1、考研数学三（微积分）模拟试卷 201 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续4.设 f(x)二阶连续可导，且
2、 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点5.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(n)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 y=y(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方
3、程 yy2(y) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.已知 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）
4、_(2).证明： （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_17.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4求 （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_19.证明：当 z
5、0 时，f(x)= 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_20.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_21.已知 设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_22.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_25.将函数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满
6、足的微分方程；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_26.设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_28.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x， 0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 201 答案解析(总分：
7、62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以4.设 f
8、(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且 即 f(0)=0又 由极限的保号性，存在 0，当0x 时，有5.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：曲线 由于切线位于曲线 切线及 x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最
9、小值，此时切线方程为二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(n)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设函数 y=y(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 由 y(1)=1 得 C=0，故10.微分方程 yy2(y) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
10、案：正确答案：y=C 或者 ）解析：解析：令 y=p，得 代入原方程得 当 p=0 时，y=C； 所以原方程的通解为 y=C或者 三、解答题(总题数：20，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=kx(k=0，1，)及 因为 ， 所以 x=0 为 f(x)的可去间断点； 因为 ， 所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点； 因为 )解析：14.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+a
11、x)=ax +o(x 2 )， e bx =1+bx+ +o(x 2 )， cosx=1 +o(x 2 )得 ln(1+ax)e bx +cosx=(ab)x +o(x 2 )， 于是由 )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 两式相加得 f(a)+f(b) f( 1 )+f( 2 ) 因为 f(x)在(a，b)内连续，所以 f(x)在 1 ， 2 上连续，从而 f(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 由介值定理，存在 1 ， 2
12、 (a，b)，使得 )解析：设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别令 x=0，x=1，得 f(0)=f(c)f(c)c+ 1 (0，c)， f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2 ， 2 (c，1)， 两式相减，得 f(c)=f(1)f(0)+ (1c) 2 ，
13、利用已知条件，得 f(c) 2a+ c 2 +(1c) 2 ， 因为 c 2 +(1c) 2 1，所以 )解析：16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0
14、 )(xx 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 )解析：17.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对 x0，有 ln(1+x)x= )解析：18.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 两式相加得f(x) )解析：19.证明：当 z0 时，f(x)= 0 x (tt 2 )
15、sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(x=1，2，)，当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0(除 x=kn(k=1，2，)外 f(x)0)，是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 x0，1时，(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n =x 2n+1 x 2n+2 ， 于是 f(x)f(1)= 0 1 (xx 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n+1 x 2n+2 )dx= )
16、解析：20.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0)当 4x 2 +y 2 =25 时，令 F=x 2 +12xy+2y 2 +(4x 2 +y 2 25)，由 因为 z(0，0)=0， 所以目标函数的最大和最小值分别为 )解析：21.已知 设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， )解析：22.设 f(x
17、，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y)积分得 (1)当 则对任意的(，)D，有 (2)当 由介值定理，存在(，)D，使得 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数 收敛，而 取 0 =1，存在自然数 N，当 nN 时，a n 01，从而 0a n
18、1，当 nN 时，有 0a n 2 a n 1 由 )解析：24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得幂级数的收敛半径为 R=1 (1)当 p0 时，记 q=p，则有 发散，此时幂级数的收敛域为(1，1)； (2)当 0p1 时，对 所以 x=1 时，级数 发散，当 x=1时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)； (3)p=1 时， 收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)； (4)当 p1 时， 对 收敛，当 x 等于1 时， )解析：25.将函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由逐项可积性得 f(x)f(0)= 0 x f(x)dx= 所以
19、 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)=xe x ，f(x)=xe x e dx dx+ce dx = 因为 a 0 =1，所以 f(0)=1，从而 C=1，于是 )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得(4+2a+b
20、)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+x+b)xe x =xe x ，则有 )解析：27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)， 令 X=0，则 Y=yxy，切线与y 轴的交点为(0，yxy)， 由题意得 x 2 +x 2 y 2 =4，解得 因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为 )解析：28.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x， 0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 分离变量得 积分得 由 y(0)=1，得 C=1，所以 )解析：
