1、考研数学三（微积分）模拟试卷 198 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a)3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0
2、 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点5.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上6.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinx si
3、ny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设xf(x)dx=arcsinx+c，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。_14.求 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_17.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)一 2e x (x1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx
5、1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )（分数：2.00）_19.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_设函数 （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_(2).求 f(x)；（分数：2.00）_(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 （分数：2.00）_22.设 u=u(x，y)由方程组 u=(x，y
6、，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.设 a 0 =1，a 1 =2，a 2 = (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_25.设有微分方程 y2y=(x)，其中 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0 （分数：2.00）_27.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200
7、卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为1 6 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 198 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a) 解析：解析：3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x
8、0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析： 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，A 不对；4.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点 解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连
9、续选 C5.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 因为 M 0 为最大值点，所以ACB 2 非负，而在 D 内有 6.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinx siny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解
10、析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)0x，0yx， xsinxsinyd=2 0 xsinxdx 0 x sinydy=2 0 xsinx(1cosx)dx=2 0 xsinxdx2 0 xsinxcosxdx= 0 sinxdx 0 xd(sin 2 x)= 7.设 则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：显然二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）解析：解析：10.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=
11、1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 )，于是 11.设xf(x)dx=arcsinx+c，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由f(x)dx=arcdsinx+c 得12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数
12、：16，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，
13、 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 由介值定理，存在 a，b，使得 )解析：17.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)一 2e x (x1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时
14、，不等式两边同除以x1，得)解析：18.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1)x 2 f(x 1 )+(1)f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =x 1 +(1)x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间， 因为 f(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )， 于是 )解析：19.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_正
15、确答案：(正确答案：ae x =x 2 等价于 x 2 e x a=0 令 f(x)=x 2 e x a，由 f(x)=(2xx 2 )e x =0 得 x=0，x=2 当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0， 于是x=0 为极小值点，极小值为 f(0)=a0； x=2 为极大值点，极大值为 (1)当 时，方程有三个根； (2)当 时，方程有两个根 (3)当 )解析：设函数 （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案：当 x0 时， )解析：(3).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 )解析：20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x1) 2 f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x1)f(x)+(x1)f(x)，所以 2(1)f()+(1) 2 f()=0，整理
17、得 )解析：21.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间，因为 f(0)=0，所以f(x)=f()xMx，x0，a，从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx= )解析：22.设 u=u(x，y)由方程组 u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y
18、，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 )解析：24.设 a 0 =1，a 1 =2，a 2 = (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得幂级数的收敛半径 R=1，所以当 x1 时，幂级数 所以 )解析：25.设有微分方程 y2y=(x)，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，y2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x 1，由 y
19、(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x 1， 当 x1 时，y2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(10)=e 2 1，解得 C 2 =1e 2 ，y=(1 一 e 2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 1，则得在(，+)内连续且满足微分方程的函数 )解析：26.设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 y
20、y=sinx，特征方程为 r 2 1=0，特征根为 r 1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y=acosx+bsinx，代入方程得 a=0， 于是方程的通解为y=C 1 e x +C 2 e x sinx，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =1，满足初始条件的特解为 y=e x e x )解析：27.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为1 6 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 200+1 6)，其中 为体重，根据题意得 (0)= 0 ，由 )解析：
