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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)模拟试卷208及答案解析.doc

    • 资源ID:1395177       资源大小:241KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)模拟试卷208及答案解析.doc

    1、考研数学三(微积分)模拟试卷 208 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.若极限 (分数:2.00)A.不一定可导B.不一定可导,但 f + (a)=AC.不一定可导,但 f - (a)=AD.可导,且 f(a)=A3.设有多项式 P(x)=x+a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ,又设 x=x 0 是它的最大实根,则 P(x 0 )满足(分数:2.00)A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P 0 (x 0

    2、 )04.设 f(x)=3x 2 +x 2 x,则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=(分数:2.00)A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.设 y=cos 3 (分数:2.00)填空项 1:_6.设 y= (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x),则 f (n) (x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设 y=arctanx则 y (4) (0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_9.f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_10.设 f(x)=xe x ,则 f (n) (x)在

    3、点 x= 1 处取极小值 2(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:19,分数:38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.设 y=f(x)= (分数:2.00)_13.求曲线 y= (分数:2.00)_14.求函数 F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt (0x1)的凹凸区间(分数:2.00)_15.证明:arctanx=arcsin (分数:2.00)_16.设 f(x)=2x 3 +3x 2 12x+k,讨论 k 的取值对函数零点个数的影响(分数:2.00)_17.设当 x0 时,方程 kx+ (分数:2.00)_18.

    4、设 f(x)在a,+)上连续,在(a,+)内可导,且 (分数:2.00)_19.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0求证:如果 f(x)在(0,1)内不恒等于零,则必存在 (0,1),使得 f()f()0(分数:2.00)_20.设 p(x)在区间0,+)上连续且为负值y=y(x)在0,+)上连续,在(0,+)内满足 y+p(x)y0且 y(0)0,求证:y(x)在0,+)单调增加(分数:2.00)_21.证明:x 一102*0)(分数:2.00)_22.设 x(0,1),证明不等式 xln(1+x)+arctanx2x(分数:2.00)_23.已知以 2 为周期的

    5、周期函数 f(x)在(一,+)上有二阶导数,且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1) 2 f(x),证明存在 x 0 (2,*)使得 F“(x。)=0(分数:2.00)_24.设 ba0,f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b),求证:存在 ,(a,6)使得 f()= (分数:2.00)_25.设 0x 1 x 2 ,f(x)在x 1 ,x 2 可导,证明:在(x 1 ,x 2 )内至少存在一个 c,使得 (分数:2.00)_26.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二次可导,且 f(a)=f(b)=0, (分数:2.00)_27.设 f(x)在a,+)有连

    6、续导数,且 f(x)k0 在(a,+)上成立,又 f(a)0,其中 k 是一个常数求证:方程 f(x)=0 在(a,a 一 (分数:2.00)_28.设 f(x)在 x=0 的桌邻域内有连续的一阶导数,且 f(0)=0,f“(0)存在求证: (分数:2.00)_29.设 a0。试确定方程 e 2x =ax 2 实根的个数及每个根所在的区间(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 208 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.若极限 (分数:2.

    7、00)A.不一定可导 B.不一定可导,但 f + (a)=AC.不一定可导,但 f - (a)=AD.可导,且 f(a)=A解析:解析:只有极限 存在并不能保证极限3.设有多项式 P(x)=x+a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ,又设 x=x 0 是它的最大实根,则 P(x 0 )满足(分数:2.00)A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P 0 (x 0 )0 解析:解析:反证法设 x 0 是 P(x)=0 的最大实根,且 P(x 0 )0 0 使 0x 一 x 0 时 P(x)0,又 P(x)=+,由此可见 P(x)在区间x 0 + ,+必由

    8、取负值变为取正值,于是 x 1 x 0 ,使 P(x 1 )=0,与 x=x 0 是 P(x)=0 的最大实根矛盾故应选 D 另外,该题也可以通过 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 的图形来进行判定4 次函数与 x 轴的交点有如下四种情况,由此可知 P(x 0 )0 4.设 f(x)=3x 2 +x 2 x,则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析:因 3x 2 在(一,+)具有任意阶导数,所以 f(x)与函数 g(x)=x 2 x具有相同最高阶数的导数因 从而 g(x)= 且 g + (0)=

    9、0,g - (0)=0 综合即得 g(x)= 类似可得 g“(x)= 且 g“ + (0)=0, g“ - (0)=0 综合即得 g“(0)存在且等于 0,于是 g“(x)= 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.设 y=cos 3 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:复合函数求导数,关键在于正确了解复合结构,设 y=u 3 ,u=cosv,v= ,利用复合函数求导法则即得 6.设 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:7.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x),则 f (n) (x)= 1(分数

    10、:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(2n 一 1)!f 2n+1 (x))解析:解析:用归纳法由 f(x)=f 3 (x)=1f 3 (x)求导得 f“(x)=13f 2 (x)f(x)=13f 5 (x),再求导又得 f“(x)=135f 4 (x)f(x)=135f 7 (x),由此可猜想 f (n) (x)=13(2n 一 1)f 2n+1 (x)=(2n 一 1)!f 2n+1 (x)(n=1,2,3,) 设 n=k 上述公式成立,则有 f (k+1) (x)=f (k) (x)=(2k一 1)!f 2k+1 (x) =(2k 一 1)!(2k+1)f 2k (x)f(

    11、x)=(2k+1)!f 2k+3 (x), 由上述讨论可知当n=1,2,3,时 f (n) (x)=(2n 一 1)!f 2n+1 (x)成立8.设 y=arctanx则 y (4) (0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因 y=arctanx 是奇函数,且 y 具有任何阶连续导数,从而 y,y“是偶函数,y“,y (4) 是奇函数,故 y (4) (0)=09.f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x=0)填空项 1:_ (正确答案:x=*)解析:解析:由 f(x)的定义可知,当 x0 时 f(x)=2xlnx+x

    12、2 =x(2lnx+1),又 f - (0)= xlnxx=0,即 f(0)=0从而 这表明 f(x)有三个驻点 x 1 =一 列表讨论f(x)的单调性如下: 即 x=0 是 f(x)的极大值点,z= 10.设 f(x)=xe x ,则 f (n) (x)在点 x= 1 处取极小值 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一(n+1)为 f (n) (x),一 e -(n+1))解析:解析:由归纳法可求得 f (n) (x)=(n+x)e x ,由 f (n+1) (x)=(n+1+x)e x =0 得 f (n) (x)的驻点 x=一(n+1)因为 f (n+2) (x)

    13、三、解答题(总题数:19,分数:38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:12.设 y=f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 =0,而 f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为初等函数,所以连续 因此 f(x)在0,+)上连续 因为 x0 时 f(x)= ,令 f(x)=0,解得驻点为x=e因 0,故当 0xe 时 f(x)0;当 xe 时 f(x)0,所以 f(x)在(0,e)上严格增加,在(e,+)上严格减少 由上述 f(x)的单调性得 f(e)= 为极大值,无极小值由于 )解析:13.求

    14、曲线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设渐近线方程为 y=kx+b,则 令 t= ,并应用洛必达法则即得 )解析:14.求函数 F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt (0x1)的凹凸区间(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因当 0x1 时, F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt= 0 x (1 一 t)(x 一 t)dt+ x 1 (1 一 t)(t 一 x)dt =x 0 x (1 一 t)dt 0 x (1 一 t)tdt+ x 1 t(1 一 t)dt 一 x x 1 (1一 t)dt 从而 F(x)= 0 x (1t)dt+x(1 一 x)

    15、一(1x)x 一 x(1x)一 x 1 (1 一 t)dt+x(1 一 x) = 0 x (1 一 t)dt 一 x 1 (1 一 t)dt, F“(x)=1 一 x+(1 一 x)=2(1 一 x)0, )解析:15.证明:arctanx=arcsin (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:引入函数 f(x)=arctanxarcsin ,则 f(x)在(一,+)上具有连续导数,且 f(0)=0,又 从而当 x(一,+)时 f(x)f(0)=0,即 arctanx=arcsin )解析:16.设 f(x)=2x 3 +3x 2 12x+k,讨论 k 的取值对函数零点个数的影响(分数:2.

    16、00)_正确答案:(正确答案:f(x)=6x 2 +6x 一 12=6(x+2)(x 一 1),由 f(x)=0 得驻点 x 1 =一 2,x 2 =1,且f(一 2)为极大值,f(1)为极小值又 f(x)=+,函数的单调性与极值如下表: )解析:17.设当 x0 时,方程 kx+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x)=kx+ 一 1(x0),则 ()当 k0 时,f(x)0,f(x)单调减少,又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0,由 f(x)=0,得 x= 是极小值点,且极小值为 当极小值为零时,即当 时,有 k= ,此时方程有且仅有一个根;当 k 时,方程无根或

    17、有两个根 因此,k 的取值范围为 k0 及 k= )解析:18.设 f(x)在a,+)上连续,在(a,+)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 f(x)f(a),则结论显然成立下设 f(x) x 0 a,使得 f(x 0 )f(a)为确定起见,无妨设 f(x 0 )f(a)(否则用一 f(x)代替 f(x)进行讨论) 令 m= f(a)+f(x 0 ),则 f(a)mf(x 0 )由 f(x)在a,x 0 上连续知, (a,x 0 ),使 f()=m 又因 f(x)=f(a)m,从而 x 1 x 0 ,使 f(x 0 )m,由 f(x)在x 0 ,x 1 上连续,且f(x

    18、0 )mf(x 1 )知, (x 0 ,x 1 ),使 f()=m 综合可得,f(x)在区间,上连续且可导,又 f()=f(),故由罗尔定理可知, )解析:19.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0求证:如果 f(x)在(0,1)内不恒等于零,则必存在 (0,1),使得 f()f()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f()f()0 f 2 (x) x= 0,结合 f(0)=0,故只需考 f 2 (x)是否在(0,1上有取正值的点 因 f(x)在(0,1)上不恒等于零,从而必存在 x 0 (0,1)使 f(x 0 )0,即 f 2 (x 0 )0设 F(

    19、x)= f(x),则 F(x)在0,x 0 上连续,在(0,x 0 内可导,且 F(0)=0,F(x 0 )0由拉格朗日中值定理知 (0,1),使 )解析:20.设 p(x)在区间0,+)上连续且为负值y=y(x)在0,+)上连续,在(0,+)内满足 y+p(x)y0且 y(0)0,求证:y(x)在0,+)单调增加(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 y+p(x)y0 y+p(x)y0 设 F(x)=y(x) ,则 F(x)0当 x0 时成立,故 F(x)当 x0 时单调增加,即 x0 有 F(x)F(0)=y(0)0 x0) 设x 2 x 1 0,由 F(x)单调增加F(x 2 )F

    20、(x 1 ) 由于 y(x 1 )0, y(x 1 ),代入即得 y(x 2 )y(x 1 ) ( )解析:21.证明:x 一102*0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先证明:当 x0 时 ln(1+x)x ln(1+x)一 x0 引入函数 f(x)=ln(1+x)一 x,f(x)在0,+)可导,且 f(0)=0,f(x)= x0)从而 f(x)在0,+)上单调减少, x0 必有 f(x)f(0)=0,即当 x0 时 ln(1+x)x 成立 其次证明:当 x0 时 x 一 x 2 ln(1+x) ln(1+x)一 x+ 0引入函数 g(x)=ln(1+x)一 x+ ,g(x)在0

    21、,+)上可导,且 g(0)=0,g(x)= x0)从而 g(x)在0,+)上单调增加, x0 必有 g(x)g(0)=0即当 x0 时 x 一 x 1 ln(1+x)成立 综合即得 )解析:22.设 x(0,1),证明不等式 xln(1+x)+arctanx2x(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 x(0,1),所以欲证不等式可等价变形为 令 f(x)=ln(1+x)+arctanx,则 f(0)=0由于对 x(0,1),f(x)在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有其中 (0,x) 在0,1上的连续性与单调性可得 )解析:23.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一,+

    22、)上有二阶导数,且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1) 2 f(x),证明存在 x 0 (2,*)使得 F“(x。)=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 F(0)=F( )=o,于是由罗尔定理知,存在 x 1 (0, ),使得F(x 1 )=0又 F(x)=2(sinx 一 1)f(x)+(sinx1)2f(x), 对 F(x)应用罗尔定理,由于 F(x)二阶可导,则存在 x 0 * (x 1 , ),使得 F“(x 0 * )=0 注意到 F(x)以 2 为周期,F(x)与F“(x)均为以 2 为周期的周期函数,于是存在 x 0 =2+x 0 * ,即 x 0 (2

    23、, )解析:解析:首先,因 f(x)是周期为 2 的周期函数,则 F(x)也必为周期函数,且周期为 2,于是只需证明存在 x 0 * 0, 24.设 ba0,f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b),求证:存在 ,(a,6)使得 f()= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,故至少存在 (a,b),使 令 g(x)=x 2 ,由柯西中值定理知, (a,b),使 将式代入式,即得 f()=(a+b) )解析:25.设 0x 1 x 2 ,f(x)在x 1 ,x 2 可导,证明:在(x 1 ,x 2 )内至少存在一个 c,

    24、使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意 当 0x 1 x 2 时,在区间x 1 ,x 2 上对函数 F(x)=e -x f(x)与G(x)=e -x 用柯西中值定理知, c(x 1 ,x 2 ),使得 )解析:26.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二次可导,且 f(a)=f(b)=0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由罗尔定理知 (a,b)使 f()=0又由 0因 f(x)在a,上满足拉格朗日中值定理的条件,于是 (a,),使 最后,因 f(x)在区间,上满足拉格朗日中值定理的条件,故 (a,b),使 )解析:27.设 f(x)在a,+)有连续导数,且 f(

    25、x)k0 在(a,+)上成立,又 f(a)0,其中 k 是一个常数求证:方程 f(x)=0 在(a,a 一 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f(x)在区间a,a 一 上漓足拉格朗日中值定理的条件,由拉格朗日中值定理 由于 f(x)在区间a,a 一 0,由连续函数的介值定理知 ,使 f()=0,又由 f(x)0,f(x)在(a,+)上单调增加可知,f(x)在(a,a 一 )解析:28.设 f(x)在 x=0 的桌邻域内有连续的一阶导数,且 f(0)=0,f“(0)存在求证: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x(一 1,+)时因为 ln(1+x)x,故由拉格朗日中值定理

    26、可知,存在 (x)(ln(1+x),x),使得 )解析:29.设 a0。试确定方程 e 2x =ax 2 实根的个数及每个根所在的区间(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程 e 2x =ax 2 g(x)=x 2 e -2x = ,函数 g(x)=x 2 e -2x 的定义域为(一,+),且 g(x)=2x(1 一 x)e -2x ,其驻点为 x=0 与 x=1,且 g(x)=0,列表讨论 g(x)的单调性与极值,可得 由 y=g(x)的图像(图 22)可知,当 即 0ae 2 时 g(x)= 有且只有一个负根 x 1 ;当 即 a=e 2 时 g(x)= 恰有二根 x 1 0 和 x 2 =1;当 吉即 ae 2 时 g(x)= 恰有三个根 x 1 0,0x 2 1 及 x 3 1 )解析:解析:方程 e 2x =ax 2 有两个等价方程 f(x)= =a 和 g(x)=x 2 e -2x = ,以下解答中考察等价方程 g(x)=


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