1、考研数学三（微积分）模拟试卷 203 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 D.若 a n 为无穷大，且 3.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续4.下列说法正确
2、的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设
3、f(x)= 0 x e cost dt求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）填空项 1:_9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.求 （分数：2.00）_12.设 （分数：2.00）_13.确定 a，b，使得 x(a+bcosx)sinx，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1
4、).存在 （分数：2.00）_(2).对任意的 k(，+)，存在 (0，)，使得 f()kf()=1（分数：2.00）_14.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dx （分数：2.00）_17.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_18.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 x+y
5、=6 所同围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_19.设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_22.若正项级数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).若级数 （分数：2.00）_(2).若级数 （分数：2.00）_23.设 f(x)在(，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=
6、1，且 f(x)+f(x) （分数：2.00）_25.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：2.00）_26.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 203 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定
7、无界C.若a n 无界且 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：A 不对，如 a n =2+(1) n ，b n =2(1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n =3，显然a n b n 收敛；B，C 都不对，如 a n =n1+(1) n ，b n =n 1(1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n =0，显然a n b n 有界且 3.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续，但f(x)在 x
8、 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，选 C4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6
9、.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)= 0 x e cost dt求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 e）解析：解析： 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 0 f(x)sinxdx = 0 e cosx
10、sinxdx=e cosx 0 =e 1 e9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y3y+4y2y=0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2,3 =1i，特征方程为(1)(1+i)(1i)=0，即 3 3 2 +42=0，所求方程为 y3y+4y2y=0三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确
11、答案：首先 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：13.确定 a，b，使得 x(a+bcosx)sinx，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x(a+bcosx)sinx， y=1+bsin 2 x(a+bcosx)cosx， y=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y(0)=0， 所以令y(0)=y(0)=0 得 故当 )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1).
12、存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)X，(x)在0，1上连续， (1)=10， 由零点定理，存在 )解析：(2).对任意的 k(，+)，存在 (0，)，使得 f()kf()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()= 0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()kf()=1)解析：14.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=( +1)ln(1+x)2arctanx，f(0)=0 所以 从而 f(x)0(
13、x0)由 得 f(x)f(0)=0(x0)，即 )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 )解析：17.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 ) 取 x 0 = a
14、 b x(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1， 于是有 a a b x(x)dx=x 0 b 把 x 0 = a b x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f(x 0 )x(x)x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：18.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所同围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：
15、(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0Y6)上，z=0； 在 L 3 ：Y=6x(0x6)上，z=2x 2 (6x)=2x 3 12x 2 ， 由 )解析：19.设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f x (0，0)，f y (0，0)存在因为 所以 (0，0)=0(充分性)若 (0，
16、0)=0，则 f x (0，0)=0，f y (0，0)=0因为 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：22.若正项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 当 x0 时，ln(1+x)x，于是 为正项级数，而 )解析：设 （分数：4.00）(1).若级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， 无论 A=0 还是A0，若级数 )解析：(2).若级数 （分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：(2)若 A=0，由级数 敛散性相同，故若级数 )解析：23.设 f(x)在(，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，所以存在 0，当x 时，f(x)0，于是存在 N0，当nN 时， 由莱布尼茨审敛法知 收敛，因为 )解析：24.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(x+1)f(x)+(x+1)f(x) 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f(x)=(x+2)f(x)= 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=1，所以 C=1，于是 (2)当x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 令 g(x)=f(x)e x g(0)=0，g(x)=f(x)+e x = 由 )解析：25.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t 时刻雪堆体积 侧面积 根据题意得 因为 h(0)=130，所以C=130，则 )解析：
