1、考研数学三（微积分）模拟试卷 214 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a n 0，n=1，2，若 （分数：2.00）A.B.C.D.3.下述各选项中正确的是（分数：2.00）A.若 B.若 C.若正项级数D.若级数 u n 收敛，且 u n v n (n=1，2，)，则级数 4.设 a 为常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a 的取值有关5.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.
2、敛散性不能确定6.设 u n = n (n+1) （分数：2.00）A.发散的正项级数B.收敛的正项级数C.发散的交错级数D.收敛的交错级数7.已知级数 条件收敛，则常数 p 的取值范围是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若幂级数 a n x n 的收敛半径为 R0，则 B.若极限 C.若幂级数 a n x n 的收敛域为一 1，1，则幂级数 D.若幂级数 a n x n 的收敛域为一 1，1，则幂级数 9.设幂级数 (x 一 a) n 在点 x 1 =一 2 处条件收敛，则幂级数 (x 一 a) n 在点 x 2 = （分数：2.00）A.绝对收
3、敛B.条件收敛C.发散D.其敛散性与口的取值有关二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：44.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_判别下列级教的敛散性（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).
4、(其中常数 p1) （分数：2.00）_判别下列级数的敛散性若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_17.讨论级数 （分数：2.00）_18.讨论级数 （分数：2.00）_19.已知函数 y=y(x)满足等式 y=x+y，且 y(0)=1，试讨论级数 （分数：2.00）_20.设 f(x)在一 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -x x f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.00）_将下列函数在指定点处展开成幂级数：（分数：4.00）(1).f(x)=lnx，分别在 x=1 与 x=2 处；（分数：2
5、.00）_(2).f(x)= （分数：2.00）_21.将函数 f(x)= （分数：2.00）_22.求幂级数 （分数：2.00）_23.求幂级数 （分数：2.00）_求下列幂级数的和函数：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n+1)x 2 + （分数：4.00）(1).求两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.00）_(2).求级数 （分数：2.00）_24.设 a n = 0 1 t 2 (1 一 t) n dt，证明级数 （分数
6、：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 214 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a n 0，n=1，2，若 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：注意，级数 (a 2n1 a 2n )是把收敛级数 3.下述各选项中正确的是（分数：2.00）A.若 B.若 C.若正项级数D.若级数 u n 收敛，且 u n v n (n=1，2，)，则级数 解析：解析：由于 0(u n +v n ) 2 (u n +v n ) 2 =u n 2
7、 +2u n v n +v n 2 2u n 2 +2v n 2 ， 又级数， (2u n 2 +2v n 2 )亦收敛从而级数 (u n +v n ) 2 收敛故选 A 对于(B)，只要令 u n =( ) n ，v n =2 n ，易验证(B)错误 对于(C)，令 u n = 4.设 a 为常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性与 a 的取值有关解析：解析：由于5.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不能确定解析：解析：由已知条件 a n (一 2) n 收敛，可知幂级数， a n t n 的收敛半径 R2，从而 a
8、n t n 当 t(一 2，2)时绝对收敛注意 x=2 时对应的 t=x 一 1=1故幂级数 6.设 u n = n (n+1) （分数：2.00）A.发散的正项级数B.收敛的正项级数C.发散的交错级数D.收敛的交错级数 解析：解析：令 x=n+t，则 所以交错级数 7.已知级数 条件收敛，则常数 p 的取值范围是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 故当 p+ a n 收敛，从而原级数绝对收敛；当 p+ a n 发散，从而原级数不是绝对收敛的 当 0p+ 时，显然 a n 0(n)令 所以 x 充分大时 f(x)单调增加，于是 n 充分大时，a n = 单调减少，应用莱布尼茨判
9、别法推知当一 时原级数条件收敛故选D 当 p+ 8.下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若幂级数 a n x n 的收敛半径为 R0，则 B.若极限 C.若幂级数 a n x n 的收敛域为一 1，1，则幂级数 D.若幂级数 a n x n 的收敛域为一 1，1，则幂级数 解析：解析：极限 = 只足收敛半径为 R= 的一个充分条件，因此 A 不对幂级数 a n x n 的收敛半径存在而且唯一，所以 B 不对取级数 9.设幂级数 (x 一 a) n 在点 x 1 =一 2 处条件收敛，则幂级数 (x 一 a) n 在点 x 2 = （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.其敛
10、散性与口的取值有关解析：解析：首先，幂级数收敛半径为 R=1其次，级数在 x 1 =一 2 处条件收敛，则 x 1 =一 2 必为收敛区间的端点由x 1 一 x 2 = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 S= u n 收敛，那么由级数的基本性质有 =S+(S 一 u 1 )+(Su 1 u 2 )=3S 一 2u 1 u 2 由于 u 1 =S 1 =1，u 2 =S 2 一 u 1 = ，则 11.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x=0 时级
11、数显然收敛当 x0 时设 u n (x)= x 2n1 ，于是 用比值判别法知，当 x 2 1 时幂级数绝对收敛，而当 12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2，2)）解析：解析：当 x=0 时级数必收敛当 x0 时设 u n (x)= ，于是 故当 1即x2 时，幂级数绝对收敛，而当x2 时幂级数发散 当 x=2 时，幂级数变为 ，显然发散；当 x=一 2 时，幂级数变为交错级数 13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1，1)）解析：解析：根据收敛半径的计算公式，幂级数， 的收敛半径为 1，收敛域为一 1，1)；幂级数1
12、4.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(145，155)）解析：解析：这是缺项幂级数，把一般项化成 a n (x 一 x 0 ) 2n1 的标准形再计算 所以当 202 =005 时，级数绝对收敛；当x 一 005 时，级数发散故幂级数 10 2n (2x一 3) 2n1 的收敛区间为(145，155) 又当x =005 时，原级数的一般项分别是 u n =一 10 和 u n =10，所以发散因此幂级数 15.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x=0 时级数收敛，当 x0 时设 u n (x)=(n 2 1)x
13、n ，由于 可见幂级数的收敛半径 R=1 当 x=1 时原级数一般项不趋于零，故幂级数的收敛域为(一 1，1)求和函数得 三、解答题(总题数：14，分数：44.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：判别下列级教的敛散性（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用比值判别法 )解析：解析：本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u n = =0， 所以 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法 比值判别法： 1，故收
14、敛 比较判别法：取 v= )解析：(4).(其中常数 p1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数 作比较因为 )解析：判别下列级数的敛散性若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I(一 I) n1 一 1，利用正项级数比较判别法极限形式，我们取 u n = 因为 对于原级数，令 f(x)= ，在区间e，+)上有 f(x)= 0， 故 f(x)= 在区间e，+)上单调递减，且 满足莱布尼茨判别法的两个条件： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+
15、x)x(x0)，可知 ln(e n +e -n )=lne n (1+e -2n )=n+ln(1+e -2n )n+e -2n 令 f(x)= 0因此 f(x)单调减少，故数列 单调递减 又 )解析：17.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 一 tanx，x(n 一 )，则 f(x)=1 一 =一 tan 2 x0， 等号仅在 x=n 时成立，故 f(x)单调减少又 故 f(x)在(n 一 )有唯一的根，且 x n (n 一 )，从而 x n n 一 2， 继而有 x n (n2) 2 ， 由于 )解析：18.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
16、案：当 n 充分大时1 一 0，故级数为正项级数 故 v n 发散，故当 p+x1 时， u n 收敛；当 p+x1 时， )解析：19.已知函数 y=y(x)满足等式 y=x+y，且 y(0)=1，试讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y=x+y，所以 y“=1+y由 y(0)=1，得 y(0)=1，y“(0)=2根据麦克劳林公式，就有 )解析：解析：y(x)是已知微分方程的一个特解，再由其麦克劳林公式讨论级数的收敛性20.设 f(x)在一 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -x x f(x+t)dt，证明级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
17、：由于 f(x)在一 2，2上有连续的导数，则f(x)在一 2，2上连续，设 M为f(x)在一 2，2上的最大值，则 x一 1，1时， F(x)= -x x f(x+t)dt= 0 2x f(u)du= 0 2x f(u)d(u 一 2x) =f(u)(u 一 2x) 0 2x 一 0 2x f(u)(u 一 2x)du=一 0 2x f(u)(u 一 2x)du， 由此可得 F(x)M 0 2x (2xu)du=2Mx 2 ，x一 1，1 因此 收敛，由比较判别法可得 )解析：将下列函数在指定点处展开成幂级数：（分数：4.00）(1).f(x)=lnx，分别在 x=1 与 x=2 处；（分数
18、：2.00）_正确答案：(正确答案：利用换元法与已知的幂级数展开式 ln(1+x)= x n (一 1x1) 求解本题首先设 x 一 1=tx=1+t，代入可得 f(x)=lnx=ln(1+t)= (x1) 2 ， 展开式的成立范围是一1t1 即一 1x 一 11 0x2 其次设 x2=t x=2+t，代入可得 展开式的成立范围是一 1 )解析：(2).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 展开式成立的范围是 )解析：21.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)视为(x 一 1) b n (x 一 1) n 即可因为 利用公式(514)，并
19、以 代替其中的 x，则有 由于 f(x)的幂级数 a n (x 一 1) n 的系数 a n = ，所以 f (n) (1)=n!a n = )解析：解析：“在点 x 0 =1 处展成幂级数”即展成 x 一 1 的幂级数22.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用比值判别法判别其敛散性当 x=0 时幂级数收敛；当 x0 时有 所以，当 0x1 时，幂级数绝对收敛；x1 时幂级数发散；当x=1 时，由于， )解析：23.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2n+1)x 2n =x 2 (2n+1)x 2n ，记 (2n+1)x 2n 的和函数为 S(x)，则
20、)解析：解析：记 u n (x)=(2n+1)x2n“，消去每项中的系数(2n+1)便可化为等比级数求下列幂级数的和函数：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易知幂级数收敛域为(一 1，1)记 S(x)= (n+1) 2 x n ，则 对上式两边求导，得和函数 S(x)= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故只要消去系数中的因子 n 便可以使用 e x 的展开式求和 幂级数的收敛域为(一，+)和函数 把 g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用逐项求导两次去掉幂级数的通
21、项 的分母 n(2n+1)，化为几何级数求和函数计算可得幂级数 的收敛半径 R=1，收敛域是一 1，1，设其和函数为 S(x)，则 S(x)= ，一 1x1，且 S(0)=0 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母 n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数 ，这个幂级数的收敛半径也是 R=1，收敛域也是一 1，1，设其和函数为 S(x)，则 S 1 (x)= =xS(x)，一 1x1， 且 S 1 (0)=S 1 (0)=0在开区间(一 1，1)内逐项求导两次可得 S“ 1 (x)=2 (1) n x 2n1 =2x (x 2 ) n1 =一 ， 逐项积分就有 S 1 (x)= 0 x S
22、“ 1 (t)dt=一 0 x dt=ln(1+x 2 )，一 1x1， S 1 (x)= 0 x S 1 (t)dt=一 0 x ln(1+t 2 )dt=一 xln(1+x 2 )+ 0 x tdln(1+t 2 ) =一 xln(1+x 2 )+2 0 x dt=2x 一 2arctanxxln(1+x 2 )，一 1x1 由于幂级数 在 x=1 都收敛，且函数 2x2arctanxxln(1+x)在x=1 都连续，故和函数 S 1 (x)=2x 一 2arctanxxln(1+x)分别在 x 一 1 与 x=1 处也成立由此即得 )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案：设 S(x)表示 的和函数由于 因此幂级数 的收敛半径 R=1，且x(一 1，1)时 设 S 1 (x)= ，它们的收敛半径都是 1，因此两幂级数(1，1)内逐项求导， 得 S 1 (x)= 0 x S(t)dt+S 1 (0)= 0 x dt=ln(1t) 0 x =一 ln(1x)， S 2 (x)= 0 x S 2 (1)dt+S 2 (0)= 0 x ( 一 1t)dt=ln(1 一 x)x ， 于是 =xS 1 (x)=xln(1x)x(1，1)， ，x(一 1，0)(0，1) 因此 S(x)= )解析：设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n+1)x 2 + （分数：4.00）(1).求两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=nx 2 + 因图形关于 y 轴对称，所以 )解析：(2).求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 a n = 0 1 t 2 (1 一 t) n dt，证明级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n = 0 1 t 2 (1 一 t) n dt= 0 1 (1 一 u) 2 u n du= 0 1 (u n 2u n+1 +u n+2 )du )解析：
