1、考研数学三（微积分）模拟试卷 194 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若3.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f
2、(x)在 x=0 处连续4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x) 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x) 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)可导且 f(x)0，
3、则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则 a= 1b= 2（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.上的平均值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2
4、 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_16.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 1n(1+2x)+a n 1n(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有f(x) e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_17.设 x=x(t)由 sint 1 xt e u 2 du=0 确定，求 （
5、分数：2.00）_18.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f 4 (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=2，f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_21.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0， （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）
6、_23.求 （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：2.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_25.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.设na n )收敛，且 （分数：2.00）_28.求幂级数
7、 （分数：2.00）_29.设 对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 194 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 显然f(x)1 处处连续，然而 f
8、(x)处处间断，A 不对； 令 显然 f(x)在x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对； 令 f(0+h)f(0h)=0，但f(x)在 x=0 处不连续，D 不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)=f(a)，又0f(x)f(a)f(x)f(a)，根据夹逼定理，3.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f(x)在 x=0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 所以 f(x)在 x=0 处可导， 当 x0 时， 当 x0时，f(x)4.
9、设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x) 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x) 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)
10、2 (x)， 2 (x) 3 (x)为方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x) 3 (x)+C 2 2 (x) 3 (x)+ x (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1C 1 C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为6.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则 a= 1b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=b=3）解析：解析：因为两曲线过点(1，1)，所以 ba=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 =a2，再由2y=1+xy 3 得 8.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 (x)=f x x，f(x，2x)+f y x，f(
12、x，2x)f x (x，2x)+2f y (x，2x)， 所以 (1)=f y 1，f(1，2)+f y 1，f(1，2)f x (1，2)+2f y (1，2) =3+4(3+8)=479.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：maxx+2，x 2 = 当 x1 时，maxx+2，x 2 dx= +C 1 ； 当1x2 时，maxx+2，x 2 dx= +2x+C 2 ； 当 x2 时,maxx+2，x 2 dx= C 3 ， 10.上的平均值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11
13、.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u x (x，3x)+3u y (x，3x)=1，再对 x 求导，得 u xx (x，3x)+6u xy (x，3x)+9u yy (x，3x)=0. 由 ，得 10u xx (x，3x)+6u xy (x，3x)=0，u x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u xx (x，3x)+3u xy (x，3x)=3x 2 ，解得 u xy (x，3x)= 12.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，
14、0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：由 tln(1+t)= 由积分中值定理得 f(x，y)dxdy=f(，).t 2 ，其中(，)D，于是 13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：解析：令 于是三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 所以数列a n 单调又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 则
15、有 )解析：16.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 1n(1+2x)+a n 1n(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有f(x) e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由 =a 1 +2a 2 +na n ，且 )解析：17.设 x=x(t)由 sint 1 xt e u 2 du=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t=0 代入 sint 1 xt e u2 du= 1 x e u2 du=0 再由 e u2 0 得x=1 sint 1 xt e u2
16、du=0 两边对 t 求导得 两边再对 t 求导得 将 t=0，x=1， )解析：18.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式 )解析：19.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f 4 (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0
17、 )+ f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ 两式相加得 f(x)+f(x)2f(x 0 )=f(x 0 )(xx 0 ) 2 + )解析：20.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=2，f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当 x0时，f(x)f(0)=f()x，从而 f(x)f(c)+x，因为 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=20，)解析：21.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f
18、(1)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= P(1)=f(1) 则 令 g(x)=f(x)P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g(c 1 )=g(1)=g(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g(d 1 )=g(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：22.求 （分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案：令 令 f(x)=0 得 x=e当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大值点，于是 因为 )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：24.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 f(x)在a，b上单调增加，所以 a b (x)dx0，而 故 a b xf(x)dx )解析：设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使
20、 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1+S 2 = 0 a (axx 2 )dx+ a 1 (x 2 ax)dx= 令 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当a0 时， a 0 (axx 2 )dx+ 0 1 (x 2 ax)dx= 因为 所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0) )解析：(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为
21、 )解析：25.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，得 z=e sec2(x+y)ln(x2+y2) ， )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：27.设na n )收敛，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =a 1 +a 2 +a n ，S n+1 =(a 1 a 0 )+2(a 2 a 1 )+(n+1)(a n+1 a n )，则 S n+1 =(n+1)a n+1 S n a 0 ，因为 (a n a n1 )收敛且数列na n 收敛，所以 存在，根据级数收敛的定义， )解析：28.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(，+) 令 )解析：29.设 对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 (1)当 0 时，因为级数 收敛； (2)当 0 时，因为级数 )解析：
