1、考研数学三（概率统计）-试卷 17 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1 一 0 a f(x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 13.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)一 aF 1 (x)+bF 2 (
2、x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一 1)5.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y 一 min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为
3、 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XNN(0，4)，Y 的分布律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_10.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对
4、方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_13.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_14.设事件 A，B 独立，证明：事件 A， （分数：2.00）_15.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 1（分数：2.00）_16.设
5、有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份，随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_17.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔
6、T 的概率分布；（分数：2.00）_(2).求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_18.设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_设随机变量 X 满足|X|1，且 P(X=一 1)= ，P(X=1)= （分数：4.00）(1).求 X 的分布函数；（分数：2.00）_(2).求 P(X0)（分数：2.00）_19.设 X 的密度函数为 f X (x)= (一x+)，求 Y=1 一 （分数：2.00）_20.设随机变量 X
7、的概率密度为 F x (x)= （分数：2.00）_21.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e 一 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 17 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，
8、有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1 一 0 a f(x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析：解析：3.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)一 aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据性质 F(+)=1，得正确答案为(D)4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一
9、 1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1；(2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)(一)=0，(+)=1显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选(D)5.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y 一 min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=1 一 Pmin(X，2)y=1 一 P(Xy，2y)=1 一 P(Xy)P(2y)当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y
10、(y)=1 一 P(Xy)=P(Xy)=F X (Y)，而 F X (x)= 所以当 0y2 时，F Y (y)=1 一 e 一 y ；当 y0 时，F Y (y)=0，即 F Y (y)= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，D(X)=100p(1 一 p)，标准差为 令 f(p)一 p(1一 p)(0p1)，由 f“(p)一
11、 12p=0 得 p= ，因为 =一 20，所以 p= 为 f(p)的最大值点，当 p=7.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 PX=k=(1 一 p) k 一 1 p(k=1，2，)，得 8.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(YY)=P(X 2 y)当 y0 时，F Y (y)=0； 9.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XNN(0，4)，Y 的分布律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04
12、6587）解析：解析：P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X4 一 2Y|Y 一 1)+P(Y=2)P(X4 一 2Y|Y=2)+P(Y 一 3)P(X4 一2Y|Y=3)10.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 +e 3 一 e 5 ）解析：解析：由 F X (x)=F(x，+)= 三、解答题(总题数：16，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才
13、拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =第 k 次拨通对方电话(k=1，2，10)， )解析：13.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =甲数为 5，A 2 =甲数为 10，A 3 =甲数为 15，B=甲数大于乙数，P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= ，P(B|A 1 )= ，P(B|A 2 )= ，P(B|A 3 )=1，则 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )+P(A 3 )P(B|A 3 )=
14、)解析：甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲击中目标，B=乙击中目标)，C=击中目标，则 C=A+B， P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B) =06+05 一 0605=08)解析：(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =选中甲，A 2 =选中乙，B=目标被击中，则 P(A 1 )=P(A 2 )=
15、 ，P(B|A 1 )=06，P(B|A 2 )=05， )解析：14.设事件 A，B 独立，证明：事件 A， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)， )解析：15.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB )解析：16.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份，随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(
16、2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A i =所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i=1，2，3)，B j =第 j 次取的报名表为男生报名表)(j=1，2)，则 )解析：17.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从甲袋中取出黑球，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=B，(i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B 0
17、)=P(A)P(B 0 |A)+ P(X=1)=P(B 1 )=P(A)P(B 1 |A)+ P(X=2)=P(B 2 )=P(A)P(B 2 |A)+ P(X=3)=P(B 3 )=P(A)P(B 3 |A)+ 所以 X 的分布律为X )解析：设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1 一 P(Tt)=1 一 P(N=0)=1 一 e t 所以
18、F(t)= )解析：(2).求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求概率为 p=P(T16|T8)= )解析：18.设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三个元件正常工作的时间为 T i (i=1，2，3)，T 1 ，T 2 ，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T 1 t)，B=T 2 t)，C=T 3 t)，且 A，B，C 独立， 则 F T (t
19、)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1 一 e 一 t ， F T (t)=3(1 一 e 一 t )一 3(1 一 e 一 t ) 2 +(1 一 e 一 t ) 3 ， 于是 F T (t)= )解析：设随机变量 X 满足|X|1，且 P(X=一 1)= ，P(X=1)= （分数：4.00）(1).求 X 的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x一 1 时，F(x)=0； 当 x=一 1 时，F(一 1)= 因为 P(一 1tX1)=1
20、一所以在一 1X1(一 1x1)发生下， P(一 1Xx|一 1X1)= ，于是当一 1x1时，P(一 1Xx)=P(一 1Xx，一 1x1) =P(一 1X1)P(一 1Xx|一 1x1)= F(x)=P(Xx)=P(X一 1)+P(一 1Xx)= 当 x1 时，F(x)=1， )解析：(2).求 P(X0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X0)=F(0)= )解析：19.设 X 的密度函数为 f X (x)= (一x+)，求 Y=1 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设随机变量 X 的概率密度为 F x (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(e 一 X y)， 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，x0，F Y (y)=P(c X y)=P(Xlny)= 0 lny f X (x)dx= 0 lny e 一 X dx， )解析：21.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e 一 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 F X (x)= y 的分布函数为 F Y (y)=P(Yy)=P(1 一 e 2X y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0；
22、当 y1 时，F Y (y)=P(一X+)=1； 当 0y1 时，F Y (y)=P(1 一 e 一 2X y)= 即 F Y (y)= )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =( 一 1)( 一 2)( 一 Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化； 当 Y=1 时，A= ，=1 为二重特征值， 因为 r(E 一 A)=2，所以 A 不可对角化； 当 Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值， 因为 r(2E 一 A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=
23、P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= )解析：23.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X+Y=0)=P(Y=一 X)=P(|X|1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1一 F X (1)=e 一 F Y (y)=P(Yy)=P(yy，|X|1)+P(yy，|X|1) =P(Xy，|X|1)+P(一Xy，X1)+P(一 Xy，X一 1) =P(Xy，0X1)+P(X一 y，X1) 当 y一 1 时，F Y (y)=P(X一 y)=e 一 y ； 当一 1y0 时，F Y (y)=P(X1)=e 一 ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(Xy)+P(X1)=1 一 e 一 y +e 一 ； 当 y1 时，F Y (y)=P(0X1)+P(X1)=1， 故 F Y (y)= )解析：
