1、考研数学三（微积分）模拟试卷 200 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sint dt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数，b=2，c=03.设 f(x)连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)
2、的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点4.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dtC. 0 x f(t x )dtD.
3、0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yxe y + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_13.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00
4、）_14.设 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (1，1)，使得f()=3（分数：2.00）_设 f(x)在a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_18.设 k 为常数，方程 （分数：2.00）_19.f(x)
5、在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f(x) 2 dx （分数：2.00）_21.证明： （分数：2.00）_22.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_25.讨论级数 （分数：2.00）_26.设u n )，c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n
6、c n+1 u n+1 0，且 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 （分数：2.00）_设函数 f 0 (x)在(，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，)（分数：4.00）(1).证明：f n (x)= （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_27.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_28.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数为 （分数：2.00）_
7、29.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10 s时，速度等于 50 cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1 min 后的速度是多少?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 200 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sint dt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a 为任意常数，
8、b=2，c=0 解析：解析：因为 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，所以 显然 c=0，再由 3.设 f(x)连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点 B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 非极值点，(0，f(0)非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(xt)dt 0 x g(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0 x g(u)du，f(0)=0，因为 4.设 f(x)在 x
9、=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0，f(x)=2x 2 + 0 x g(xt)dt=2x 2 0 x g(xt)d(zt)=2x 2 + 0 x g(u)du，f(x)=4x+g(x)，f(0)=0，f(x)=4+g(x)，f(0)=40，因为 所以存在 0，当 0x 时， 5.设函数 f(x)连续，下
10、列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)+f(t)dt C. 0 x f(t x )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)f(t)为偶函数，所以 0 x f(t)f(t)dt 为奇函数，A 不对；因为f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，C 不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以 D 不对；令 F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt， F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt= 0 x (u)f(u)+f(u)(du)=F(x)，选 B二、填空
11、题(总题数：5，分数：10.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 e ln2(1+x) 1ln 2 (1+x)x 2 ， 7.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x)=2n(1x) n 2n 2 x(1x) n1 =0 得 8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.微分方程 yxe y
12、 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 令 z=e y ，则 所以原方程的通解为 三、解答题(总题数：21，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：13.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在
13、x=0 处连续，所以 c=0，即 由 f(x)在 x0 处可导，得 b=1，即由 f (0)存在，得 )解析：16.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (1，1)，使得f()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 ， 1 (1，0)， f(1)=f(0)+f(0)(10)+ (10) 3 ， 2 (0，1)，即 两式相减得 f( 1 )+f( 2 )=6 因为 f(x)在1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1 ，
14、2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf( 1 )+f( 1 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：设 f(x)在a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 )解析：(2).证明：存在 1 ， 2 a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上式两边积分得 a a f(x)dx= a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4)
15、 (x)在a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ，两边在a，a上积分得 根据介值定理，存在 1 a，a，使得 f (4) ( 1 )= )解析：17.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0)=1，(x)=e x f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x (x0)解析：18.设 k 为常
16、数，方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x(0，+) (1)若 k0，由 所以原方程在(0，+)内恰有一个实根； (2)若 k=0， 所以原方程也恰有一个实根； (3)若 k0， )解析：19.f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续可
17、导，且 f(a)=0证明： a b f(x) 2 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)f(x)=f(x)= a c f(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f 2 (t)dt(xa) a b f 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx. a b f 2 (x)dx= )解析：21.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：22.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：23.计算 （分数：2.
18、00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)F(x)dx =F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dx=F 2 (b) a b F(x)dF(x) )解析：25.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 收敛，由正项级数的比较审敛法得 )解析：26.设u n )，c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c
19、n u n c n+1 u n+1 0，且 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n c n+1 u n+1 0，于是c n u n c n+1 n+1 =c n u n c 1 1 n 0， 从而 也发散 (2)因为对所有 n 满足 则 c n u n c n+1 u n+1 au n+1 ，即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ，所以 于是 因为 )解析：设函数 f 0 (x)在(，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，)（分数：4.00）
20、(1).证明：f n (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n=1 时，f 1 (x)= 0 x f 0 (t)dt，等式成立； 设 n=k 时 f k (x)= 0 x f 0 (t)(xt) k1 dt， 则 n=k+1 时， 由归纳法得 f n (x)= )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x(，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M与 x 有关)，使得f 0 (t)M(t0，x或 tx，0)，于是 因为 )解析：27.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2，求
21、f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(tx)dt= 0 x (tx)d(xt)= x 0 f(u)du= 0 x f(u)du，则有 f(x)+2f(x)3 0 x f(u)du=3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)3 0 x f(u)du=3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)3f(x)=3，其通解为 f(c)=C 1 e x +C 2 e 3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1)解析：28.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水
22、平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 令 y=p，则有 因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 y=p= 进一步解得 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 )解析：29.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10 s时，速度等于 50 cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1 min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以 k=196， 从而 分离变量得 vdv=196tdt， 所以 由 v t=10 =50，得 C=8 550， 于是 )解析：
