1、考研数学三（概率统计）-试卷 23 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F 1 (x)与 F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，
2、则 PX 2 +Y 2 1)= （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是随机变量，且 X 1 N(0，1)，X 2 N(0，2 2 )，X 3 N(5，3 2 )，p i =P一 2X i 2)(i=1，2，3)，则（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3B.p 2 p 1 p 3C.p 3 p 1 p 2D.p 1 p 3 p 25.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为 则 PX+Y=2)= （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X 与 Y 独立且 XN(0，1)，yN(1，1)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.
3、对任意两个随机变量 X 和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X 与 Y 独立D.X 与 Y 不独立二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.随机变量 X 的密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.在一长为 l 的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.设 x 的密度为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 与 Y 独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空
4、白处，并填空求 P(X+Y1)= 1。PX+Y1|X0)= 2。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 xy=0，x+y=2 与 y=0 所围成的三角形区域。（分数：4.00）(1).求 X 的概率密度 f X (x)；（分数：2.00）_(2).求条件概率密度 f X|Y (x|y)。（分数：2.00）_13.设(X，Y)是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 ，在给定 X=x(0x1)的条件下 Y 的条件概率密度为 （分数：2.00）
5、_14.设 X 和 Y 独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 （分数：2.00）_15.设区域 D 1 为以(0，0)，(1，1)， 为顶点的四边形，D 2 为以 （分数：2.00）_16.设 X 与 Y 独立同分布，P(X=1)=p(0，1)，P(X=0)=1 一 p，令 （分数：2.00）_17.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PX=min(X，Y，Z)。（分数：2.00）_18.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_19.函数 （分数：2.00）_20.设 xN(0，1)，当给定 X=x 时，Y
6、N(x，1 一 2 )，(01)求(X，Y)的分布以及给定 Y=y 时，X 的条件分布。（分数：2.00）_21.证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；(2)若随机变量 X 与自己独立，则存在 C，使得 P(X=C)=1（分数：2.00）_22.设(X，Y)的分布函数为： （分数：2.00）_23.设 X 的密度为 （分数：2.00）_24.某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10 件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)。设 X 为一天中作记录的次数，写出 X 的分布列。（分数：2.00）_25.
7、设 X 与 Y 独立且 XN(， 2 )，Y 服从区间一 ，上的均匀分布，求 Z=X+Y 的密度 f Z (z)。（分数：2.00）_26.设在时间 t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为 t 的泊松分布。已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率。（分数：2.00）_27.甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中，共交换 3 次。记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列。（分数：2.00）_28.设 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Y=e X 的密度 f Y (y)。（分数：
8、2.00）_29.已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 23 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F 1 (x)与 F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F
9、 1 (x) 解析：解析：由题意知 F“ 1 (x)=f 1 (x)，F“ 2 (x)=f 2 (x)。且 F 1 (x)F 2 (x)为分布函数，那么F 1 (x)F 2 (x)“= f 1 (x)F 1 (x)+F 1 (x)f 2 (x)为概率密度，故选(D)。3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则 PX 2 +Y 2 1)= （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意知 X，Y 的概率密度分别为 又由 X 与 Y 独立，知(X，Y)的概率密度为4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是随机变量，且 X 1 N(0，1)，X 2 N(0，2
10、2 )，X 3 N(5，3 2 )，p i =P一 2X i 2)(i=1，2，3)，则（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 B.p 2 p 1 p 3C.p 3 p 1 p 2D.p 1 p 3 p 2解析：解析：5.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为 则 PX+Y=2)= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：6.设 X 与 Y 独立且 XN(0，1)，yN(1，1)，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：7.对任意两个随机变量 X 和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y
11、)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X 与 Y 独立D.X 与 Y 不独立解析：解析：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X)E(Y)，可见(B)与 E(XY)=E(X)E(Y)是等价的。二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.随机变量 X 的密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 与正态分布的概率密度相比较，可知9.在一长为 l 的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1 建立坐标系，题目中的线段
12、即线段 Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为 X 和 Y，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为10.设 x 的密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 X 与 Y 独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(X+Y1)= 1。PX+Y1|X0)= 2。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设二维
13、随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 xy=0，x+y=2 与 y=0 所围成的三角形区域。（分数：4.00）(1).求 X 的概率密度 f X (x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：G 的面积 S G = 21=1，故(X，Y)的概率密度为： f X (x)= - + f(x，y)dy x0 或 x2 时，f X (x)=0； 0x1 时，f X (x)= 0 x dy=x； 1x2 时，f X (x)= 0 2-x dy=2 一 x )解析：(2).求条件概率密度 f X|Y (x|y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 Y 的边缘概率密度
14、为：f Y (y)= - + f(x，y)dx y0 或 Y1 时，f Y (y)=0； 0y1 时，f Y (y)= y 2-y dx=2(1 一 y) )解析：13.设(X，Y)是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 ，在给定 X=x(0x1)的条件下 Y 的条件概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f(x，y)=f X (x)f X|Y (y|x) ()f Y (y)= - + f(x，y)dx y0或 y1 时，f Y (y)=0； )解析：14.设 X 和 Y 独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，(X
15、，Y)的概率密度为 其中 D 见图 2 中阴影部分。 )解析：15.设区域 D 1 为以(0，0)，(1，1)， 为顶点的四边形，D 2 为以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易算得 D 1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D 的面积为 (X，Y)的概率密度为 )解析：16.设 X 与 Y 独立同分布，P(X=1)=p(0，1)，P(X=0)=1 一 p，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1 一 p) P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y
16、=1)=(1 一 p) 2 +p 2 而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1一 p) 如果 P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，则须 p(1 一 p)=(1 一 p)2p(1 一 p) 解得 )解析：17.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PX=min(X，Y，Z)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为 )解析：18.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X 的边缘密度为 f X (x)= -
17、 + f(x，y)dy。 )解析：19.函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a=c=0，b=d：2，则 ab，cd，但 F(b，d)一 F(a，d)一 F(b，c)+F(a，c)=11 一 1+0=一 10，可见 F(x，y)不是随机变量的分布函数。)解析：20.设 xN(0，1)，当给定 X=x 时，YN(x，1 一 2 )，(01)求(X，Y)的分布以及给定 Y=y 时，X 的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的概率密度为 ，而已知 Xz 条件下，Y 的条件概率密度为 f Y|X (y|x) ，故(X，Y)的概率密度为 可见(X，Y)服从二维正
18、态分布，且EX=EY=0，DX=DY=1，(X，Y)的相关系数为 ，故 YN(0，1)，Y 的概率密度为 (y)，故 Y=y 的条件下 X的条件概率密度为 )解析：21.证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；(2)若随机变量 X 与自己独立，则存在 C，使得 P(X=C)=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明： (1)xa 时，P(Xx)=0，故 P(Xx，Yy)=P(Xx)P(Yy)=0；xa 时，P(Xx)=1，故 P(Xx，Yy)=P(yy)=P(Xx)P(Yy)。 R 2 ，有 P(Xx，Yy)=P(Xx)P(yy)，即 X 与 Y
19、独立； (2)由已知得： R 2 ，有 P(XX，Yy)=P(Xx)P(Yy)，记 X 的分布函数为 F(x)，则 F(x)=P(Xx) 前式中令 y=x 即得 F(x)=F(x) 2 ，可见 F(x)只能取 0 或 1，又由F(一)一 0，F(+)=1，知必存在 C(常数)，使得 )解析：22.设(X，Y)的分布函数为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 X 的密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10 件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)。
20、设 X 为一天中作记录的次数，写出 X 的分布列。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 YB(10，01)(即 Y 服从参数为(10，01)的二项分布)，而 XB(6，P)，其中 p=PY1=1 一 Py=0一 PY=1=1 一 C 10 0 01 0 09 10-0 一 C 10 1 01 1 09 10-1 =02639，故 P(X=k)一 C 6 k 02639 k 07361 6-k ，k=0，1，2，6。)解析：25.设 X 与 Y 独立且 XN(， 2 )，Y 服从区间一 ，上的均匀分布，求 Z=X+Y 的密度 f Z (z)。
21、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设在时间 t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为 t 的泊松分布。已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中，共交换 3 次。记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能取的值是 0，1，2 这三个值。记 A i =经过 2 次交换后，甲袋中有 i 个白球)，i=0，1，2则 P(A 0 ) )解析：28.设 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Y=e X 的密度 f Y (y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 y 的分布函数为：F y (y)=P(Yy)=Pe X y)。若 y0，则 F Y (y)=0，则 f Y (y)=F“ Y (y)=0；若 y0，则 f Y (y)=PXlny)= - lny fx(x)dx，则 f Y (y)=F“ Y (y)= )解析：29.已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
