1、考研数学三(微积分)模拟试卷 200 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设当 x0 时,有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sint dt,则( )(分数:2.00)A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数,b=2,c=03.设 f(x)连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt,则( )(分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)
2、的极小值点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点,(0,f(0)非 y=f(x)的拐点4.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 (分数:2.00)A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dtC. 0 x f(t x )dtD.
3、0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_7.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ,记 (分数:2.00)填空项 1:_8. 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_10.微分方程 yxe y + (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:21,分数:44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 其中 f(x)连续,求 (分数:2.00)_13.设 f(x)在a,+)上连续,f(a)0,而 (分数:2.00
4、)_14.设 (分数:2.00)_15.设 (分数:2.00)_16.f(x)在1,1上三阶连续可导,且 f(1)=0,f(1)=1,f(0)=0证明:存在 (1,1),使得f()=3(分数:2.00)_设 f(x)在a,a(a0)上有四阶连续的导数, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;(分数:2.00)_(2).证明:存在 1 , 2 a,a,使得 (分数:2.00)_17.设 f(x)在0,+)内可导且 f(0)=1,f(x)f(x)(x0)证明:f(x)e x (x0)(分数:2.00)_18.设 k 为常数,方程 (分数:2.00)_19.f(x)
5、在0,1上连续,f(0)=0, 0 1 f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0 f(x)dx=f()(分数:2.00)_20.设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=0证明: a b f(x) 2 dx (分数:2.00)_21.证明: (分数:2.00)_22.设 z=z(x,y)满足 (分数:2.00)_23.计算 (分数:2.00)_24.设 f(x)在a,b上连续,证明: a b f(x)dx x b f(y)dy= (分数:2.00)_25.讨论级数 (分数:2.00)_26.设u n ),c n )为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n
6、c n+1 u n+1 0,且 也发散; (2)若对一切正整数 n 满足 (分数:2.00)_设函数 f 0 (x)在(,+)内连续,f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1,2,)(分数:4.00)(1).证明:f n (x)= (分数:2.00)_(2).证明: (分数:2.00)_27.设 f(x)为偶函数,且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2,求 f(x)(分数:2.00)_28.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比,比例系数为 (分数:2.00)_
7、29.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质点的运动速度成反比,在 t=10 s时,速度等于 50 cms外力为 392cms 2 ,问运动开始 1 min 后的速度是多少?(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 200 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设当 x0 时,有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sint dt,则( )(分数:2.00)A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数,
8、b=2,c=0 解析:解析:因为 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt,所以 显然 c=0,再由 3.设 f(x)连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 g(0)=1,f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt,则( )(分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大值点 B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点,(0,f(0)非 y=f(x)的拐点解析:解析:由 0 x g(xt)dt 0 x g(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0 x g(u)du,f(0)=0,因为 4.设 f(x)在 x
9、=0 的邻域内连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 (分数:2.00)A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:由 得 g(0)=g(0)=0,f(0)=0,f(x)=2x 2 + 0 x g(xt)dt=2x 2 0 x g(xt)d(zt)=2x 2 + 0 x g(u)du,f(x)=4x+g(x),f(0)=0,f(x)=4+g(x),f(0)=40,因为 所以存在 0,当 0x 时, 5.设函数 f(x)连续,下
10、列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dt C. 0 x f(t x )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析:解析:因为 tf(t)f(t)为偶函数,所以 0 x f(t)f(t)dt 为奇函数,A 不对;因为f(t 2 )为偶函数,所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数,C 不对;因为不确定 f 2 (t)的奇偶性,所以 D 不对;令 F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt, F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt= 0 x (u)f(u)+f(u)(du)=F(x),选 B二、填空
11、题(总题数:5,分数:10.00)6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 e ln2(1+x) 1ln 2 (1+x)x 2 , 7.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ,记 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 f(x)=2n(1x) n 2n 2 x(1x) n1 =0 得 8. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.微分方程 yxe y
12、 + (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 令 z=e y ,则 所以原方程的通解为 三、解答题(总题数:21,分数:44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:12.设 其中 f(x)连续,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:13.设 f(x)在a,+)上连续,f(a)0,而 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 所以存在 X 0 0,当 xX 0 时,有 )解析:14.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:15.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在
13、x=0 处连续,所以 c=0,即 由 f(x)在 x0 处可导,得 b=1,即由 f (0)存在,得 )解析:16.f(x)在1,1上三阶连续可导,且 f(1)=0,f(1)=1,f(0)=0证明:存在 (1,1),使得f()=3(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 , 1 (1,0), f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 , 2 (0,1),即 两式相减得 f( 1 )+f( 2 )=6 因为 f(x)在1,1上三阶连续可导,所以 f(x)在 1 , 2 上连续,由连续函数最值定理,f(x)在 1 ,
14、2 上取到最小值 m 和最大值 M,故 2mf( 1 )+f( 1 )2M,即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理,存在 1 , 2 )解析:设 f(x)在a,a(a0)上有四阶连续的导数, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 存在,得 f(0)=0,f(0)=0,f(0)=0, 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 )解析:(2).证明:存在 1 , 2 a,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:上式两边积分得 a a f(x)dx= a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4)
15、 (x)在a,a上为连续函数,所以 f (4) (x)在a,a上取到最大值 M 和最小值 m,于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ,两边在a,a上积分得 根据介值定理,存在 1 a,a,使得 f (4) ( 1 )= )解析:17.设 f(x)在0,+)内可导且 f(0)=1,f(x)f(x)(x0)证明:f(x)e x (x0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=e x f(x),则 (x)在0,+)内可导,又 (0)=1,(x)=e x f(x)f(x)0(x0),所以当 x0 时,(x)(0)=1,所以有 f(x)e x (x0)解析:18.设 k 为常
16、数,方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x(0,+) (1)若 k0,由 所以原方程在(0,+)内恰有一个实根; (2)若 k=0, 所以原方程也恰有一个实根; (3)若 k0, )解析:19.f(x)在0,1上连续,f(0)=0, 0 1 f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0 f(x)dx=f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 , 因为 f(x)在0,1上连续,所以 (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,又 (0)=0,(1)= 0 1 f(x)dx=0,由罗尔定理,存在 (0,1),使得 ()=0,而 )解析:20.设 f(x)在a,b上连续可
17、导,且 f(a)=0证明: a b f(x) 2 dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(a)=0,得 f(x)f(x)=f(x)= a c f(t)dt,由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f 2 (t)dt(xa) a b f 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx. a b f 2 (x)dx= )解析:21.证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 )解析:22.设 z=z(x,y)满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 )解析:23.计算 (分数:2.
18、00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 f(x)在a,b上连续,证明: a b f(x)dx x b f(y)dy= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= a x f(t)dt,则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)F(x)dx =F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dx=F 2 (b) a b F(x)dF(x) )解析:25.讨论级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 收敛,由正项级数的比较审敛法得 )解析:26.设u n ),c n )为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c
19、n u n c n+1 u n+1 0,且 也发散; (2)若对一切正整数 n 满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n c n+1 u n+1 0,于是c n u n c n+1 n+1 =c n u n c 1 1 n 0, 从而 也发散 (2)因为对所有 n 满足 则 c n u n c n+1 u n+1 au n+1 ,即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ,所以 于是 因为 )解析:设函数 f 0 (x)在(,+)内连续,f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1,2,)(分数:4.00)
20、(1).证明:f n (x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:n=1 时,f 1 (x)= 0 x f 0 (t)dt,等式成立; 设 n=k 时 f k (x)= 0 x f 0 (t)(xt) k1 dt, 则 n=k+1 时, 由归纳法得 f n (x)= )解析:(2).证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意的 x(,+),f 0 (t)在0,x或x,0上连续,于是存在 M0(M与 x 有关),使得f 0 (t)M(t0,x或 tx,0),于是 因为 )解析:27.设 f(x)为偶函数,且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2,求
21、f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 x f(tx)dt= 0 x (tx)d(xt)= x 0 f(u)du= 0 x f(u)du,则有 f(x)+2f(x)3 0 x f(u)du=3x+2,因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)是奇函数,于是 f(0)=0,代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)3 0 x f(u)du=3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)3f(x)=3,其通解为 f(c)=C 1 e x +C 2 e 3x +1,将初始条件代入得 f(x)=1)解析:28.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水
22、平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比,比例系数为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据题意得 令 y=p,则有 因为 p(2)=0,所以 C 1 =0,故 y=p= 进一步解得 因为 y(0)=2,所以 C 2 =0,故曲线方程为 )解析:29.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质点的运动速度成反比,在 t=10 s时,速度等于 50 cms外力为 392cms 2 ,问运动开始 1 min 后的速度是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意得 因为当 t=10 时,v=50,F=392,所以 k=196, 从而 分离变量得 vdv=196tdt, 所以 由 v t=10 =50,得 C=8 550, 于是 )解析: