1、考研数学三（微积分）模拟试卷 211 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+)B.f(x)f(x+)C.f(x)f(x+)D.当 x0 时，f(x)f(x+)；当 x0 时，f(x)f(x+)3.设常数 0，I 0 = （分数：2.00）A.I 0 I 2 B.I 0 I 2 C.I 0 =I 2 D.I 0 与 I 2 的大小与 的取值有关4.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A. e +
2、(k1)B. 0 + x C. -1 1 D. -1 1 5.设 f(t)= 0 1 ln （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.设 y=f(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 f(x)连续， 0 1 f(x)dx=5，则 0 1 f(x) x 1 f(t)dtdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)具有连续
3、导数，且 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_12. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 a0，f(x)在(一，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_设 f(x)在(一
4、，+)连续，在点 x=0 处可导且 f(0)=0令 （分数：4.00）(1).试求 A 的值，使 F(x)在(一，+)上连续；（分数：2.00）_(2).求 F(x)并讨论其连续性（分数：2.00）_17.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_18.求函数 f(x)= e x （分数：2.00）_19.设曲线 y=ax 2 +bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 （分数：2.00）_20.求由直线 x=1，x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积（分数：2.0
5、0）_21.过原点作曲线 y=lnx 的切线，设切点为 x 0 ，且由曲线 y=lnx，直线 y=0，x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x 3 ，直线 y=0，x=a 所围平面图形的面积相等，求 a 的值（分数：2.00）_设 P(a，b)是曲线 y= （分数：4.00）(1).求 P 点处的切线方程；（分数：2.00）_(2).由()中的切线与曲线及 x 轴，y 轴所围成图形绕 x 轴旋转，把所得旋转体的体积表示成 a 的函数，并求其最小值（分数：2.00）_求下列平面图形的面积：（分数：4.00）(1).y=x，y=xlnx 及 x 轴所围图形；（分数：2.00）_(2).y=s
6、inx，y=cosx，x=0，x=2 所围图形（分数：2.00）_22.设由曲线 y= 与直线 y=a(其中常数 a 满足 0a1)以及 x=0x=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点 （分数：2.00）_23.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在0， （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_25.设 f(x)为连续函数，证明： （分数：2.00）_26.设 f(x)在A，B上连续，
7、AabB，求证： （分数：2.00）_设 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)= 0 x (2t 一 x)f(t)dt 求证：（分数：4.00）(1).若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数（分数：2.00）_(2).(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点（分数：2.00）_27.证明：当 x0 且 n 为自然数时 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 211 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
8、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+) B.f(x)f(x+)C.f(x)f(x+)D.当 x0 时，f(x)f(x+)；当 x0 时，f(x)f(x+)解析：解析：在积分 sintdt 中，令 u=t+，则 f(x)=3.设常数 0，I 0 = （分数：2.00）A.I 0 I 2 B.I 0 I 2 C.I 0 =I 2 D.I 0 与 I 2 的大小与 的取值有关解析：解析： 当 0x 4.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A. e + (k1)B. 0 + x C. -1 1 D. -1 1 解析：解析：对于(A)：由于
9、当 k1 时 收敛5.设 f(t)= 0 1 ln （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：f(0)= 0 1 lnxdx=(xlnx 一 x) 0 1 =一 1 因 f(t)=一 1=f(0)，故函数 f(t)在t=0 处连续 又 f - (0)= 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.设 y=f(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由 f(0)=0 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得 0 1 f(x)dx= 0 1 7.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b
10、)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.已知 f(x)连续， 0 1 f(x)dx=5，则 0 1 f(x) x 1 f(t)dtdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 F(x)= 1 x f(t)dt，从而 F(x)=f(x)，且 F(1)=0，F(0)= 1 0 f(t)dt=一 0 1 f(t)dt 0 1 f(x) x 1 f(t)dtdx=一 0 1 f(x)F(x)dx=一 0 1 F(x)dF(x) =一 9.设 f
11、(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt=x 2 0 x f(t)dt 一 0 x xt 2 f(t)dt， 所以 F(x)=2x 0 x f(t)dt+x 2 f(x)一 x 2 f(x)=2x 0 x f(t)dt 又依题设，当 x0 时 F(x)与x 2 为等价无穷小，从而 10.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
12、答案： ）解析：解析：用分部积分法由于 f(x)= ，故11. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：令 x 2 =t，则 12. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1+*)）解析：解析：因(xe x )=e x (x+1)，令 xe x =t，则 dt=e x (x+1)dx，于是 三、解答题(总题数：18，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 a0，f(x)在(一，+)
13、上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I(a)= -a a f(t+a)一 f(t 一 a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)一 f( 一 a)2a= f(+a)一 f( 一 a)，一 aa 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f()2a=f()， 一 a+a 于是 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在(一，+)连续，在点 x=0 处可导且 f(0)=0令 （分数：4.00）(1).试求 A 的值，使 F(x)在(一，+)上连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变
14、上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 )解析：(2).求 F(x)并讨论其连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时 F(x)=一 f(t)dt 在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得)解析：17.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)= ， (*) 由 f(x)连续及 x 2 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2 (x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f
15、(x)2x f(x)=x 在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0 于是(*)式 两边积分( 0 x )得 0 x f(t)dt= 0 x tdt，f(0)=0，f(x)= )解析：18.求函数 f(x)= e x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得由 f(x)= 0，xe，e 2 ， 可知 f(x)在e，e 2 上单调增加，故 )解析：19.设曲线 y=ax 2
16、+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，已知该曲线过原点，因而 c=0又当 0x1 时，y0，可知 a0，a+b于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围面积为 0 1 (ax 2 +bx)dx= 该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为 V= 0 1 y 2 dx= 0 1 (ax 2 +bx) 2 dx 可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体体积最小，a，b 的值应分别是 b= )解析：20.求由直线 x=1，x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积（分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：设(x 0 ，y 0 )为切点，如图 31，则切线方程为 yy 0 =(1+lnx 0 )(x 一 x 0 ) 由此可知所围图形面积为 S= 1 3 xlnx 一y 0 +(1+lnx 0 )(x 一 x 0 )dx = ln322y 0 +(1+lnx 0 )(42x 0 ) = ln32 一2x 0 lnx 0 +(1+lnx 0 )(42x 0 ) = ln36+2x 0 一 4lnx 0 ， 故当 x 0 =2 时，S 取得最小值，且 minS= )解析：21.过原点作曲线 y=lnx 的切线，设切点为 x 0 ，且由曲线 y=lnx，直线 y=0，x=x 0
18、所围平面图形的面积与由曲线 y=x 3 ，直线 y=0，x=a 所围平面图形的面积相等，求 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=lnx 上一点(x 0 ，lnx 0 )的切线方程为 y 一 lnx 0 = (x 一 x 0 ) 由于切线过原点，故有 lnx 0 =1x 0 =e 由 y=lnx，x 0 =e，y=0 所围图形面积 S= 1 e lnxdx=(xlnx 一 x) 1 e =1 所以 0 a x 3 dx= )解析：设 P(a，b)是曲线 y= （分数：4.00）(1).求 P 点处的切线方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 32，P 处切线
19、方程的斜率为 ，因而 P 处切线方程可表示为 )解析：(2).由()中的切线与曲线及 x 轴，y 轴所围成图形绕 x 轴旋转，把所得旋转体的体积表示成 a 的函数，并求其最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该切线交 x 轴于(10 一 a，0)，所求旋转体体积 V，可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积，即 故使 V 取得最小值的 a= )解析：求下列平面图形的面积：（分数：4.00）(1).y=x，y=xlnx 及 x 轴所围图形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 33由 x=xlnx，知两曲线的交点为(e，e) 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积 e 2
20、 减去定积分 1 e xlnxdx，即 )解析：(2).y=sinx，y=cosx，x=0，x=2 所围图形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 34所求面积为 )解析：22.设由曲线 y= 与直线 y=a(其中常数 a 满足 0a1)以及 x=0x=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲线 y= 与直线 y=a(其中 0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图 D 1 =(x，y)ay1，0x ， D 2 =(x，y)0ya， x1 在 D 1 绕 y 轴旋转
21、一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状是圆形薄片，其半径 厚度为 dy，从而这个圆形薄片的体积 dV=(1 一 y 2 )dy，于是区域 D 1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 (a)=f 一 (1 一 y 2 )dy= a 1 (1 一 y 2 )dy=1 一 a 一 在 D 2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为 ， 外半径为 1，厚度为 dy，从而这个圆环形薄片的体积为dV=1 一(1 一 y 2 )dy=y 2 dy，故区域 D 2 绕 Y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 2 (a)= 0 a y 2 dy= a 3 把
22、 V 1 (a)与 V 2 (a)相加，就得到了 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)=( a 3 ) 由于 V(a)=(2a 2 1)= )解析：23.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 t=u，则 0 x f(x 一 t)dt= 0 x f(u)du于是 f(x) 0 x f(u)du=sin 4 x，d 0 x f(u)du 2 =2sin 4 xdx )解析：24.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_正确答案：
23、(正确答案：由于 3 f(x)dx=f(0)，根据积分中值定理， f() 因而 f()=f(0) ( ，1)根据题设 f(x)在0，上满足罗尔定理的条件，因此 )解析：25.设 f(x)为连续函数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在左端表达式中令 x=2t，可得 在式的第二个表达式中令 t= ，可得在式的第一个表达式中令 t= ，则 将式与式代入式可得 左= )解析：解析：所证等式左右两端积分区间相同，被积函数都含 ，不同点是左端被积函数中含26.设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 xa，b，h充分小时，x+hA，B，因
24、而 f(x+h)一 f(x)在a，b上连续对 a b f(x+h)dx 作积分变量替换，则有 a b f(x+h)一 f(x)dx a+h b+h f(t)dt 一 a b f(t)dt= a b+h f(t)dt 一 a a+h f(t)dt 由于上式每一项对 h 可导且 h0 时均趋于零因此，由洛必达法则有 )解析：解析：下面的证法对吗? 左端= a b = a b f(x)dx=f(b)一 f(a)=右端 不对!错在哪里?错在：1把极限运算移进积分号内(即交换积分与极限运算的顺序)没有根据；2题设中没有假设 f(x)可导，因此得不到 正确证法应该是通过变量替换把 a b f(x+h)一
25、f(x)dx 转化为变限积分，然后用洛必达法则求 设 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)= 0 x (2t 一 x)f(t)dt 求证：（分数：4.00）(1).若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)在(一，+)上有定义，且 F(x)=2 0 x tf(t)dt 一 x 0 x f(t)dt，故 F(一 x)=2 0 -x tf(t)dt+x 0 -x f(t)dt作换元 t=一 u，则当 t：0一 x u：0x，且 dt=一du，代入可得 )解析：(2).(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点（分数：2.00）
26、_正确答案：(正确答案：显然 F(0)=0，由 f(x)在(一，+)上有连续导数，且 f(0)0 知 0使当x 时 f(x)与 f(0)同号为确定起见，无妨设 f(0)0，于是当x 时 f(x)0计算可得 F(x)=2xf(x)一 0 x f(t)dtxf(x)=xf(x)一 0 x f(t)dt， F“(x)=xf(x)+f(x)一f(x)=xf(x) )解析：27.证明：当 x0 且 n 为自然数时 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 0 x (tt 2 )sin 2n tdt，则 f(x)=(x 一 x 2 )sin 2n x当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)时 f(x)=0 外，均有 f(x)0，故 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0 时，sintt，于是当 x0 时有 f(x)f(1)= 0 1 (t 一 t2)sin 2n tdt 0 1 (t 一 t 2 )t 2n dt = )解析：
