1、考研数学三(微积分)模拟试卷 198 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a)3.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x 0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0
2、 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点5.设 f(x,y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导,且在区域 D 内恒有条件 (分数:2.00)A.f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x,y)的最小值点在 D 内,最大值点在 D 的边界上D.f(x,y)的最大值点在 D 内,最小值点在 D 的边界上6.设 D=(x,y)0x,0y,则 sinx si
3、ny.maxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)为二阶可导的偶函数,f(0)=1,f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.设xf(x)dx=arcsinx+c,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。_14.求 (分数:2.00)_15.设 (分数:2.00)_16.设 f(x)在a,b上连续,任取 x i a,b(i=1,2,n),任取 k i 0(i=1,2,n),证明:存在 a,b,使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()(分数:2.00)_17.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义,且满足f(x)一 2e x (x1) 2 ,研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性(分数:2.00)_18.设 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a,b及 01,证明: fx
5、1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )(分数:2.00)_19.设 a0,讨论方程 ae x =x 2 根的个数(分数:2.00)_设函数 (分数:6.00)(1).确定常数 a,使得 f(x)在 x=0 处连续;(分数:2.00)_(2).求 f(x);(分数:2.00)_(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性(分数:2.00)_20.设 f(x)在0,1上二阶可导,且 f(0)=f(1)=0证明:存在 (0,1),使得 (分数:2.00)_21.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0,令 (分数:2.00)_22.设 u=u(x,y)由方程组 u=(x,y
6、,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 确定,其中 f,g,h 连续可偏导且 (分数:2.00)_23.计算二重积分 (分数:2.00)_24.设 a 0 =1,a 1 =2,a 2 = (n2)证明:当x1 时,幂级数 (分数:2.00)_25.设有微分方程 y2y=(x),其中 (分数:2.00)_26.设 y=y(x)二阶可导,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0 (分数:2.00)_27.某人的食量是 2 500 卡天,其中 1 200
7、卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为1 6 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量 10 000卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 198 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a) 解析:解析:3.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x
8、0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析:解析: 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少,A 不对;4.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点 解析:解析:因为 f(x)在(0,2)内只有第一类间断点,所以 g(x)在(0,2)内连
9、续选 C5.设 f(x,y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导,且在区域 D 内恒有条件 (分数:2.00)A.f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x,y)的最小值点在 D 内,最大值点在 D 的边界上D.f(x,y)的最大值点在 D 内,最小值点在 D 的边界上解析:解析:若 f(x,y)的最大点在 D 内,不妨设其为 M 0 ,则有 因为 M 0 为最大值点,所以ACB 2 非负,而在 D 内有 6.设 D=(x,y)0x,0y,则 sinx siny.maxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解
10、析:解析:根据对称性,令 D 1 =(x,y)0x,0yx, xsinxsinyd=2 0 xsinxdx 0 x sinydy=2 0 xsinx(1cosx)dx=2 0 xsinxdx2 0 xsinxcosxdx= 0 sinxdx 0 xd(sin 2 x)= 7.设 则( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:显然二、填空题(总题数:5,分数:10.00)8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a=2)解析:解析:10.设 f(x)为二阶可导的偶函数,f(0)=
11、1,f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)为奇函数,于是 f(0)=0,又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续,所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 ),于是 11.设xf(x)dx=arcsinx+c,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由f(x)dx=arcdsinx+c 得12.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数
12、:16,分数:34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:14.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:取 0 =1,因为 )解析:16.设 f(x)在a,b上连续,任取 x i a,b(i=1,2,n),任取 k i 0(i=1,2,n),证明:存在 a,b,使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在a,b上连续,所以 f(x)在a,b上取到最小值 m 和最大值 M,
13、 显然有 mf(x i )M(i=1,2,n), 注意到 k i 0(i=1,2,n),所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1,2,n), 同向不等式相加,得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M, 即 由介值定理,存在 a,b,使得 )解析:17.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义,且满足f(x)一 2e x (x1) 2 ,研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 x=1 代入不等式中,得 f(1)=2e当 x1 时
14、,不等式两边同除以x1,得)解析:18.设 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0,对任意的 x 1 ,x 2 a,b及 01,证明: fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x 0 =x 1 +(1)x 2 ,则 x 0 a,b,由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ,其中 介于 x 0 与 x 之间, 因为 f(x)0,所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 ), 于是 )解析:19.设 a0,讨论方程 ae x =x 2 根的个数(分数:2.00)_正
15、确答案:(正确答案:ae x =x 2 等价于 x 2 e x a=0 令 f(x)=x 2 e x a,由 f(x)=(2xx 2 )e x =0 得 x=0,x=2 当 x0 时,f(x)0;当 0x2 时,f(x)0;当 x2 时,f(x)0, 于是x=0 为极小值点,极小值为 f(0)=a0; x=2 为极大值点,极大值为 (1)当 时,方程有三个根; (2)当 时,方程有两个根 (3)当 )解析:设函数 (分数:6.00)(1).确定常数 a,使得 f(x)在 x=0 处连续;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).求 f(x);(分数:2.00)_正确答案:(正
16、确答案:当 x0 时, )解析:(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 )解析:20.设 f(x)在0,1上二阶可导,且 f(0)=f(1)=0证明:存在 (0,1),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=(x1) 2 f(x),显然 (x)在0,1上可导由 f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在 c(0,1),使得 f(c)=0,再由 (c)=(1)=0,根据罗尔定理,存在 (c,1) (0,1),使得 ()=0,而 (x)=2(x1)f(x)+(x1)f(x),所以 2(1)f()+(1) 2 f()=0,整理
17、得 )解析:21.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0,令 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由微分中值定理得 f(x)f(0)=f()x,其中 介于 0 与 x 之间,因为 f(0)=0,所以f(x)=f()xMx,x0,a,从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx= )解析:22.设 u=u(x,y)由方程组 u=(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 确定,其中 f,g,h 连续可偏导且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程组由五个变量三个方程构成,故确定了三个二元函数,其中 x,y 为自变量,由 u=f(x,y
18、,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0,得 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析:23.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据对称性 (x 2 +y 2 )dxdy,其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 )解析:24.设 a 0 =1,a 1 =2,a 2 = (n2)证明:当x1 时,幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得幂级数的收敛半径 R=1,所以当 x1 时,幂级数 所以 )解析:25.设有微分方程 y2y=(x),其中 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x1 时,y2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x 1,由 y
19、(0)=0 得 C 1 =1,y=e 2x 1, 当 x1 时,y2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ,根据给定的条件, y(1+0)=C 2 e 2 =y(10)=e 2 1,解得 C 2 =1e 2 ,y=(1 一 e 2 )e 2x , 补充定义 y(1)=e 2 1,则得在(,+)内连续且满足微分方程的函数 )解析:26.设 y=y(x)二阶可导,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 代入原方程得 y
20、y=sinx,特征方程为 r 2 1=0,特征根为 r 1,2 =1,因为 i 不是特征值,所以设特解为 y=acosx+bsinx,代入方程得 a=0, 于是方程的通解为y=C 1 e x +C 2 e x sinx,由初始条件得 C 1 =1,C 2 =1,满足初始条件的特解为 y=e x e x )解析:27.某人的食量是 2 500 卡天,其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为1 6 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量 10 000卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:输入率为 2 500 卡天,输出率为(1 200+1 6),其中 为体重,根据题意得 (0)= 0 ,由 )解析: