00）_19.设总体 X 在区间( 一 p，
5、+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，求 和(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性。（分数：2.00）_20.设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而 X 1 ，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?（分数：2.00）_21.设 Y=lnXN(， 2 )，而 X 1 ，X n 为取自总体 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计。（分数：2.00）_22.从均值为 方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本，样本均值分别记为 ，试证对任意满足 a+b
6、=1 的常数 a、b， （分数：2.00）_23.总体 XN(2， 2 )，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n 试推导 2 的置信度为 1 一 的置信区间。若样本值为 18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)=14449， 0975 2 (6)=1237，下分位数。)（分数：2.00）_24.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响，独立地选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表： （分数：2.00）_25.某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时
7、间 XN(， 2 )，求 的置信度为 095 的置信区间。在(1)=06(小时)；(2) 未知。两种情况下作( 0975 =196，t 0975 (8)=23060，下侧分位数)（分数：2.00）_26.随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮 1：3 速度的标准差的置信度为 095 的置信区闻。 00255 2 (8)=2180， 0975 2 (8)=17535，下侧分位数。（分数：2.00）_27.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数。这样做了
8、n 次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 。基于此，求R 的最大似然估计。（分数：2.00）_28.用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16kgmm 2 。为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下： 52，53，53，54，54，54，54，51，52 设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? ( 0975 2 (8)=17535， 0025 2 (8)=2180，下侧分位数)（分数：2.00）_29.一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =
9、001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)（分数：2.00）_30.用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136，135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 =005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)=2228，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数。提示：先检验方差相等)。（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 7 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选
10、择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 1 两两独立解析：解析：(本题的硬币应当设是“均匀”的)。由题意易见： 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4
11、 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，X=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 。则当 a= 1，b= 2 时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：E(X 1 一 2X 2 )=EX 1 2EX 2 =0 D(X 1 一 2X 2 )=DX 1 +4DX 2 =4+44=20 E(3X 3 4X 4 )=3EX 3 4EX 4 =3040=0 D(3X 3 4X 4 )=9DX 3 +16DX 4 =9X 4 +164=100 4.设总体 X 的概率密度为 （分数：2
12、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 5.设 X 1 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 ， 2 未知。记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：25，分数：50.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X 的边缘概率密度为： )解析：解析：本题主要考查概率密度的性质和条件概率密度。解中积分 类似)，这里积分变量为 y，积分时视 x 为“常数”，还要求学生
13、对一维正态分布的概率密度的形式上去凑)及积分 很熟悉，如果想用牛顿一莱布尼兹公式即找原函数的经典方法(或用二重无穷积分、极坐标的方法即“概率积分”的方法)去处理这些积分，当然，求 A 时用8.已知随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设作一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验。设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y=1000+300(X 一
14、 1)，而 P(X=k)=08 k-1 2，k=1，2， )解析：10.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，其样本均值为 。记 Y i =X i 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题其实主要考查的是概率论中方差、协方差、数学期望的计算，只是用了数理统计中总体、样本、样本均值以及无偏估计等概念。请注意 Y 1 与 Y n 等均没有“独立”或“不相关”的结论，切勿有 ，似不如正文中的解法简洁。而()中用了()、()的结论，否则可这样求：E(Y 1 ) 2 =E(X 1 一所做。由于 EY 1 =EY n =0，()中做法
15、也可： 2 =Ec(Y 1 +Y n ) 2 =cE(Y 1 +Y n ) 2 =cD(Y 1 +Y n )=cDY 1 +DY n +2cov(Y 1 ，Y n )= 11.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 而由题意，x 1 ，x 2 ，x n 中有 N 个的值在区间(0，1)内，故知 )解析：12.设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ； ()判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体
16、 N(， 2 )的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 p 的矩估计和最大似然估计。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设总体的密度为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设总体的密度为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.
17、设总体 X 在区间( 一 p，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，求 和(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而 X 1 ，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 Y=lnXN(， 2 )，而 X 1 ，X n 为取自总体 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.从
18、均值为 方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本，样本均值分别记为 ，试证对任意满足 a+b=1 的常数 a、b， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.总体 XN(2， 2 )，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n 试推导 2 的置信度为 1 一 的置信区间。若样本值为 18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)=14449， 0975 2 (6)=1237，下分位数。)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响，独立地选
19、了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )，本题中 n=6， =33，S x 2 = )解析：25.某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2 )，求 的置信度为 095 的置信区间。在(1)=06(小时)；(2) 未知。两种情况下作( 0975 =196，t 0975 (8)=23060，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.随机
20、地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮 1：3 速度的标准差的置信度为 095 的置信区闻。 00255 2 (8)=2180， 0975 2 (8)=17535，下侧分位数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数。这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 。基于此，求R 的最大似然估计。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.用过去的铸造方法，零件强度的
21、标准差是 16kgmm 2 。为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下： 52，53，53，54，54，54，54，51，52 设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? ( 0975 2 (8)=17535， 0025 2 (8)=2180，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设零件强度为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ： 2 =16 2 。拒绝域为 2 = )解析：29.一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接
22、受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ：= 0 。这儿 0 =326，n=4，拒绝域为： )解析：30.用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136，135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 =005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)=2228，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数。提示：先检验方差相等)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X 和 Y，则 XN( 1 ， 1 2 )，YN( 2 ， 2 2 )。 先检验 H 0 : 1 2 = 2 2 ， )解析：
