1、考研数学三（微积分）模拟试卷 209 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(0)0C.有极大值D.有极小值3.若 xf“(x)+3xf(x) 2 =1 一 e -x 且 f(x)=0(x 0 0)，则（分数：2.00）A.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x
2、0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )是 f(x)的极大值4.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.曲线 y=f(x)=一 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.曲线 y=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=xln(e+ （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线(x 一 1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_1
3、0.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aP b ，其中 a 和 b 是常数，且 a0，则该商品需求对价格的弹性 （分数：2.00）填空项 1:_11.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=1005P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设生产某产品的固定成本为 c，边际成本 C(Q)=2aQ+b，需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= （分数：6.00）(1).产量 Q 为多少时，利润最大?最大利润
4、是多少?（分数：2.00）_(2).这时需求对价格的弹性是多少?（分数：2.00）_(3).需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?（分数：2.00）_13.设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数 Q=1200080P；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数C=25000+50Q；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额（分数：2.00）_求下列函数带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)=e x cosx (3 阶)；（分数：2.00）_(2).f(x)= （分数：2.00）_求下列函数的带皮亚诺余项的麦
5、克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)= （分数：2.00）_(2).f(x)=xln(1 一 x 2 )（分数：2.00）_确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：（分数：4.00）(1).f(x)=e x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）_(2).f(x)=(1+ （分数：2.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_14.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_15.设 f(x)在点 x=0 处具有二阶导数，且 （分数：2.00）_16.设 f(x)在 x=a 处 n
6、阶可导(n2)，且当 xa 时 f(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小量求证；f(x)的导函数f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n 一 1 阶无穷小量（分数：2.00）_17.设 f(x)在点 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0求证：当 f (4) (a)0 时f(a)是 f(x)的极小值；当 f (4) (a)0 时 f(a)是 f(x)的极大值（分数：2.00）_18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶连续导数求证：存在 (a，b)，使得 f(b)一2f （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 209
7、 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(0)0 C.有极大值D.有极小值解析：解析：因 =2，由极限的保号性质知， 0，使当 0x 时 0，由于 1一 cosx0当 0x 时 f(x)0，又 f(0)=0，故 f(x)在 x=0 取得极小值故应选 D 可以举反例来说明 A，B 不正确取 f(x)=xsinx，满足 f(0)=0，3.若 xf“(x)+3
8、xf(x) 2 =1 一 e -x 且 f(x)=0(x 0 0)，则（分数：2.00）A.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )是 f(x)的极大值解析：解析：由题设知 f“(x)=一 3f(x) 2 + ，又由 f“(x)存在可知 f(x)连续，再由 在x=x 0 0 附近连续可知 f“(x)在 x=x 0 附近连续，于是 f“(x 0 ) 4.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：
9、令 f(x)=arctan ，f(x)的定义域是(一，一 2)(2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1 与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因 故 y=5.曲线 y=f(x)=一 （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：f(x)的定义域为(一，一 1)(一 1，1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令 f“(x)=0，解得 x 1 =0，x 2 =2；f“(x)不存在的点是 x 3 =一 1，x 4 =1(也是 f(x)的不连续点) 现列下表： 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.曲线 y=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （
10、正确答案：正确答案：y=0）解析：解析：函数 y=x 2 的定义域是(一，+)，因而无铅直渐近线又因 故曲线 y=x 2 7.曲线 y=xln(e+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+*）解析：解析：本题中曲线分布在右半平面 x0 上，因 xlnx=00=0，故该曲线无垂直渐近线又其中利用了当 x时 ，故曲线仅有斜渐近线 y=x+8.曲线(x 一 1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x 一 7）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(x 一 1) 3 =y 2 两边对 x 求导，得 3(x
11、一 1) 2 =2yy 令x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x 一 1) 3 =y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x 一 5) y=3x 一79.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因 y=lnx 上点(x 0 ，y 0 )=(x 0 ，lnx 0 )(x 0 0)处的切线方程是 y=lnx 0 + +lnx 0 一 1，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 10.设某商品的需求量
12、Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aP b ，其中 a 和 b 是常数，且 a0，则该商品需求对价格的弹性 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b）解析：解析：11.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=1005P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10P20）解析：解析：由 Q=1005P0 P0，20三、解答题(总题数：12，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设生产某产品的固定成本为 c，边际成本 C(Q)=2aQ+b，需求
13、量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= （分数：6.00）(1).产量 Q 为多少时，利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可得总成本函数 c(Q)=c+ 0 Q (2at+6)dt=aQ 2 +bQ+c， 从而总利润函数 L(Q)=PQC(Q)=(deQ)QaQ 2 一 bQc=一(a+e)Q 2 +(d 一 b)Qc， 令 L(Q)=d 一 b2(a+e)Q=0 可得出唯一驻点 Q 0 = ，且 L“(Q 0 )=一 2(a+e)0， 可知上述驻点是 L(Q)的极大值点，而且 L(Q)也在该点取得最大值，故最大利润 maxL=L(Q 0 )= )解析：(
14、2).这时需求对价格的弹性是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这时需求对价格的弹性 )解析：(3).需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：13.设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数 Q=1200080P；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数C=25000+50Q；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 Q=1200080P， C=25000+50Q=25000+50(1200080P)=6250004000P， 故总利润函数 L
15、=PQC 一 2Q=(P 一 2)QC=(P 一 2)(1200080P)一 625000+4000P =一 80P 2 +16160P 一649000。 计算可得 )解析：求下列函数带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)=e x cosx (3 阶)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 e 2 =1+x+ x 3 +(x 3 )与 cosx=1 一 x 2 +(x 3 )相乘，即得 e x cosx=1+x+ x 3 +(x 3 )=1+x 一 )解析：(2).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 t= =2x1+x+
16、x 2 +(x 2 )=2x+x 2 +x 3 +(x 3 )， t 2 =( ) 2 =4x 2 1+x+(x) 2 =4x 2 1+2x+(x)=4x 2 +2x 3 +(x 3 )， t 3 =( ) 2 =8x 3 1+(1) 2 =8x 3 +(x 3 ) (其中 (1)表示当 x0 时的无穷小量)，把它们代入(*)式即得 2x+x 2 +x 3 +(x 3 ) 4x 2 +2x 3 +(x 3 ) + 8x 3 +(x 3 )+(x 3 ) =1+x+x 2 +x 3 +(x 3 )一 x 2 +2x 3 +(x 3 )+ x 3 +(x 3 )+(x 3 ) =1+x+ )解析：
17、求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).f(x)=xln(1 一 x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=一 x 2 代入已知的麦克劳林公式 )解析：确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：（分数：4.00）(1).f(x)=e x 一 1 一 x 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用麦克劳林公式 故 f(x)=e x 一 1 一 x 一 )解析：(2).f(x)=(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用麦克劳林公式 cosx=1 一 x
18、4 +(x 5 )可得 )解析：求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时分母是 x 3 阶的无穷小量，而当 x0 时 e x =1+x+ +(x 3 )，sinx=x 一 +(x 3 )， 因此当 x0 时，e x sinx=1+x+ +(x 3 ) 注意到当 x0 时 从而当 x0 时，e x sinx=x+x 2 +( )x 3 +(x 3 )，e x sinxx(1+x)= x 3 +(x 3 ) 因此 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x
19、0 时 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x 3 +(x 3 )， arctanx=x 一 x 3 +(x 3 )， arctanxsinx=一 x 3 +(x 3 )， +(x 4 )一 1=x 2 +(x 3 )，ln(1+x)=x 一 +(x 2 )， ln(1+x) 2 =x +(x 2 ) 2 =x 2 x 3 +2xo(x 2 )x 2 o(x 2 )+ +(x 2 ) 2 =x 2 一 x 3 +(x 3 )， ln(1+x) 2 一 +1=一 x 3 +(x 3 ) 于是原式= )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.确定常数 a
20、和 b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(12x+3x 2 )=一 2x+3x 2 一 (一 2x+3x 2 ) 2 +(一 2x+3x 2 ) 2 ) =一 2x+3x 2 2x 2 +(x 2 )=一 2x+x 2 +(x 2 )， )解析：15.设 f(x)在点 x=0 处具有二阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可得 =3，从而当 x0 时必有 ln1+x+ =3x+(x)， 于是 1+x+ =e 3x+(x) =1+3x+(x)+(3x+(x)=1+3x+(x)， 故当 x0 时有 =2 把 f(x)当x0 时的带皮亚诺余项的麦
21、克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x 2 +(x 2 )代入就有 )解析：16.设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导(n2)，且当 xa 时 f(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小量求证；f(x)的导函数f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n 一 1 阶无穷小量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导且 =A0 知，把 f(x)在 x=a 的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式代入即得 从而 f(a)=f(a)=f“(a)=f (n1) (a)=0，f (n) (a)=n!A0 设 g(x)=f(x)，由题设知 g(x)在 x
22、=a 处 n 一 1 阶可导，且 g(a)=f(a)=0，g(a)=f“(a)=0，g (n2) (a)=f (n1) (a)=0， g (n1) (a)=f (n) (a)=n!A0 由此可得 f(x)=g(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 n 一 1 阶泰勒公式为 f(x)=g(x)=g(a)+g(a)(x 一 a)+ (x 一 a) n2 + (xa) n1 +(x 一 a) n1 = )解析：17.设 f(x)在点 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0求证：当 f (4) (a)0 时f(a)是 f(x)的极小值；当 f (4) (a)
23、0 时 f(a)是 f(x)的极大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可得 f(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式为 f(x)=f(a)+f(x 一 a)+ f“(a)(x 一 a) 3 + f (4) )(a)(x 一 a)+(x 一 a) 4 ) =f(a)+ f (4) (a)(x 一 a) 4 +(x 一 a) 4 )， 从而 由极限的保号性质可得，存在 0 使得当 0x 一 a 时 )解析：18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶连续导数求证：存在 (a，b)，使得 f(b)一2f （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x= 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式可得 由闭区间上连续函数的性质可得，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f“()= f“( 1 )+f“( 2 )，代入上式可知，存在 (a，b)，使得 f(b)一 )解析：
