1、考研数学三（微积分）模拟试卷 206 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(一，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(一，+)内无界D.当 x时有极限3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(一 1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)4.若当 x时， （分数：2.00）A.a=0，b=1，c 为任意常数B.a=0，b=1，c=1C.a0，b，c 为任意常数D.a=1，b=1，c=05.设 f(
2、x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=一 1 为间断点B.x=0 为可去间断点C.x=一 1 为无穷间断点D.x=0 为跳跃间断点6.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanx 一 x，= 0 x (1 一 cos （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，7.在 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.若 （分数：2.00）填空项 1:_9.aretan(xlnxsinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）
3、填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 f(x)= （分数：2.00）_讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：（分数：8.00）(1).y=(1+x)arctan （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).y=fg(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_17.已知 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.
4、求证：e x +e -x +2cosx=5 恰有两个根（分数：2.00）_21.设常数 abc，求证：方程 （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，且 acdb求证：存在 (a，b)，使 pf(c)+qf(d)=(p+q)f()，其中 p0，q0 为任意常数（分数：2.00）_23.已知数列x满足：x 0 =25，x n =arctanx n1 (n=1，2，3，)，证明x n 的极限存在，并求其极限（分数：2.00）_24.设数列x n 由递推公式 x n = (n=1，2，)确定，其中 a0 为常数，x 0 是任意正数，试证 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷
5、206 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(一，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(一，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析：设 x n =n(n=1，2，3，)，则 f(x n )=0(n=1，2，3，)； 设 y n =2n+ (n=1，2，3，)，则 f(y n )=2n+ 3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(一 1，0) B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析：解析：注意
6、当 x(一 1，0)时有 这表明 f(x)在(一 1，0)内有界故应选 A 也可以计算极限：4.若当 x时， （分数：2.00）A.a=0，b=1，c 为任意常数B.a=0，b=1，c=1C.a0，b，c 为任意常数 D.a=1，b=1，c=0解析：解析： a0，b 与 c 任意故应选 C5.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=一 1 为间断点B.x=0 为可去间断点 C.x=一 1 为无穷间断点D.x=0 为跳跃间断点解析：解析：计算可得6.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanx 一 x，= 0 x (1 一 cos （分数：2.00）A.，B.，C.， D.，解析：
7、解析： 即当 x0 + 时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A)与(D) 7.在 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：9.aretan(xlnxsinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x 一 lnxsinx=x(1 一 sinx0，x 一 lnxsinx+，于是10. （分数：2
8、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题属“0 0 ”型未定式利用基本极限 =1 即得 11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：12.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由积分中值定理知存在 x，x+2，可得13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：利用洛必达法则可得14.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点
9、(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待 注意到 x=0 为分界点因为 又 f(0)=3，因此三、解答题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故当 x0 时，f(x)的等价无穷小量是 )解析：讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：（分数：8.00）(1).y=(1+x)arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(1+x)arctan 的定义域为(一，一 1)(一 1，1)
10、(1，+)，由初等函数连续性知 y 分别在(一，一 1)，(一 1，1)，(1，+)内连续因 (1+x)=2，故 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由初等函数的连续性及 y 的定义可知，y 分别在一 1，0)与(0，+)连续又因)解析：(4).y=fg(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域： 当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5 时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时， )解析：
11、17.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 题目中的极限式可改写为 由此即知 9 一 a=0，2=一 =一 12 方法二 原式可改写成 =2由于上式成立，所以必有 3 一 =0，即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得 令一 )解析：解析：已知此型未定式的极限存在且等于 2，要确定极限式中的参数 a 与 b 有两种方法：方法 1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法 2 先提出因子，将型化为0型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 这表明 3+a=0a=一 3 将 a=一 3 代入(*)式
12、，即得 )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求证：e x +e -x +2cosx=5 恰有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入函数 f(x)=e x +e -x +2cosx 一 5，则 f(x)是(一，+)上的连续偶函数，且 f(0)=一 10，f(x)=e x e -x 一 2sinx，从而 f(0)=0又 f“(x)=e x +e -x 一 2cosx=( ) 2 +2(1 一 cosx)0( )解析：21.设常数 abc，求证：方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设函数 f(x)= ，则 f(x)的零点就是方程 =0
13、 的根因函数 f(x)分别在区间(a，b)与(b，c)内可导，且 这表明在区间(a，b)内 f(x)的函数值从+单调减少到一，在区间(b，c)内 f(x)的函数值也从+单调减少到一，故 f(x)分别在(a，b)与(b，c)内有且仅有一个零点即方程 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续，且 acdb求证：存在 (a，b)，使 pf(c)+qf(d)=(p+q)f()，其中 p0，q0 为任意常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题 由 f(x)在a，b上连续，而c，d a，b，可知 f(x)在c，d上连续，于是存在 m= f(x)，
14、从而即 是 f(x)在c，d上的值域m，M上的一个值 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在 c，d )解析：23.已知数列x满足：x 0 =25，x n =arctanx n1 (n=1，2，3，)，证明x n 的极限存在，并求其极限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=arctanxx，则 f(0)=0， 所以 f(x)单调减少，当 x0 时 f(x)f(0)=0，即 arctanxx，于是有 x n =arctanx n1 x n1 由此可知，数列x n 单调递减 又x 0 =25，x 1 =arctan250，且对每个 n，都有 x n 0，根据极限存在准则即知 x n 存在 设 x n =a，在 x n =arctanx n 两边取极限得 a=arctana，所以 a=0，即 )解析：24.设数列x n 由递推公式 x n = (n=1，2，)确定，其中 a0 为常数，x 0 是任意正数，试证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 a0，菇 x 0 0，由 x n 的递推式知 x n 0又由算术平均值不小于几何平均值知 再由 1(n=1，2，3，)知数列x n 单调递减且有下界 x n 存在，设为 l 在 x n = 两边令 n取极限，得 l= ，又据 l0 可解得 l= )解析：
