1、考研数学三（微积分）模拟试卷 195 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x (x 一 t)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小
2、二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，xsinxos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设(ay2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2.（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项
3、1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.确定常数 a，b，C，使得 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)I(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0f + (a)f (b)0，且 g(
4、x)0(xa，b)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_18.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b) 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_19.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_20.设 f(x)连续， 0 x tf(xt)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_设 f(x)在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 0 1 f(t)dt
5、+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_22.求曲线 y=3x 2 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_23.设 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_24.计算 其中 D 由 y=z，y= （分数：2.00）_25.设 a n 0(n=1，2，)且a n n=1 ，单调减少，又级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_飞机以匀速 v 沿 y
6、 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚=导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：4.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：2.00）_(2).导弹运行方程（分数：2.00）_27.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 195 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
7、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 不对，如 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； B 不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； C 不对，因为 不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导； 由3.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 x (x 一 t)dt，G(x)= 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00
8、）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F(x)= 0 x f(xt)dt= 0 x (xt)d(xt)= 0 x f(u)du，G(x)= 0 x xg(xt)dt=f 0 x g(u)du，则 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，xsinxos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 x0 时， 所以 xsinxcos2x=5.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 则曲线 y=f(
9、x)在点(2，f(2)处的切线方程为6.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x4）解析：解析： 曲线8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设(ay2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=4）填空项 1:_ （正确答案：b=2）解析：解析：令 P(x，y)=ay2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+
10、3，因为(ay2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 10.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：由 f(x)g(yx)= 得 I= 11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1ln2)）解析：解析：令 因为 S(0)=0，所以三、解答题(总题数：18，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.确定常数 a，b，C，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.
11、求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 由夹逼定理得 )解析：15.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 令 得 y=x 3 ，代入 x 3 3xy+y 3 =3 得 x=1 或 因为 所以 x=1 为极小值点，极小值为 y=1； 因为 为极大值点，极大值为 x=y 2 时， )解析：16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)I(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得
12、f(0)=f(x)f(x)x+ f( 1 )x 2 ， 1 (0，x)， f(1)=f(x)+f(x)(1x)+ f( 2 )(1x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得 两边取绝对值，再由f(x)1，得 )解析：17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0f + (a)f (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f + (a)0，f (b)0， 由 f + (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f (b)0，存
13、在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )=h( 2 )=0，而 令 (x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，( 1 )=( 1 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 )解析：18.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab
14、=f(b) 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以 f(a)=aa+ha+(n1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c 2 c n1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+h，f(c v1 )=a+(n1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )f(a)=f( 1 )(c 1 a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )f(c 1 )=f( 2 )(c 2 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)f(c
15、n1 )=f( n )(bc n1 )， n (c n1 ，b)，从而有 )解析：19.设 x 3 3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 3y3xy+3y 2 y=0， 解得 因为 y(1)=10，所以 x=1 为极小值点，极小值为 y(1)=1； 因为 )解析：20.设 f(x)连续， 0 x tf(xt)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(xt)dt 0 x (xu)f(u)(du)= 0 x (xu)f(u)d
16、u =x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du=1cosx， 两边求导得 0 x f(u)du=sinx，令 )解析：设 f(x)在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 0 1 f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由 微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)F(0)=F(x)x，即 0
17、 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)，得 )解析：21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当 x1,2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 f(x)dxf(n)，相加得 1 n
18、+1 f(x)dx f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n) n1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dx，于是 )解析：22.求曲线 y=3x 2 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当x0 时， 对x，x+dx 0，1，dV 1 =3 2 3(x 2 +2) 2 dx=(2x 2 x 4 +8)dx，V 1 = 0 1 V
19、1 = 0 1 (2x 2 x 4 +8)dx= 对x，x+dx 1，2， dV 2 =3 2 3(4x 2 ) 2 dx=(2x 2 x 4 +8)dx， V 2 = 1 2 dV 2 = 1 2 (2x 2 x 4 +8)dx= )解析：23.设 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 其中 D 由 y=z，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 )解析：25.设 a n 0(n=1，2，)且a n n=1 ，单调减少，又级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
20、案：因为a n n=1 单调减少且 a n 0(n=1，2，)，所以 由 (1) n a n 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为1，1， 则 S(x)=x+(1x)In(1x)(1x1) 当 x=1 时， 所以 )解析：飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚=导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：4.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 )解析：(2).导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 进一步解得 )解析：27.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 S(0)=100，S(24)=400， 所以 )解析：
