1、考研数学三（微积分）模拟试卷 193 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使
2、得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 4.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e xB.x
3、2 e xC.x 2 (ax+b)e xD.x(ax+b)e x二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)在(，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题
4、(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_17.证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_19.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a)f b (b)0证明：存在 (a，b)，使得f()=0（分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1连续可导，
5、且 f(0)=0证明：存在 0,1，使得 f()=2 0 1 (x)dx（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_26.求函数 f(x
6、)=ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_27.设级数 （分数：2.00）_28.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_29.设商品需求函数为 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 193 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A
7、.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f(0)=2，于是3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 不存在，所以 f(x)在 x
8、0 处不连续，A 不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，B 不对； 因为 其中 介于 x 0 与 x 之间，且 存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 选 C； 令 4.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为
9、(x 1 ，0)，(x ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大值点；当 x(x 2 ，0)时，f(x)0，则 x=x 2 为 f(x)的极小值点；当 x(0， x 3 )时，f(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小值点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点
10、，两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选 C5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e xB.x 2 e xC.x 2 (ax+b)e xD.x(ax+b)e x 解析：解析：方程 y2y3y=(2x+1)e x 的特征方程为 2 23=0，特征值为 1 =1， 2 =3，故方程 y2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为 x(ax+b)e x ，选 D二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
11、：正确答案：*）解析：解析：由 0 x sinc(x 2 t 2 )dt= 0 x sin(x 2 一 t 2 )d( 2 xt 2 )= 0 x 2 sinudu，得 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 + 时，有 8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x）解析：解析：由 9.设 f(x)在(，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 由 f(x)f(x1)=f()，其中 介于 x1 与 x 之间，令 x，由 10.= 1 （分数：2.00）
12、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+(x)，因为 f y (x，0)=x，所以 (x)=x，即 13.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 r tf(r 2 t 2 )dt= 原式 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答
13、题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 故x n n=2 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 存在，令 )解析：17.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1，2时有 当 x2，3时有 当 xn，n+1时有 又当 x1，2时， 当 x2，3时， 当 xn1，n时， 从而有 )解析：18.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2
14、.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， 由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c(0，1)，使得 f(c)=1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0c)+ (0c) 2 ， 1 (0，c) f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2 ， 2 (c，1) 整理得 )解析：19.设 f(x)=3x 2 +Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、f(x)20 等价于 A20x 3 3x 5 ，令 (x)=20x 3 3x 5 ，由 (x)=60x 2 15x 4 =0，得 x=2，(x)=120x 一 60x 3 ，因为 (2)=2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20)解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a)f b (b)0证明：存在 (a，b)，使得f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f + (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f + (a)= )解析：21.设 f(x)在0，1连续可导，
16、且 f(0)=0证明：存在 0,1，使得 f()=2 0 1 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f(c)xdx，由mf(c)M 得 m 0 1 xdx 0 1 f(c)xdxM 0 1 xdx，即 m2 0 1 f(c)xdxM 或 m2 0 1 f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx)解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：
17、(正确答案：令 lnx=t，则 当 t0 时，f(t)=t+C；当 t0 时，f(t)=e+C 2 显然f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 )解析：23.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f(x)M0，从而 )解析：设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1，1，1，直线 AB 的方程为 设对任
18、意的 M(x，y，z)S，过 M垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，T(0，0，z)，由MT=M 0 T，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ，因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 )解析：(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 2z+1) 于是 V= 0 1 A(z)dz= )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x
19、，y)1x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)1x1，x 2 y2)，则 )解析：25.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n = 0 1 x 2 (1x) n dx 0 1 (1t) 2 t n (dt)= 0 1 (t n+2 2t n+1 +t n )dt 因为 收敛 因为 所以 )解析：26.求函数 f(x)=ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=ln(1x2x 2 )=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)，因为 )解析
20、：27.设级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =(a 1 a 0 )+(a 2 a 1 )+(a n 一 a n1 )，则 S n =a n a 0 因为级数 则有 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有a n M 因为 收敛，又 0a n b n Mb n ， 再由 收敛，根据正项级数的比较审敛法得 )解析：28.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解得 f(0，y)=Csiny由 得 C=1，即 f(0，y)=siny 又由 )解析：29.设商品需求函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数为 收益 R 对价格 P 的弹性为 )解析：
