1、考研数学三（微积分）模拟试卷 207 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=x n 的某邻域内有定义，在 x=x n 的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 B.若 f(x 0 )存在且等于 A，则 C.若 D.若 f(x 0 )不存在，则 3.在命题 若 f(x)在 x=a 处连续，且f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在
2、 x=a 处必可导， 若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在 x=a 处必不可导， 若 f(x)在 x=a 处连续，且 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在任意点 x 0 (一 2，+)有定义，且 f(一 1)=1，a 为常数，若对任意 x，x 0 (一 2，+)满足 f(x)一 f(x 0 )= （分数：2.00）A.连续，但不一定可微B.可微，且 f(x)=C.可微，且 f(x)=D.可微，且 f(x)=二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)=e sinx ，则 （分数：2.
3、00）填空项 1:_7.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)由万程 y=1+xe xy 确定，则 dy x=0 = 1，y x=0 = 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 y=sinx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：42.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_计算下列各题：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分
4、数：2.00）_(3).y=e sinx ，求 dy（分数：2.00）_(4).y= （分数：2.00）_计算下列各题：（分数：6.00）(1).由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 （分数：2.00）_(2).方程 y -y e y =1 确定 y=y(x)，求 y“（分数：2.00）_(3).设 2xtan(x 一 y)= 0 xy sec 2 tdt(xy)，求 （分数：2.00）_13.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_14.设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时，f(x)
5、0，已知 f(x)=0，f(0)= （分数：2.00）_15.设 f(x)= （分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_17.曲线 y= （分数：2.00）_18.求函数 y= （分数：2.00）_19.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_20.设 f(x)的定义域为1，+)，f(x)在1，+)可积，并且满足方程 f(x)= （分数：2.00）_21.求 a 的范围，使函数 f(x)=x 3 +3ax 2 一 ax 一 1 既无极大值又无极小值（分数：2.00）_22.设
6、f(x)= （分数：2.00）_设 f(x)= （分数：8.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_(2).证明：x=0 是 f(x)的极大值点；（分数：2.00）_(3).令 x n = （分数：2.00）_(4).证明：对 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 207 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=x n 的某邻域内有定义，在 x=x n 的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若
7、 B.若 f(x 0 )存在且等于 A，则 C.若 D.若 f(x 0 )不存在，则 解析：解析：解答本题的关键是将 f(x 0 )的定义式与 f(x)联系来考虑 对于(A)：取 f(x)= f(x)=0，但 f(x)在 x=x 0 处不连续，从而 f(x 0 )不存在故(A)不对，同时也说明(D)不对 对于(B)：取 f(x)= 显然 f(0)存在，但 f(x)不存在故(B)也不对 由排除法可知，应选C 或直接证明 C 正确反证法：假设 f(x 0 )存在，则 f(x)在 x=x 0 处连续，那么在 f(x)=条件下，由洛必达法则有 f(x 0 )= 3.在命题 若 f(x)在 x=a 处连
8、续，且f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)在 x=a 处必不可导， 若 f(x)在 x=a 处连续，且 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：是正确的设 f(a)0，不妨设 f(a)0，由于 f(x)在 x=a 处连续，故存在 0，当x(a 一 ，a+)时 f(x)0，于是在此区间上 f(x)f(x)，故 f(a)=f(x) x=a 存在若f(a)0 可类似证明 若 f(a)=0，则 所以由夹逼定理得 f(a
9、)= =0 是正确的因为 =(a)，所以 f(a)=(a) 是错误的由正确即知是错误的无妨取反例：(x)=x 2 ，则 f(x)=(x 一 a)(x)=(x 一 a)x 2 ， =a 2 ，即 f(x)在 x=a 处可导 也不正确可取反例：f(x)=x，显然 f(x)在 x=0 处不可导，但 4.设 f(x)在任意点 x 0 (一 2，+)有定义，且 f(一 1)=1，a 为常数，若对任意 x，x 0 (一 2，+)满足 f(x)一 f(x 0 )= （分数：2.00）A.连续，但不一定可微B.可微，且 f(x)=C.可微，且 f(x)=D.可微，且 f(x)= 解析：解析：由题设增量等式应得
10、到 f(x)在 x=x 0 处可导，而 x 0 又是(一 2，+)内任意一点，于是f(x)在(一 2，+)内处处可导，且 f(x)=一 ，积分得 f(x)=一 ln(2+x)+lnC=ln ，再由f(一 1)=1，即得 lnC=1，解得 C=e所以在(一 2，+)内有表达式 f(x)=ln 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项 tan 一 1=0，而其余所有项都不等
11、于 0记 g(x)=6.设 f(x)=e sinx ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：根据导数定义 7.若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9f(1)）解析：解析：按导数定义，将原式改写成 原式=8.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，+)）解析：解析：由导数定义可求得 上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为 欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有 而这一极限为零应满足 3 因此，参数 的取值范围为(3
12、，+)(当 13 时9.设 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+2t)e 2t）解析：解析：先求出 f(t)，再求 f(t)由于 10.设 y=y(x)由万程 y=1+xe xy 确定，则 dy x=0 = 1，y x=0 = 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：根据隐函数微分法有 dy=e xy dx+xd(e xy )=e xy dx+xe xy (ydx+xdy) 由 y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx 另外，由隐函数求导法则得到 y=e xy +xe xy (
13、y+xy) 两边再次关于 x求导一次，得到 y“=e xy (x 2 y“+2xy+xy+y)+e xy (x 2 y+xy+1)(xy+y)， 再次令 x=0，y(0)=1，由式得到 y(0)=1，由式得到 y“(0)=211.设 y=sinx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 u=x 3 ，则 x= ，于是由复合函数求导法则即得 三、解答题(总题数：14，分数：42.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：计算下列各题：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用复合函数求导法则与导数
14、的四则运算法则可得 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用对数求导法因 lny= ln(x 2 +2)；两边对 x 求导数得 )解析：(3).y=e sinx ，求 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：dy=d(e xsinx )=e xsinx d(xsinx)=e xsinx sinxdx+xd(sinx) =e xsinx (sinxdx+xcosxdx)=e xsinx (sinx+xcosx)dx)解析：(4).y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：计算下列各题：（分数：6.00）(1).由方程 x y =y x 确定 x=x(y
15、)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 x y =y x ylnx=xlny，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得 )解析：(2).方程 y -y e y =1 确定 y=y(x)，求 y“（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y -x e y =1 e y =y x y=xlny将恒等式两边对 x 求导数，得 y=lny+ y (*) 可解得 y= 将(*)两边再对 x 求导数，可得 )解析：(3).设 2xtan(x 一 y)= 0 xy sec 2 tdt(xy)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 2xtan(x 一 y)= 0 xy s
16、ec 2 tdt=tan(xy) x=tan(xy) 将恒等式两边对 x 求导数，得 1= )解析：13.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y=0， 或 f“(x)g(y)+f(x)2g“(y)=0 注意到 g(3)= )解析：14.设 f(x)在
17、x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时，f(x)0，已知 f(x)=0，f(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求极限为 1 型，设法利用重要极限，并与导数 f(0)的定义相联系由于 因此，由复合函数的极限运算性质，只需考虑极限 由于 f(0)=0，f(0)= 存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 )解析：15.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为使 f“(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0 处连续由 f(x)的连续性，有 c=f(0)= ln(1+x)=ln1=0 由 f(x)在 x=0 处的连续性，有 从而可得 b=1 欲使 f“
18、(0)存在，需 f“(0)=f“ + (0)又 f“ + (0)=ln(1+x x=0 = =1， f“ - (0)=(ax 2 +bx+c)“ x=0 =2a， 所以 2a=一 1，a=一 最后得 a=一 )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(0)=f(0+0)=9arctanx+2b(x 一 1) 3 x=0 =一 2b， f(0 一 0)= (sinx+2ae x )=2a， 故当一 2b=2a，即 a=一 b 时，f(x)在 x=0 处连续 当 a=一 b 时有 )解析：17.曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y= 处
19、的切线方程为 切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(3a，0)和B(0， )，于是，AOB 的 面积为 S= ， 当切点沿 x 轴正方向趋于无穷远时，有 S=+； 当切点沿 y 轴正方向趋于无穷远时，有 )解析：18.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y= 的定义域是(一，1)(1，+)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 x=一 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下： 故函数的单调减少区间为(一，0(1，+)；单调增加区间为0，1)；极小值点为 x=0函数图形的凸区间为 )解析：19.已知 f(x)=ax
20、3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=3ax 2 +2x，f(0)=0，f(一 1)=3a 一 2=0，从而 a= ，于是 f(x)=2x 2 +2x，f“(x)=4x+2令 f“(x)=0，得 x=一 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(一，一 1)(0，+)内单调增加，在(一 1，0)内单调减少；极大值 f(一 1)= ，极小值 f(0)=2；拐点为(一 )解析：20.设 f(x)的定义域为1，+)，f(x)在1，+)可积，并且满足方程 f(x)= （
21、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先确定 f(x)的表达式，由题设 f(x)在1，+)可积，于是可设 1 + f(x)dx=A，代入即得 )解析：21.求 a 的范围，使函数 f(x)=x 3 +3ax 2 一 ax 一 1 既无极大值又无极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=3x 2 +6ax 一 a， 当 =36a 2 +12a0 时，f(x)无驻点，即 f(x)无极值点 当 =36a 2 +12a=0，即 a=一 或 a=0 时，f(x)=3(x 一 ) 2 或 f(x)=3x 2 ，此时所对应的函数分别为 f(x)=(x 一 ) 2 +c 1 或 f(x)=
22、x 3 +c 2 ，由此可知其无极值点 当 0 时，f(x)有两个驻点，且为极值点 所以当一 )解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=0 的点及 f(x)不存在的点都可能是极值点，为此先求 f(x) 当 x0 时，f(x)=(x 2x )=(e 2xlnx )=e 2xlnx (2lnx+2_)=2x 2x (lnx+1)； 当 x0 时，f(x)=(x+2)=1又 所以 f(x)在点 x=0 处不连续，从而不可导，于是 令 f(x)=0，得驻点 x= 是可能的极值点 在点 x= 时f(x)0，当 x 时 f(x)0，所以 x= 为 f(x)的极小值点
23、，极小值为 f( )=e -2/e 在点 x=0 处：由于当 x0 时 f(x)=10，所以 f(x)单调增加，从而 f(x)f(0)=2；而当 0x ，存在 0，当 0x 时f(x)一 1 )解析：设 f(x)= （分数：8.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时按求导法则得 当 x=0 时按导数定义得 )解析：(2).证明：x=0 是 f(x)的极大值点；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)f(0)=一 x 2 (2+sin )解析：(3).令 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x n = (n=1，2，3，)，则 sin =(一 1) n ，于是 f(x n )= )解析：(4).证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 )解析：
