1、考研数学三（微积分）模拟试卷 213 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 z=x 2 +y 2 2lnx一 2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.函数 z 有四个驻点，且均为极小值点B.函数 z 有四个驻点，且均为极大值点C.函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点D.函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点3.设平面区域 D 1 =t(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，D 2 =(x，y)
2、x 2 +y 2 R 2 ，x0，D 3 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D 1 =(x，y)x+y1，D 2 =t(x，y)x 2 +y 2 1，D 3 =(x，y) 1，且 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5.设 D=x，y)2xx 2 +y 2 ，0yx2，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.交换积分次序： 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_7.累
3、次积分 0 2 d （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_将下列累次积分交换积分次序：（分数：4.00）(1). 0 1 dx （分数：2.00）_(2). 0 1 dyf(x，y)dx+ 1 2 dy （分数：2.00）_9.计算累次积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_10.计算 I= （分数：2.00）_11.设区域 D 是由直线 y=x 与曲线 y=a 一 （分数：2.00）_12.求 I= ye xy dxdy，其中 D=(x，y) （分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_1
4、4.计算 I= （分数：2.00）_15.设 f(x，y)= （分数：2.00）_16.设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_17.计算二重积分 （分数：2.00）_交换下列累次积分的积分顺序：（分数：4.00）(1).I 1 = 0 1 dx （分数：2.00）_(2).I 2 = 0 1 dy （分数：2.00）_18.计算二重积分 （分数：2.00）_19.计算二重积分 （分数：2.00）_20.求 I= （分数：2.00）_21.计算二重积分 （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，求证： a b f(x
5、)dx 2 (ba) a b f 2 (x)dx（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 213 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 z=x 2 +y 2 2lnx一 2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.函数 z 有四个驻点，且均为极小值点 B.函数 z 有四个驻点，且均为极大值点C.函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点D.函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点解析：解析：
6、z x =2x 一 =0 x=1 z y =2y 一 =0 y=1 所以有四个驻点(一1，1)，(一 1，一 1)，(1，一 1)，(1，1)又 z“ xx =2+ 3.设平面区域 D 1 =t(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，D 3 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0，则必有 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知 B 正确 在(A)中 0，所以(A)错误 在(C)中 =0，所以(C)错误 在(D)中4.设平面区域 D 1 =(x，y)x+y1，D 2 =t(x，y)x 2
7、 +y 2 1，D 3 =(x，y) 1，且 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：易见三个积分区域 D 1 ，D 2 ，D 3 各自分别关于 x 轴对称，又各自分别关于 y 轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为 D 11 ，D 21 ，D 31 再利用被积函数 f(x，y)=xy分别关于变量 x与变量 y 都是偶函数，从而有 因为三个积分区域 D 11 ，D 21 ，D 31 的左边界都是 y 轴上的直线段(x，y)x=0，0y1，下边界都是 x 轴上的直线段(x，y)0x
8、1，y=0，而 D 11 的上边界是直线段(x，y)0x1，y=1 一 x，D 21 的上边界是圆弧(x，y)0x1，y= ，D 31 的上边界是曲线弧(x，y)0x1，y= +x不难发现当 0x1 时 即三个积分区域 D 11 ，D 21 与 D 31 的包含关系是 D 31 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5.设 D=x，y)2xx 2 +y 2 ，0yx2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：采用极坐标计算首先画出 D 的图形(如图 43)，x 2 +y 2 =2x 的极坐标方程为=2eos；x=2 的极坐标方程为 =2sec；y=x 的极
9、坐标方程为 = ，故 6.交换积分次序： 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 1 dy ）解析：解析：由题设知，积分区域由 x=0，x=1，y=x 2 ，y=3 一 x 所围成，即积分区域 D=D 1 ，D 2 ，D 3 (如图 44)，且 D 1 =x，y)0y1，0x ， D 2 =x，y)1y2，0x1， D 3 =(x，y)2y3，0x3 一 y， 于是交换积分次序得 0 1 dx f(x，y)y= 0 1 dy (x，y)dx + 1 2 dy 0 1 f(x，y)dx + 2 3 dy 0 3y f(x，y)dx 7.累次积分 0 2 d （
10、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 45，在(，)平面上交换积分次序，有 原式= 0 d 0 2 ( 2 1) d= 三、解答题(总题数：17，分数：36.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：将下列累次积分交换积分次序：（分数：4.00）(1). 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先画出积分域如图 47 所示交换积分次序后原积分可以写成 )解析：(2). 0 1 dyf(x，y)dx+ 1 2 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出积分域，如图 48 所示由图可知，交换积分次序后原积分成为
11、 )解析：9.计算累次积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域图形如图 49，由被积函数的形式，可以看出应先对 x 积分，故交换积分次序，得 )解析：10.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分知积分区域 D 如图 410，由被积函数和区域 D 看出，本题在极坐标系 z=rcos，y=rsin 中计算较方便 y= 在极坐标下的方程为 r=2，y= 在极坐标下的方程为 r=2cos，且 D=D 1 +D 2 ，其中 D 1 =(r，)00 ，2cosr2， D 2 =(r，) ，0r2， )解析：11.设区域 D 是由直线 y=x 与
12、曲线 y=a 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 411，在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中它可表示为 )解析：12.求 I= ye xy dxdy，其中 D=(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作出区域 D 的平面图形，如图 412将 D 分割成 D 1 与 D 2 ，则 D=D 1 +D 2 ，其中 D 1 =(x，y) x2，D 2 =(x，y)1y2，1x2 所以 I= ye xy dx+ 1 2 dy 1 2 ye xy dx = (e 2y e)dy+ 1 2 (e 2y e y )= e 4 e 2 若本题选择对 y积分，则 此
13、时，如果欲想分别积分 1 2 e 2x 的原函数没有初等函数的表达式(即不可积类型)， 1 2 e 2x dx 无法继续计算下去由此看来，在计算二重积分选择积分次序时，不但要考虑积分区域的特点，同时还要考虑被积函数的特点当按某种积分次序遇到困难无法进行下去时，马上应考虑换另一种积分次序进行 如果不考虑去计算 1 2 )解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 为扇形(见图 413)： )解析：解析：因为无法得到 14.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 414由被积函数形式可以看出，此积分只能先对 x 积分，故)解析：15.设 f
14、(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)的定义域和 D 确定的积分区域如图 415 中的 D 1 ，即 )解析：16.设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题中积分区域如图 416 中阴影部分所示 将其化为极坐标，可知 0， 由于 y=1x 可表示为 rsin=1rcos，即 r= ，而 y 2 =2xx 2 可表示为 r=2cos，故 rcos从而原积分可化为 )解析：17.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 分别关于 x 轴与 y 轴
15、对称，如图 417由于被积函数 f(x，y)=x 2 分别是 x 与 y 的偶函数，从而 其中 D 1 是 D 在第一象限的部分因被积函数的表达式中包含 ，采用极坐标系 x=rcos，y=rsin 来计算较简，这时 )解析：交换下列累次积分的积分顺序：（分数：4.00）(1).I 1 = 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，积分区域 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1，1 一 xy1，D 2 =(x，y)1xe，lnxy1， 见图 418，交换积分顺序得 I 1 = 0 1 dy )解析：(2).I 2 = 0 1 dy （分数：2.00）_正
16、确答案：(正确答案：由 I 2 可知，D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0y1，0x ， D 2 =(x，y)1y2，0x2 一 y， 见图 419，交换积分顺序得 I 2 = 0 1 dx f(x，y)dy )解析：18.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 420 所示由于被积函数 f(x，y)=y 关于 x 轴对称，积分区域D 也关于 x 轴对称，所以积分值为 0 )解析：19.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作出 D 的平面图形如图 421因积
17、分区域关于原点 O 对称，被积函数又是 x 与y 的偶函数，故 其中 D 1 =(x，y)0x1，x 一 1y0， D 2 =(x，y)0x1，0yx+1， D 3 =(x，y)1x2，x 一 1y )解析：21.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 D=(x，y)0x+，x+1ye x ，(如图 422)设常数 b0，且 D b =Dxb=(x，y)0xb，x+1ye x ，则 D b =D故 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续，求证： a b f(x)dx 2 (ba) a b f 2 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设积分区域 D=(x，y)axb，ayb，由 a b f(x)dx= a b f(y)dy 可知二重积分 f(x)f(y)d= a b dx a b f(x)f(y)dy= a b f(x)dx a b f(y)dy= a b f(x)dx 2 另一方面利用不等式 f(x)f(y) f 2 (x)+f 2 (y)，又有 f 2 (x)+f 2 (y)d = f(y)d = a b f 2 (x)dx a b dy+ a b dx a b f 2 (y)dy = )解析：
