1、考研数学三（微积分）模拟试卷 196 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 F(x)= x x+2x e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关5.设 （分数：
2、2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_7.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求 （分数：2.00）_1
3、5.设函数 f(x)可导且 (k0)，对任意的 x n ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(6)=0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_18.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_设 S(x)= 0 x costdt（分数：4.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）
4、_19.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dx 0 1 f(x)dx.（分数：2.00）_20.求椭圆 （分数：2.00）_21.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.证明：(1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 收敛； (2)若 （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D绕 x 轴旋转
5、一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_25.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 流入湖泊内不含 A 的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 196 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个
6、选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是3.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(x)=x，显然 A 不对，同理 B 也不对；令 f(x)=x 2 ， D 不对；若 ，则对任意的 M0，存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f(x
7、)M，于是当 xX 0 时，f(x)f(X 0 )=f()(xX 0 )，其中 (X 0 ，x)，即 f(x)f(X 0 )+M(xX 0 )， 根据极限的保号性，有 4.设 F(x)= x x+2x e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)= x x+2 e sint sintdt= e sint sintdt，冉由对称区间积分性质得 F(x)= 0 (e sint e sint sint)dt= 0 (e sint e sint )sintdt，又(e sint e si
8、nt )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选 A5.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续；因为 所以 f x (0，0)=0 根据对称性，f y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 得 f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)(0，0)时， 因为 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 7.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
9、答案：正确答案：3）解析：解析：因为 cos 2 x1=(cosx+1)(cosx1)x 2 ， 且 8.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：由 得 f(0)=0，f(0)=0，则9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：在 D 1 =(x，y)x+，0y1上，f(y)=y；在 D 2 ：0x+y1 上，f(x+
10、y)=x+y，则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)yx1y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以 ）解析：12.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为三、解答题(总题数：15，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设函数 f(x)可导且 (k0)，对任意的 x n ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 x n =f(x n )f(x n1
11、 )=f( n )(x n x n1 )，因为 f(x)0，所以 x n+1 x n 与 x n x n1 同号，故X n 单调 x n =f(x n1 )=f(x n )+ xn xn1 f(x)dx f(x n )+ xn xn1 f(x)dxf(x n )+ dx=f(x n )+k，即x n 有界，于是 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令n，得 )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f (0)f + (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 于是 令f(x)=0 得 x=1 或 当 x1 时，f(x
12、)0；当1x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0； 当 时，f(x)0 故 x=1 为极小值点，极小值 f(1)=1 x=0 为极大值点，极大值 f(0)=1； )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(6)=0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以存在 0，当 0xa 时，有 从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2
13、) (a，b)，使得 )解析：18.设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 )解析：设 S(x)= 0 x costdt（分数：4.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 nx(n+1)n 时， 0 n costdt 0 x costdt 0 (n+1) costdt， 0 n costdt=n 0 costdt= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 nT(
14、n+1)，得 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dx 0 1 f(x)dx.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dxk 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx =(1k) 0 k f(x)dxk k 1 f(x)dx=k(1k)f( 1 )f( 2 ) 其中 1 0，k， 1 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx=k(1k)f( 1 )f( 2 )0，故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx)解析
15、：20.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为 )解析：21.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)两边对 t 求导得 当 t=1 时，有 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：23.证明：(1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 收敛； (2)若 （分数：2.00）
16、_正确答案：(正确答案：(1)因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 而级数 收敛 (2)取 所以存在 N0，当 nN 时， )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(，+)，令 )解析：设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf(x)2f(x)=x= =1=f(x)=x+cx 2 设
17、平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 因为 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 )解析：(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在原点处的切线方程为 y=x，则 )解析：25.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 流入湖泊内不含 A 的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 流出湖的污染物 A 的含量为 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 于是 )解析：
