1、考研数学三（微积分）模拟试卷 210 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -1 1 f(x)dx 都存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx 的值（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数D.为零4.设 F(x)=f(x)，则（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数B.当 f(x)为偶函数时；
2、F(x)一定是奇函数C.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定也是以 T 为周期的函数D.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定不是以 T 为周期的函数5.设 f(x)在(一，+)上连续，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 -a a f(x)dx0B.若 f(x)为奇函数，则 -a a f(x)dx2 0 a f(x)dxC.若 f(x)为非奇非偶函数，则 -a a f(x)dx0D.若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)= 0 x f(t)dt 是以 T 为周期的周期函数二、填空题(总题数：9，分数：18.00)
3、6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.(lnlnx+ （分数：2.00）填空项 1:_9.(cosx 一 sinx)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.ln(sinx)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14. 0 a （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列不
4、定积分：（分数：12.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).(x1)； （分数：2.00）_(4).e 2x (1+tanx) 2 dx；（分数：2.00）_(5). （分数：2.00）_(6).maxx 3 ，x 2 ，1dx（分数：2.00）_求下列定积分：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). 0 1 ( （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_求下列定积分：（分数：6.00）(1). -1 1 xln(1+e x )dx；（分数：2.00）_(2). -1 1 （分数：2.00）_(3). 0 1 ln(1+ （分数：2.
5、00）_求下列定积分：（分数：6.00）(1). 0 1 （分数：2.00）_(2). 0 1 （分数：2.00）_(3). 0 2 （分数：2.00）_16.已知 （分数：2.00）_17.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且当 x0 时，满足 f(x)F(x)= （分数：2.00）_18.设 f(lnx)= （分数：2.00）_19.设 f(x)=arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_求下列积分(其中 n=1，2，3，)：（分数：4.00）(1).I n = （分数：2.00）_(2).J n = （分数：2.00）_考研数学三（微
6、积分）模拟试卷 210 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -1 1 f(x)dx 都存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：像这类题需逐一分析上述四个选项的 f(x)均不连续 对于(A)：显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上，f(x)一定存在原函数因为当 x0时x=f(x)，因此当 x0 时，f(x)的全体原函数x+C 在 x=0 处不可导，
7、从而在任意一个包含 x=0在内的区间上，x+C 不是 f(x)的原函数，所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 -1 1 f(x)dx 存在，因为 f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B)：显然 x=0 是f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该 f(x)存在原函数 F(x)= (容易验证，当一x+时F(x)=f(x)而定积分 -1 1 f(x)dx 不存在，因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C)：显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此 f(x)在包含 x=0 在内的区间上不存在原函数定积分 -1 1 f(x)dx
8、 也不存在故(C)也不对 对于(D)：显然 x=0 是 f(x)的第二类间断点，容易验证该 f(x)在(一，+)上存在原函数 F(x)= 3.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx 的值（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数 D.为零解析：解析：由于被积函数 ln(2+cosx)cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 原式= 0 2 (2+cosx)cosxdx= - ln(2+cosx)cosxdx =2 0 ln(2+cosx)cosxdx=2 0 ln(2+cosx)d(sinx) =2sinxln(2+cosx) 0 0 sin
9、xdln(2+cosx)= 0 4.设 F(x)=f(x)，则（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数 B.当 f(x)为偶函数时；F(x)一定是奇函数C.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定也是以 T 为周期的函数D.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定不是以 T 为周期的函数解析：解析：令 F(x)= +1，则 f(x)=x 2 是偶函数，但 F(x)不是奇函数，故可排除(B) 令 F(x)=sinx+x，则 f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故可排除(C) 令 F(x)=sinx，则f(x)=cos
10、x，f(x)和 F(x)都是周期函数，故可排除(D) 当 f(x)为奇函数时，F(x)= 0 x f(t)dt+C，而 F(一 x)= 0 -x f(t)dt+C 5.设 f(x)在(一，+)上连续，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 -a a f(x)dx0B.若 f(x)为奇函数，则 -a a f(x)dx2 0 a f(x)dxC.若 f(x)为非奇非偶函数，则 -a a f(x)dx0D.若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)= 0 x f(t)dt 是以 T 为周期的周期函数 解析：解析：由于 f(x)=0 既是偶函数又是奇函数
11、，且 -a a 0dx=0，所以不选 A，B 若 f(x)为非奇非偶函数，也可能有 -a a f(x)dx=0例如 f(x)= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.(lnlnx+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xlnlnx+C）解析：解析：原式=(lnlnx+x9.(cosx 一 sinx)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+C）解析：解析：10.设 f(x
12、)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 cotx=t，则 x0 + 时 t+，x= 时 t=0，故 再令 t= ，则 t+时x0 + ，t0 + 时 x+，于是 12. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.ln(sinx)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14. 0 a （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积
13、分法三、解答题(总题数：10，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列不定积分：（分数：12.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：(3).(x1)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(4).e 2x (1+tanx) 2 dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到(1+tanx) 2 = +2tanx，这样被积函数分成了两项于是 e 2x (1+tanx) 2 dx=e 2x ( )解析：(5). （分数：2.00
14、）_正确答案：(正确答案： )解析：(6).maxx 3 ，x 2 ，1dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于被积函数是 maxx 3 ，x 2 ，1，所以首先要对 x 的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整”求解如下： 令 f(x)=maxx 3 ，x 2 ，1= ，则 当 x一 1 时，f(x)dx=x 2 dx= x 3 +C 2 ； 当一 1x1时，f(x)ddx=dx=x+C 2 ； 当 x1 时，f(x)dx=x 3 dx= x 4 +C 3 由于原函数的连续性，有 令 C 2 =C，则 C 1 =一 +C，故 max
15、x 3 ，x 2 ，1dx= )解析：求下列定积分：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). 0 1 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得 )解析：解析：先用凑微分法求 或用变量替换令 t=tanx，则 x=arctant，dx 于是 现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为函数处无意义，可知 上的原函数，它在积分区间0， 上也不连续，故不符合牛顿莱布尼茨公式及其推广的条件 用换元法
16、令 t=tanx，则 =tan0=0，=tan =一 1于是 这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间0，求下列定积分：（分数：6.00）(1). -1 1 xln(1+e x )dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= 0 1 xln(1+e x )dx+ -1 0 xln(1+e x )dx 又 -1 0 xln(1+e x )dx tln1n(1+e t )一 tdt=一 0 1 tln(1+e t )dt+ 0 1 t 2 dt =一 0 1 xln(1+e x )dx+ 0 1 x 2 dx， 因此，原式= 0 1 x
17、 2 dx= )解析：(2). -1 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= 由积分区间的对称性及函数奇偶性可知 )解析：(3). 0 1 ln(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分部积分法可得 )解析：求下列定积分：（分数：6.00）(1). 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt，故 )解析：(2). 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分部积分法，可在(0，+)内求得不定积分 由 xlnx=0，可定义被积函数在 x=0 处的值为 0，于是被积函数在0，+)上连续又由 x 2 lnx=0
18、，令 则在0，+)上，有 =F(x)+C 因此 )解析：(3). 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 x 一 1=sint，则 dx=costdt，故 )解析：16.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分得x 3 f(x)dx=x 3 f(x)一 3x 2 f(x)dx )解析：17.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且当 x0 时，满足 f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对等式两边积分，得 又由 F(x)0，F(0)=一 1，可知 C=0，于是 F(x)= 因而，f(x)=F(x)= )解析：18.设 f(lnx)= （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t 或 x=e t ，则 上式积分得 f(t)= 由 f(t)在 t=0 处连续，即f(0 + )=f(0 - )=f(0)=0，得 C 1 =0，C 2 =一 1故所求的函数为 )解析：19.设 f(x)=arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)dx= 0 1 f(x 一 1)=(x1)f(x) 0 1 一 0 1 (x 一 1)f(x)dx =f(0)一 0 1 (x 一 1)f(x)dx=一 0 1 (x 一 1)arcsin(x 一 1) 0 1 dx )解析：求下列积分(其中 n=1，2，3，)：（分数：4.00）(1).I n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用公式 f(x)+f(一 x)dx，并令 f(x)=cos n xarctane x 可得 I n = cos n xarctane x +cos n (一 x)arctane -x dx 在上面利用了恒等式 arctane x +arctan )解析：(2).J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立 J n 的递推公式首先 )解析：
