1、考研数学三（微积分）模拟试卷 197 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(，+)内可导，若D.f(x)在(，+)内可导，若4.设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小5
2、.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(z，y)的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微6.累次积分 rf(rcos，rsin0)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=1D.r=1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数
3、：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_16.设 f(x)连续，(x)= 0 x f(xt)dt，且 （分数：2.00）_17.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b
4、)（分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：2.00）_(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_(3).存在 (a，b)，使得 f()=f()；（分数：2.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f()3f()+zf()=0（分数：2.00）_
5、19.设 f(x)在0，1上连续且f(x)M证明： （分数：2.00）_20.设 z= 0 x2+y2 ，求 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 （分数：4.00）(1).f(x)（分数：2.00）_(2).f(x)的极值（分数：2.00）_23.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的
6、混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 197 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(a)f(0)=f()a，即3.下列说法正确的是( )
7、（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(，+)内可导，若D.f(x)在(，+)内可导，若 解析：解析：设 时，f(x)=0，其中 kZ，则 A 不对；设4.设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为5.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D
8、.若 z=f(z，y)的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选 C6.累次积分 rf(rcos，rsin0)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，7.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=1 D.r=1解析：解析：因为 一定不是正项或负项级数，故 r0 若r1，则 绝对收敛，矛盾； 若r1，则 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.= 1 （分数：2.00）填空
9、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为函数 f(x)在 x=0 处连续，所以10.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求
10、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：16.设 f(x)连续，(x)= 0 x f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，(x)= 0 1 f(xt)dt= 0 1 f(u)du，(x)= xf(x) 0 x f(u)du 当 x=0 时，(0)= 0 1 (0)dt=0， )解析：17.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab
11、，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：18.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(x 0 )=f()(xx 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，则 )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(
12、a，b)内可导，且 F(x)= f(x)故存在 c(a，b)，使得 a b f(x)dx=F(b)F(a)=F(c)(ba)=f(c)(ba)=0，且 f(c)=0)解析：(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理， 1 存在(a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )=h( 2 )=0，而 h(x)=e x f(x)+f(x)且 e x 0，所以 f( i )+f( i )=0(i=1，2)解析
13、：(3).存在 (a，b)，使得 f()=f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：(4).存在 (a，b)，使得 f()3f()+zf()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=e x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g( 1 )=g( 2 )=0， 而 g(x)=e x f(x)f(x)且 e x 0，所以 f( 1 )f( 1 )=0,f( 2 )f( 2 )=0 令 (x)=e
14、 2x f(x)f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：19.设 f(x)在0，1上连续且f(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 z= 0 x2+y2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2e x2+y2 +4x 2 e x2+y2 ， =2e x2+y2 +4y 2 e x2+y2 ， 则 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 所以原式 )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 S(x)= n(n=1)x n2 ，显然其收敛域为(1，1)，
15、则 )解析：设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 （分数：4.00）(1).f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知， 1 a f 2 (x)dx= a 2 f(a)f(1)，两边对 a 求导，得 3f 2 (a)=2af(a)+a 2 f(a)= )解析：(2).f(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又因为 )解析：23.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 且满足初始条件 m 1 (0)=150，解得 在时间t，t+dt内有 )解析：
