1、考研数学三（微积分）模拟试卷 215 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 ysinx=ylny 满足定解条件 y( （分数：2.00）A.B.e sinx C.D.3.若 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C3B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2
2、x4.设 C 1 和 C 2 是两个任意常数，则函数 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+sinx 是二阶常系数线性微分方程( )的通解（分数：2.00）A.y“一 2y+5y=4cosx 一 2sinxB.y“一 2y+5y=4sinx 一 2cosxC.y“一 5y+2y=4cosx 一 2sinxD.y“一 5y+2y=4sinx 一 2cosx二、解答题(总题数：20，分数：58.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_已知方程 y“+p(x)y+q(x)y=0，求证：（分数：4.00）(1).若 p(x)+xq(x)=0，则 y=x 是方程的一个
3、特解；（分数：2.00）_(2).若 m 2 +mp(x)+q(x)=0，则 y=e mx 是方程的一个特解（分数：2.00）_求下列微分方程的通解：（分数：6.00）(1).(x 一 2)dy=y+2(x 一 2) 3 dx；（分数：2.00）_(2).(1+y 2 )dx=(arctany 一 x)dy；（分数：2.00）_(3).y+2y=sinx；（分数：2.00）_求下列微分方程的通解：（分数：6.00）(1).e y y一 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).(x 2 3y 2 )x+(3x 2 一 y 2 )y （分数：2.00）_求下列微分方程的通解：（分
4、数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2).y= （分数：2.00）_(3).xdyydx=y 2 e y dy；（分数：2.00）_求下列微分方程的通解：（分数：4.00）(1).u“+5y+6y=e x ；（分数：2.00）_(2).y“+9y=6cos3x（分数：2.00）_求下列差分方程的通解：（分数：4.00）(1).y t+1 y t =e t ，其中 ， 为常数，且 0；（分数：2.00）_(2).y t+1 +2y t =5cos （分数：2.00）_6.求方程 y“+2my+n 2 y=0 满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，其中 mn0，a，b 为常数
5、，并求 0 + y(x)dx=?（分数：2.00）_7.设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为 （分数：2.00）_8.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)一 y(x)满足 y(1+y)= （分数：2.00）_9.设函数 y(x)连续，且满足 1 x y(t)dt 一 2y(x)=x x +1+ 0 1 y(t)dt，求 y(x)（分数：2.00）_10.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin x x+ 0 x tf(x 一 t)dt求 f(x)（分数：2.00）_11.设函数 f(x)可微，且满足 f(x)一
6、 1=f 1 x f(t)lnt 一 （分数：2.00）_12.设二阶常系数线性微分方程 y“+y+y=e x 的一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定常数，并求该方程的通解（分数：2.00）_13.求 y t+1 一 y t =2t(t 一 1)(t 一 2)的通解（分数：2.00）_14.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce -p(x)dx 是方程y+p(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_15.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_16.设函数 f(x)连续，且满足 0
7、3x f( （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0 （分数：2.00）_已知微分方程 y“+(x+e 2y )(y) 3 =0（分数：4.00）(1).若把 y 看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式?（分数：2.00）_(2).求此方程的解（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 215 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程
8、 ysinx=ylny 满足定解条件 y( （分数：2.00）A.B.e sinx C.D. 解析：解析：方程 ysinx=ylny 是可分离变量的微分方程，分离变量得 即所求特解为 y=3.若 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C3B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 解析：解析：在所给的选项 A，B，C 中 y 包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解，故应选
9、 D4.设 C 1 和 C 2 是两个任意常数，则函数 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+sinx 是二阶常系数线性微分方程( )的通解（分数：2.00）A.y“一 2y+5y=4cosx 一 2sinxB.y“一 2y+5y=4sinx 一 2cosx C.y“一 5y+2y=4cosx 一 2sinxD.y“一 5y+2y=4sinx 一 2cosx解析：解析：由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，e x cos2x 与 e 2 sin2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay+by=0 两个线性无关的特解从而特征方程 2 +a+b=0 的两个特征根应分别是 1
10、=1+2i， 2 =12i，由此可得 2 a+b=( 一 12i)( 一 1+2i)=(1) 2 一(2i) 2 = 2 2+1+4=2+5，即 a=一 2，b=5 由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知 sinx 应是非齐次方程y“一 2y+5y=f(x)的一个特解，故 f(x)=(sinx)“一 2(sinx)+5sinx=4sinx 一 2cosx 综合即得所求方程为 y“一 2y+5y=4sinx 一 2cosx应选 B二、解答题(总题数：20，分数：58.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知方程 y“+p(x)y+q(x)y=0，求证：（分数：4.00
11、）(1).若 p(x)+xq(x)=0，则 y=x 是方程的一个特解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 y=x 代入方程则有 p(x)+xq(x)0，可见当 p(x)+xq(x)0 时 y=x 是方程y“+p(x)y+q(x)y=0 的一个特解)解析：(2).若 m 2 +mp(x)+q(x)=0，则 y=e mx 是方程的一个特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 y=e mx 代入方程则有 y“+p(x)y+q(x)y=m 2 +p(x)m+q(x)e mx 0 故当 m 2 +p(x)m+q(x)0 时 y=e mx 是方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的一个
12、特解)解析：求下列微分方程的通解：（分数：6.00）(1).(x 一 2)dy=y+2(x 一 2) 3 dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可改写为 y =2(x 一 2) 2 ，这是一阶线性微分方程，用积分因子 =2(x 一 2)，两边求积分即得通解 )解析：(2).(1+y 2 )dx=(arctany 一 x)dy；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可改写成 ，这是以 x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用 积分因子 =e arctany 同乘方程两端可得 (xe arctany )= e arctany 两边求积分即得通解 xe arctany
13、=C+ )解析：(3).y+2y=sinx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用积分因子 e 2x 同乘方程两端，可得(e 2x y)=e 2x sinxe 2x y=e 2x sinxdx+C y=e -2x e 2x sinxdx+Ce -2x 因为 e 2x sinxdx=一e 2x d(cosx)=一 e 2x cosx+2e2xcosxdx=一 e 2x cosx+2e 2x d(sinx) =一 e 2x cosx+2(e 2x sinx 一 2e 2x sinxdx)=e 2x (2sinx 一 cosx)一 4e 2x sinxdx， e 2x sinxdx= e 2x
14、 (2sinx 一 cosx) 代入即得通解y=Ce -2x + )解析：求下列微分方程的通解：（分数：6.00）(1).e y y一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可变形为(e y )一 e y =x 2 ，设 Z=e y ，方程为 Z一 Z=x 2 ，于是，由一阶线性微分 青程公式法，得通解 故原方程的通解为 e y = )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设方程为齐次微分方程当 x0 时 =u 可把方程改写成 综合可得方程的通解为 )解析：(3).(x 2 3y 2 )x+(3x 2 一 y 2 )y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、题设方程为齐次微分方程，方程可改写成 代入就有通解 ln1+u 2 ln1u 2 +lnx=C )解析：求下列微分方程的通解：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y 看成自变量，x 看成是 y 的函数 x=x(y)，则原方程是齐次微分方程令 u(y)= ，代入原方程，得 yu=一 ， 这是一个变量可分离型方程，其通解为 y(e u +u)=C所以原微分方程的通解为 )解析：(2).y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ycosy=(siny)，令 u=siny，则原微分方程化为 u+u=x 这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分
16、方程，其通解为 u=e -x (C+xe x dx)=Ce -x +x 一 1 所以原微分方程的通解为 siny=Ce -x +x 一 1)解析：(3).xdyydx=y 2 e y dy；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，将原方程变为如下形式： e y dy+ =0， 所以原方程是一个全微分方程，其通解为 e y + )解析：求下列微分方程的通解：（分数：4.00）(1).u“+5y+6y=e x ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因特征方程是 2 +5+6=(+2)(+3)=0特征根为 1 =一 2， 2 =一3而自由项 f(x)=e x ，故可设非齐次方程
17、有特解 y * =Ae x ，代入原方程可确定 A= 故方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e -3x + )解析：(2).y“+9y=6cos3x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的特征方程为 2 +9=( 一 3i)(+3i)=0j 特征根为 1 =3i， 2 =一3i，南方程的非齐次项 6cos3x 可知，应设非齐次方程的特解具有形式 y * =x(Acos3x+Bsin3x)计算可得 (y * )“+9y=6(Bcos3xAsin3x) )解析：求下列差分方程的通解：（分数：4.00）(1).y t+1 y t =e t ，其中 ， 为常数，且 0；（分数：2.
18、00）_正确答案：(正确答案：方程的通解可设为 y t =C t +y t * ，当 e 时，可设 y t * =Ae t ，代入方程可确定 A= 即原方程的通解为 y t =C t + )解析：(2).y t+1 +2y t =5cos （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设方程的通解为 y t =C(一 2) t +Acos ，于是 故方程的通解为 y t =c(一 2) t +2cos )解析：6.求方程 y“+2my+n 2 y=0 满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，其中 mn0，a，b 为常数，并求 0 + y(x)dx=?（分数：2.00）_正确答案：(正确答
19、案：特征方程为 2 +2m+n 2 =(+m) 2 +n 2 一 m 2 =0，特征根为 =一 m+ ，于是方程的通解为 y=C 1 令 计算可得 0= 0 + (y“+2my+n 2 y)dx=y 0 + +2my 0 + +n 2 0 + ydx =一 b2ma+n 2 0 + ydxydx= )解析：7.设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，过曲线上任意点 M(x，y)处的切线斜率为 由一阶线性微分方程的通解公式，可得 y= =x(lnlnx+C)=xlnlnx+Cx 由曲线过点(e，1)可确定常数
20、C= ，故所求曲线方程为 y= )解析：8.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)一 y(x)满足 y(1+y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得(1+y) +1 从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成 ，两边积分得 =C+ln(4+x)y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x) 令 x=0，y=2 可确定常数 C= 一 2ln2，故 y=( 一 2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x) )解析：9.设函数 y(x)连续，且满足 1 x y(t)dt 一 2y(x)=x x +1+
21、0 1 y(t)dt，求 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)连续可知 1 x y(t)dt 可导，从而 y(x)可导将方程两端对 x 求导，得一阶线性微分方程 y(x)一 2y(x)=2x 解之可得通解 y(x)=C +2x+4 在原方程两端令 x=1 又有一 2y(1)=2+ 0 1 y(t)dt，即 0=2+2y(t)+ 0 1 y(t)dt=2+2C +12+ 0 1 (C +2t+4)dt =14+2C 一 1)+5 可确定常数 C= )解析：10.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin x x+ 0 x tf(x 一 t)dt求 f(x)（
22、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 x tf(x 一 t)dt (x 一 u)f(u)(一 du)= 0 x (x 一 u)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du 代入原方程即得 0 x f(t)dt=sin 2 x+x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+ 0 x f(u)du=sin2x+ 0 x f(u)du 在上式中令 x=0 可得 f(0)=0，由上式还可见 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(
23、x) 故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)= )解析：11.设函数 f(x)可微，且满足 f(x)一 1=f 1 x f(t)lnt 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程两边对 x 求导，得 f(x)=f 2 (x)lnx 一 ，且 f(1)=1 上式变形为 ，代入方程，得 由一阶线性微分方程的通解公式，有 将 z= ln 2 x+C)=1，由f(1)=1 定出 C=1，于是 )解析：12.设二阶常系数线性微分方程 y“+y+y=e x 的一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定常数，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正
24、确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入方程可得 (4+2+)e 2x +(3+2+ 一 y)e x +(1+)xe x =0， 因 e 2x ，e x 与 xe x 线性无关(证明见评注)，故 )解析：13.求 y t+1 一 y t =2t(t 一 1)(t 一 2)的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原差分方程对应的齐次差分方程是 y t+1 一 y t =0，其通解为 y t =C，非齐次差分方程的通解可设为 y t =C+t+t 2 +t 3 +8t 4 ，代入方程可得 y t+1 一 y t =+(2+3+4)t+(3+6)t 2 +4t 3 2t(t1)(t
25、 一 2)， 比较系数，可得方程组 故所求通解为 y t =C 一 3t+ )解析：14.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce -p(x)dx 是方程y+p(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx =e p(x)dx y+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye -p(x)dx =C，故 y=Ce -p(x)dx )解析：15.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.
26、00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y一 2y=2 的两边同乘 e -2x 得(ye -2x )=2e -2x ，积分得通解 y=C 1 e 2x 1； 而当 x1 时，方程 y一 2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x 为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C 1 e 2 1=C 2 e 2 ，即 C 2 =C 1 e -2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 =1，即所求特解为 y= )解析：16.设函数 f(x)连续，且满足 0 3x f( （分
27、数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分中作换元 s= )解析：17.设 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=g(x)可得 f“(x)=g(x)，结合 g(x)=2e 2x 一 f(x)可得 f(x)满足微分方程 f“(x)=2e 2x 一 f(x)，即 y“=2e 2x 一 y 在 y“+y=2e x 中，由于 =1 不是其齐次方程的特征根，因此它有形如 y=ae x 的特解，将 y=ae x 代入方程 y“+y=2e x 中可得 a=1因此 y“+y
28、=2e x 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+e x 由 f(0)=0，g(0)=2，可知 f(x)是 y“+y=2e x 的满足初值条件 y(0)=0，y(0)=2 的特解将初值条件代入通解中得 C 1 =一 1，C 2 =1因此 f(x)=一 cosx+sinx+e x 注意到，f(0)=0，f(x)=g(x)，因此 )解析：解析：由 f(x)=g(x)两边求导可得 f“(x)=g(x)，再由 g(x)=2e x f(x)可得 f(x)所满足的微分方程已知微分方程 y“+(x+e 2y )(y) 3 =0（分数：4.00）(1).若把 y 看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求此方程的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 1=0 的两个根为 r 1 =1，r 2 =一 1由于在非齐次项 e ay 中 a=2不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 x * =Ae 2y ，代入方程得 (4A 一 A)e 2y =e 2y A= 因此，通解为 x=C 1 e y +C 2 e -y + )解析：
