1、考研数学三（微积分）模拟试卷 199 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.fx)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f
2、(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. x x f(t)dtC. x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt5.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.6.设幂级数 a n (x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设
3、 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(0)=6，且 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上有定义
4、，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_19.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_20.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）
5、_21.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)=f(0)=1证明： 0 1 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_24.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_25.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)
6、dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_26.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若f(x)k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_27.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：2.00）_28.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18 m，运动开始时链条一边下垂 8 m，另一边
7、下垂 10 m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 199 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 得 f(0)+f(0)=0，于是
8、f(0)=0 再由3.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.fx)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 则存在 0，当 0x2 时，有4.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. x x f(t)dtC. x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= x x tf(t)dt=2 0
9、x tf(t)dt，(x+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 x x+T tf(t)dt(x)，选 D5.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：由6.设幂级数 a n (x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：因为 在 x=6 处条件收敛，所以级数 的收敛半径为 R=4，又因为级数 的收敛半径为 R=4，于是二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析： 8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （
10、正确答案：正确答案：a=1）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析： =a+4b，f(0)=3，9.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(1，1)内 f(z)=x，所以在(1，1)内 由 f(0)=0 得10.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosxxsinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1
11、 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f(x)=2sinxxcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：12.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得函数 y=y(x)可微且 因为 y(1)=1，所以 C=0，于是三、解答题(总题数：18，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(0)=6，且 （分数：2.0
12、0）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0，f(0)=0， )解析：15.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加，所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0x f(x 0 )， 令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x 0 0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：
13、(正确答案：当x1 时， 当 x1 时，y=1；当 x1 时，y=1； 由 得y 在 x=1 处不连续，故 y(1)不存在； 由 得 y + (1)=1， 因为 y (1)y + (1)，所以 y在 x=1 处不可导， 故 )解析：18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f(b)=f(a)= f( 1 )f( 2 )， 取绝对值得f(b)f(a) f( 1 )+f( 2 ) (1)当f( 1 )f( 2 )时，取 = 1 ，则有 (2)当f( 1 )f( 2 )时，取 =
14、2 ，则有 )解析：19.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 n (x)=f n (x)1，因为 n (0)=10， n (1)=n10，所以 n (x) 在(0，1) )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f n (x n )f n+1 (x n+1 )=0，得(x n x n+1 )+(x n 2 x n+1 2 )+(x n n x n+1 n
15、)=x n+1 n+1 0，从而 x n x n+1 ，所以x n ) n=1 单调减少，又 x n 0(n=1，2，)，故 显然 Ax n x 1 =1，由 x n +x n 2 +x n n =1，得 )解析：20.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 3x+k， )解析：21.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)
16、=1，且 所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得 )解析：22.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt，即 n 0 T f(t)dt 0 X f(t)dt(n+1) 0 T f(t)dt，由 注意到当 x+时，n+，且 由夹逼定理得 )解析：23.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)=f(0)=1证明： 0 1
17、 f 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)f(0)= 0 1 f(x)dx， 得 1 2 =1= 0 1 f(x)dx) 2 0 1 1 2 dxf 2 (x)dx= 0 1 f 2 (x)dx，即 0 1 f 2 (x)dx1)解析：24.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： xy z h(xy+zt)dt z xy h(u)d(u)= xy z h(u)du， 两边对x 求偏导得 )解析：25.设函数
18、z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 u=(u)+ y x P(t)dt 两边对 x 及y 求偏导，得 )解析：26.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x 2 +y 2 +(xa) 2 =R 2 ， 由 得球面 S 在定球内的部分
19、在 xOy面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 (4a 2 R 2 )，球面 S 在定球内的方程为 S： 因为 )解析：设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce -ax ，由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e ax 0 x f(t)e at dt)解析：(2).若f(x)k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，y=e ax 0 x f(t)e at dte ax 0 x f(t)e at dtke ax 0
20、 x at 2 dt )解析：27.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入整理得 的特征方程为 2 +22+1=0，特征值为 1 = 2 =1，则 )解析：28.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18 m，运动开始时链条一边下垂 8 m，另一边下垂 10 m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g(8x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 且 x(0)=0，x(0)=0， 解得 当链条滑过整个钉子时，x=8，由 )解析：
