1、考研数学三（微积分）模拟试卷 204 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 在(，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.以0，b03.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)04.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f(a)=0，
2、且 f(x)k(k0)，则 f(x) 在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 y(x)为微分方程 y4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00
3、）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.求极限 （分数：2.00）_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；（分数：2.00）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_12.求函数 （分数：2.00）_13.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 又 f(2)= （分数：2.00）_15.设 0ab，证明：
4、（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： （分数：2.00）_19.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）
5、_25.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_26.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 204 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 在(，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.以0，b0解析：解析：因为 在(，+)内连续，所以
6、a0，又因为3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0 B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时，有 f(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，选 A4.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x) 在(a，+)内的零点
7、个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ 其中 介于 a与 x 之间而二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=ln2 时，t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=1 时，由 0 y e u2 du+ t2 1 arc
8、sinudu=0 两边对 t 求导数得 2tarcsint 2 =0， 则 (2)当 t=1 时，由 0 y e u2 du+ t2 1 arcsinudu=0 两边对 t 求导得 2tarcsint 2 =0， 则 即法线方程为 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 0 x tf(2xt)dt x 2x (2xu)f(u)(du) = x 2x (2xu)f(u)du=2x x 2x f(u)du x 2x uf(u
9、)du 得 2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du= arctanx 2 ，等式两边对 x 求导得 2 x 2x f(u)du+2x2f(2x)f(x)4xf(2x)+xf(x)= 整理得 2 x 2x fud(u)xf(x)= 取 x=1 得 2 1 2 f(u)duf(1)= 9.设 y(x)为微分方程 y4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y4y+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ，由初始条件 y(0)=1，y(0)=
10、2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)1+2x，(0)=1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c)解析：(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(
11、1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：12.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 所以函数 为奇函数，于是 即函数 )解析：13.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(du)= 0 x f(u)du， )解析：14.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 又 f(2)= （分数：2.00）_正确
12、答案：(正确答案：由 得 f(1)=1， 又 所以 f(1)=0 由积分中值定理得 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f(x 0 )=0 令 (x)=e x f(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：15.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 =(x)0(xa)，而 ba，所以 (b)0，即 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 其中 0ab，则 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )=(x 2 +2x)e x ，所以 )解析：17.设 （
13、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n +a n+2 = 因为 tan n x，tan n+2 x 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 即 a n a n+2 ，于是 )解析：18.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 其中 介于 x 与 之间，因为 f(x) 0，所以有 两边积分得 a b f(x)dx(ba)f 令 (x)= f(x)+f(a) a x f(t)dt，且 (a)=0， 其中 ax，因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (
14、x)0(axb)， 由 得 (b)0，于是 a b f(x)dx f(a)+f(b)，故 )解析：19.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx， 而 0 n f(x)dx=n 0 1 f(x)dx=n 0 1 xdx= 显然当 x+时，n+，由夹逼定理得 )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：
15、(正确答案：0f(x，y)xy， 因为 =0f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处连续 由 得 f x (0，0)=0，同理 f y (0，0)=0， 即 f(x，y)在(0，0)处可偏导 )解析：21.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以有 (a+b)(v 2 u 2 ) )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(
16、2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：24.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0，f(0)=00由泰勒公式得 其中 介于 0 与 x 之间又f(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区 间内有f(x)M，其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的界所以对充分大的 n，有 因为 )解析：25.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(tT)，又 bH(t)s=ct， 于是 且 S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3， 由 v=T 2 26T+164=0， )解析：
