1、考研数学三（微积分）模拟试卷 208 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f - (a)=AD.可导，且 f(a)=A3.设有多项式 P(x)=x+a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P 0 (x 0
2、 )04.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 y=cos 3 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=arctanx则 y (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在
3、点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 y=f(x)= （分数：2.00）_13.求曲线 y= （分数：2.00）_14.求函数 F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt (0x1)的凹凸区间（分数：2.00）_15.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_16.设 f(x)=2x 3 +3x 2 12x+k，讨论 k 的取值对函数零点个数的影响（分数：2.00）_17.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_18.
4、设 f(x)在a，+)上连续，在(a，+)内可导，且 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0求证：如果 f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在 (0，1)，使得 f()f()0（分数：2.00）_20.设 p(x)在区间0，+)上连续且为负值y=y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内满足 y+p(x)y0且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_21.证明：x 一102*0)（分数：2.00）_22.设 x(0，1)，证明不等式 xln(1+x)+arctanx2x（分数：2.00）_23.已知以 2 为周期的
5、周期函数 f(x)在(一，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1) 2 f(x)，证明存在 x 0 (2，*)使得 F“(x。)=0（分数：2.00）_24.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，6)使得 f()= （分数：2.00）_25.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少存在一个 c，使得 （分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二次可导，且 f(a)=f(b)=0， （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，+)有连
6、续导数，且 f(x)k0 在(a，+)上成立，又 f(a)0，其中 k 是一个常数求证：方程 f(x)=0 在(a，a 一 （分数：2.00）_28.设 f(x)在 x=0 的桌邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证： （分数：2.00）_29.设 a0。试确定方程 e 2x =ax 2 实根的个数及每个根所在的区间（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 208 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若极限 （分数：2.
7、00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f - (a)=AD.可导，且 f(a)=A解析：解析：只有极限 存在并不能保证极限3.设有多项式 P(x)=x+a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P 0 (x 0 )0 解析：解析：反证法设 x 0 是 P(x)=0 的最大实根，且 P(x 0 )0 0 使 0x 一 x 0 时 P(x)0，又 P(x)=+，由此可见 P(x)在区间x 0 + ，+必由
8、取负值变为取正值，于是 x 1 x 0 ，使 P(x 1 )=0，与 x=x 0 是 P(x)=0 的最大实根矛盾故应选 D 另外，该题也可以通过 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 的图形来进行判定4 次函数与 x 轴的交点有如下四种情况，由此可知 P(x 0 )0 4.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因 3x 2 在(一，+)具有任意阶导数，所以 f(x)与函数 g(x)=x 2 x具有相同最高阶数的导数因 从而 g(x)= 且 g + (0)=
9、0，g - (0)=0 综合即得 g(x)= 类似可得 g“(x)= 且 g“ + (0)=0， g“ - (0)=0 综合即得 g“(0)存在且等于 0，于是 g“(x)= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 y=cos 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设 y=u 3 ，u=cosv，v= ，利用复合函数求导法则即得 6.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数
10、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2n 一 1)!f 2n+1 (x)）解析：解析：用归纳法由 f(x)=f 3 (x)=1f 3 (x)求导得 f“(x)=13f 2 (x)f(x)=13f 5 (x)，再求导又得 f“(x)=135f 4 (x)f(x)=135f 7 (x)，由此可猜想 f (n) (x)=13(2n 一 1)f 2n+1 (x)=(2n 一 1)!f 2n+1 (x)(n=1，2，3，) 设 n=k 上述公式成立，则有 f (k+1) (x)=f (k) (x)=(2k一 1)!f 2k+1 (x) =(2k 一 1)!(2k+1)f 2k (x)f(
11、x)=(2k+1)!f 2k+3 (x)， 由上述讨论可知当n=1，2，3，时 f (n) (x)=(2n 一 1)!f 2n+1 (x)成立8.设 y=arctanx则 y (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 y=arctanx 是奇函数，且 y 具有任何阶连续导数，从而 y，y“是偶函数，y“，y (4) 是奇函数，故 y (4) (0)=09.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0）填空项 1:_ （正确答案：x=*）解析：解析：由 f(x)的定义可知，当 x0 时 f(x)=2xlnx+x
12、2 =x(2lnx+1)，又 f - (0)= xlnxx=0，即 f(0)=0从而 这表明 f(x)有三个驻点 x 1 =一 列表讨论f(x)的单调性如下： 即 x=0 是 f(x)的极大值点，z= 10.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一(n+1)为 f (n) (x)，一 e -(n+1)）解析：解析：由归纳法可求得 f (n) (x)=(n+x)e x ，由 f (n+1) (x)=(n+1+x)e x =0 得 f (n) (x)的驻点 x=一(n+1)因为 f (n+2) (x)
13、三、解答题(总题数：19，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为初等函数，所以连续 因此 f(x)在0，+)上连续 因为 x0 时 f(x)= ，令 f(x)=0，解得驻点为x=e因 0，故当 0xe 时 f(x)0；当 xe 时 f(x)0，所以 f(x)在(0，e)上严格增加，在(e，+)上严格减少 由上述 f(x)的单调性得 f(e)= 为极大值，无极小值由于 )解析：13.求
14、曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设渐近线方程为 y=kx+b，则 令 t= ，并应用洛必达法则即得 )解析：14.求函数 F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt (0x1)的凹凸区间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因当 0x1 时， F(x)= 0 1 (1 一 t)x 一 tdt= 0 x (1 一 t)(x 一 t)dt+ x 1 (1 一 t)(t 一 x)dt =x 0 x (1 一 t)dt 0 x (1 一 t)tdt+ x 1 t(1 一 t)dt 一 x x 1 (1一 t)dt 从而 F(x)= 0 x (1t)dt+x(1 一 x)
15、一(1x)x 一 x(1x)一 x 1 (1 一 t)dt+x(1 一 x) = 0 x (1 一 t)dt 一 x 1 (1 一 t)dt， F“(x)=1 一 x+(1 一 x)=2(1 一 x)0， )解析：15.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入函数 f(x)=arctanxarcsin ，则 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)=0，又 从而当 x(一，+)时 f(x)f(0)=0，即 arctanx=arcsin )解析：16.设 f(x)=2x 3 +3x 2 12x+k，讨论 k 的取值对函数零点个数的影响（分数：2.
16、00）_正确答案：(正确答案：f(x)=6x 2 +6x 一 12=6(x+2)(x 一 1)，由 f(x)=0 得驻点 x 1 =一 2，x 2 =1，且f(一 2)为极大值，f(1)为极小值又 f(x)=+，函数的单调性与极值如下表： )解析：17.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=kx+ 一 1(x0)，则 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0，由 f(x)=0，得 x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或
17、有两个根 因此，k 的取值范围为 k0 及 k= )解析：18.设 f(x)在a，+)上连续，在(a，+)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)f(a)，则结论显然成立下设 f(x) x 0 a，使得 f(x 0 )f(a)为确定起见，无妨设 f(x 0 )f(a)(否则用一 f(x)代替 f(x)进行讨论) 令 m= f(a)+f(x 0 )，则 f(a)mf(x 0 )由 f(x)在a，x 0 上连续知， (a，x 0 )，使 f()=m 又因 f(x)=f(a)m，从而 x 1 x 0 ，使 f(x 0 )m，由 f(x)在x 0 ，x 1 上连续，且f(x
18、0 )mf(x 1 )知， (x 0 ，x 1 )，使 f()=m 综合可得，f(x)在区间，上连续且可导，又 f()=f()，故由罗尔定理可知， )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0求证：如果 f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在 (0，1)，使得 f()f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f()f()0 f 2 (x) x= 0，结合 f(0)=0，故只需考 f 2 (x)是否在(0，1上有取正值的点 因 f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在 x 0 (0，1)使 f(x 0 )0，即 f 2 (x 0 )0设 F(
19、x)= f(x)，则 F(x)在0，x 0 上连续，在(0，x 0 内可导，且 F(0)=0，F(x 0 )0由拉格朗日中值定理知 (0，1)，使 )解析：20.设 p(x)在区间0，+)上连续且为负值y=y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内满足 y+p(x)y0且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y+p(x)y0 y+p(x)y0 设 F(x)=y(x) ，则 F(x)0当 x0 时成立，故 F(x)当 x0 时单调增加，即 x0 有 F(x)F(0)=y(0)0 x0) 设x 2 x 1 0，由 F(x)单调增加F(x 2 )F
20、(x 1 ) 由于 y(x 1 )0， y(x 1 )，代入即得 y(x 2 )y(x 1 ) ( )解析：21.证明：x 一102*0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明：当 x0 时 ln(1+x)x ln(1+x)一 x0 引入函数 f(x)=ln(1+x)一 x，f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，f(x)= x0)从而 f(x)在0，+)上单调减少， x0 必有 f(x)f(0)=0，即当 x0 时 ln(1+x)x 成立 其次证明：当 x0 时 x 一 x 2 ln(1+x) ln(1+x)一 x+ 0引入函数 g(x)=ln(1+x)一 x+ ，g(x)在0
21、，+)上可导，且 g(0)=0，g(x)= x0)从而 g(x)在0，+)上单调增加， x0 必有 g(x)g(0)=0即当 x0 时 x 一 x 1 ln(1+x)成立 综合即得 )解析：22.设 x(0，1)，证明不等式 xln(1+x)+arctanx2x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x(0，1)，所以欲证不等式可等价变形为 令 f(x)=ln(1+x)+arctanx，则 f(0)=0由于对 x(0，1)，f(x)在0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有其中 (0，x) 在0，1上的连续性与单调性可得 )解析：23.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一，+
22、)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1) 2 f(x)，证明存在 x 0 (2，*)使得 F“(x。)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 F(0)=F( )=o，于是由罗尔定理知，存在 x 1 (0， )，使得F(x 1 )=0又 F(x)=2(sinx 一 1)f(x)+(sinx1)2f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x 0 * (x 1 ， )，使得 F“(x 0 * )=0 注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与F“(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是存在 x 0 =2+x 0 * ，即 x 0 (2
23、， )解析：解析：首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明存在 x 0 * 0， 24.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，6)使得 f()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (a，b)，使 令 g(x)=x 2 ，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()=(a+b) )解析：25.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少存在一个 c，
24、使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 当 0x 1 x 2 时，在区间x 1 ，x 2 上对函数 F(x)=e -x f(x)与G(x)=e -x 用柯西中值定理知， c(x 1 ，x 2 )，使得 )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二次可导，且 f(a)=f(b)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由罗尔定理知 (a，b)使 f()=0又由 0因 f(x)在a，上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 (a，)，使 最后，因 f(x)在区间，上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (a，b)，使 )解析：27.设 f(x)在a，+)有连续导数，且 f(
25、x)k0 在(a，+)上成立，又 f(a)0，其中 k 是一个常数求证：方程 f(x)=0 在(a，a 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)在区间a，a 一 上漓足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理 由于 f(x)在区间a，a 一 0，由连续函数的介值定理知 ，使 f()=0，又由 f(x)0，f(x)在(a，+)上单调增加可知，f(x)在(a，a 一 )解析：28.设 f(x)在 x=0 的桌邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x(一 1，+)时因为 ln(1+x)x，故由拉格朗日中值定理
26、可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得 )解析：29.设 a0。试确定方程 e 2x =ax 2 实根的个数及每个根所在的区间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 e 2x =ax 2 g(x)=x 2 e -2x = ，函数 g(x)=x 2 e -2x 的定义域为(一，+)，且 g(x)=2x(1 一 x)e -2x ，其驻点为 x=0 与 x=1，且 g(x)=0，列表讨论 g(x)的单调性与极值，可得 由 y=g(x)的图像(图 22)可知，当 即 0ae 2 时 g(x)= 有且只有一个负根 x 1 ；当 即 a=e 2 时 g(x)= 恰有二根 x 1 0 和 x 2 =1；当 吉即 ae 2 时 g(x)= 恰有三个根 x 1 0，0x 2 1 及 x 3 1 )解析：解析：方程 e 2x =ax 2 有两个等价方程 f(x)= =a 和 g(x)=x 2 e -2x = ，以下解答中考察等价方程 g(x)=
